登录
【变式训练 2】先化简，再求值：$[(2x + y)^{2} + (3x + y)(3x - y)] ÷ (2x)$，其中 $x = 2$，$y = -1$。
同步训练
基础巩固
同步训练
基础巩固
答案
解：$[(2x+y)^{2}+(3x+y)(3x-y)]÷(2x)=(4x^{2}+4xy+y^{2}+9x^{2}-y^{2})÷(2x)=(13x^{2}+4xy)÷(2x)=\frac {13}{2}x+2y$。
当$x=2,y=-1$时，
原式$=\frac {13}{2}×2+2×(-1)=13-2=11$。
当$x=2,y=-1$时，
原式$=\frac {13}{2}×2+2×(-1)=13-2=11$。
解析
【分析】本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子，再合并同类项，接着运用多项式除以单项式法则化简，最后将给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】解：$[(2x + y)^2 + (3x + y)(3x - y)] ÷ (2x)$
$=(4x^2 + 4xy + y^2 + 9x^2 - y^2) ÷ (2x)$
$=(13x^2 + 4xy) ÷ (2x)$
$=\frac{13}{2}x + 2y$
当$x = 2$，$y = -1$时，
原式$=\frac{13}{2}×2 + 2×(-1)=13 - 2=11$。
【答案】11
【知识点】整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题属于整式化简求值的基础题型，重点考查完全平方公式、平方差公式的应用以及多项式除以单项式的运算法则，只要掌握相关公式和运算法则，按步骤计算即可得出正确结果。
【难度系数】0.7
【解析】解：$[(2x + y)^2 + (3x + y)(3x - y)] ÷ (2x)$
$=(4x^2 + 4xy + y^2 + 9x^2 - y^2) ÷ (2x)$
$=(13x^2 + 4xy) ÷ (2x)$
$=\frac{13}{2}x + 2y$
当$x = 2$，$y = -1$时，
原式$=\frac{13}{2}×2 + 2×(-1)=13 - 2=11$。
【答案】11
【知识点】整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题属于整式化简求值的基础题型，重点考查完全平方公式、平方差公式的应用以及多项式除以单项式的运算法则，只要掌握相关公式和运算法则，按步骤计算即可得出正确结果。
【难度系数】0.7
1. 已知 $5x^{3}y^{2}$ 与一个多项式的积为 $20x^{5}y^{2} - 15x^{3}y^{4} + 70(x^{2}y^{3})^{2}$，则这个多项式为(
A.$4x^{2} - 3y^{2}$
B.$4x^{2}y - 3xy^{2}$
C.$4x^{2} - 3y^{2} + 14xy^{4}$
D.$4x^{2} - 3y^{2} + 7xy^{3}$
C
)A.$4x^{2} - 3y^{2}$
B.$4x^{2}y - 3xy^{2}$
C.$4x^{2} - 3y^{2} + 14xy^{4}$
D.$4x^{2} - 3y^{2} + 7xy^{3}$
答案
1. C
解析
解：由题意得，这个多项式为$[20x^{5}y^{2} - 15x^{3}y^{4} + 70(x^{2}y^{3})^{2}] ÷ 5x^{3}y^{2}$
$\begin{aligned}&[20x^{5}y^{2} - 15x^{3}y^{4} + 70x^{4}y^{6}] ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&20x^{5}y^{2} ÷ 5x^{3}y^{2} - 15x^{3}y^{4} ÷ 5x^{3}y^{2} + 70x^{4}y^{6} ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&4x^{2} - 3y^{2} + 14xy^{4}\end{aligned}$
C
$\begin{aligned}&[20x^{5}y^{2} - 15x^{3}y^{4} + 70x^{4}y^{6}] ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&20x^{5}y^{2} ÷ 5x^{3}y^{2} - 15x^{3}y^{4} ÷ 5x^{3}y^{2} + 70x^{4}y^{6} ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&4x^{2} - 3y^{2} + 14xy^{4}\end{aligned}$
C
2. 下列计算正确的是(
A.$a^{2} + a^{3} = a^{5}$
B.$(-2a^{2})^{3} ÷ (\frac{a}{2})^{2} = -16a^{4}$
C.$3a^{-1} = \frac{1}{3a}$
D.$(-15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (-5xy) = 3x + 2y$
D
)A.$a^{2} + a^{3} = a^{5}$
B.$(-2a^{2})^{3} ÷ (\frac{a}{2})^{2} = -16a^{4}$
C.$3a^{-1} = \frac{1}{3a}$
D.$(-15x^{2}y - 10xy^{2}) ÷ (-5xy) = 3x + 2y$
答案
2. D
解析
A. $a^{2}$与$a^{3}$不是同类项，不能合并，故A错误；
B. $(-2a^{2})^{3}÷(\frac{a}{2})^{2}=(-8a^{6})÷(\frac{a^{2}}{4})=-8a^{6}×\frac{4}{a^{2}}=-32a^{4}$，故B错误；
C. $3a^{-1}=\frac{3}{a}$，故C错误；
D. $(-15x^{2}y - 10xy^{2})÷(-5xy)=(-15x^{2}y)÷(-5xy)+(-10xy^{2})÷(-5xy)=3x + 2y$，故D正确。
答案：D
B. $(-2a^{2})^{3}÷(\frac{a}{2})^{2}=(-8a^{6})÷(\frac{a^{2}}{4})=-8a^{6}×\frac{4}{a^{2}}=-32a^{4}$，故B错误；
C. $3a^{-1}=\frac{3}{a}$，故C错误；
D. $(-15x^{2}y - 10xy^{2})÷(-5xy)=(-15x^{2}y)÷(-5xy)+(-10xy^{2})÷(-5xy)=3x + 2y$，故D正确。
答案：D
3. 多项式 $mx^{n + 2} - nx^{n - 1}$ 除以单项式 $x^{n - 2}$，得(
A.$mx^{2n} - nx^{2n - 3}$
B.$mx^{4} - nx$
C.$mx^{4} + nx^{n - 3}$
D.$mx^{4} + nx$
B
)A.$mx^{2n} - nx^{2n - 3}$
B.$mx^{4} - nx$
C.$mx^{4} + nx^{n - 3}$
D.$mx^{4} + nx$
答案
3. B
解析
$(mx^{n + 2} - nx^{n - 1}) ÷ x^{n - 2}$
$= mx^{n + 2} ÷ x^{n - 2} - nx^{n - 1} ÷ x^{n - 2}$
$= mx^{(n + 2)-(n - 2)} - nx^{(n - 1)-(n - 2)}$
$= mx^{4} - nx^{1}$
$= mx^{4} - nx$
B
$= mx^{n + 2} ÷ x^{n - 2} - nx^{n - 1} ÷ x^{n - 2}$
$= mx^{(n + 2)-(n - 2)} - nx^{(n - 1)-(n - 2)}$
$= mx^{4} - nx^{1}$
$= mx^{4} - nx$
B
4. 一个长方形的面积为 $a^{2} + 2a$，且一边长为 $a$，则与其相邻的另一边长为
$a + 2$
。答案
4. $a+2$
解析
【分析】要解决这个问题，首先回忆长方形的面积公式：面积=长×宽。已知长方形的面积和其中一条边长，求相邻的另一条边长，只需用面积除以已知的边长即可，这里需要运用多项式除以单项式的运算法则进行计算。
【解析】根据长方形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长，代入得：$(a^2 + 2a) ÷ a = a^2 ÷ a + 2a ÷ a = a + 2$。
【答案】$a+2$
【知识点】整式除法、长方形面积计算
【点评】本题是整式除法在几何中的基础应用，核心是掌握长方形面积公式和多项式除以单项式的运算规则，难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】根据长方形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长，代入得：$(a^2 + 2a) ÷ a = a^2 ÷ a + 2a ÷ a = a + 2$。
【答案】$a+2$
【知识点】整式除法、长方形面积计算
【点评】本题是整式除法在几何中的基础应用，核心是掌握长方形面积公式和多项式除以单项式的运算规则，难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.8
5. 填空：
$(1) (15y^{3} - 3y^{2} - 9y) ÷ (-3y) = $
$(2) (-54xy^{2}z + 108x^{2}yz + 36xyz^{2}) ÷ (-18xyz) = $
(3) (-5x)()
(4) (-15ab + 5a) ÷ (5a) =
$(5) (6x^{3}y^{2} + 3x^{2}y) ÷ (3xy) = $
$(6) (-16a^{4}b + 12a^{3}b^{2} - 4a^{2}b) ÷ (4a^{2}b) = $
$(1) (15y^{3} - 3y^{2} - 9y) ÷ (-3y) = $
$-5y^{2} + y + 3$
；$(2) (-54xy^{2}z + 108x^{2}yz + 36xyz^{2}) ÷ (-18xyz) = $
$3y - 6x - 2z$
；(3) (-5x)()
$-2x^{2} + x - 5$
$) = 10x^{3} - 5x^{2} + 25x$；(4) (-15ab + 5a) ÷ (5a) =
$-3b + 1$
；$(5) (6x^{3}y^{2} + 3x^{2}y) ÷ (3xy) = $
$2x^{2}y + x$
；$(6) (-16a^{4}b + 12a^{3}b^{2} - 4a^{2}b) ÷ (4a^{2}b) = $
$-4a^{2} + 3ab - 1$
。答案
5. (1)$-5y^{2}+y+3$ (2)$3y-6x-2z$
(3)$-2x^{2}+x-5$ (4)$-3b+1$
(5)$2x^{2}y+x$ (6)$-4a^{2}+3ab-1$
(3)$-2x^{2}+x-5$ (4)$-3b+1$
(5)$2x^{2}y+x$ (6)$-4a^{2}+3ab-1$
解析
【分析】
这几道题考查整式的除法运算，核心是多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得商相加；第(3)题是逆用乘法关系，用积除以已知因式得到未知因式，本质仍为整式除法。解题时需注意每一项的符号，以及同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则：
原式 = $15y^3÷(-3y) + (-3y^2)÷(-3y) + (-9y)÷(-3y)$
= $-5y^2 + y + 3$；
(2) 同理：
原式 = $(-54xy^2z)÷(-18xyz) + 108x^2yz÷(-18xyz) + 36xyz^2÷(-18xyz)$
= $3y - 6x - 2z$；
(3) 由“未知因式 = 积 ÷ 已知因式”：
所求式子 = $(10x^3 -5x^2 +25x)÷(-5x)$
= $10x^3÷(-5x) + (-5x^2)÷(-5x) + 25x÷(-5x)$
= $-2x^2 + x -5$；
(4) 原式 = $(-15ab)÷(5a) + 5a÷(5a)$
= $-3b +1$；
(5) 原式 = $6x^3y^2÷(3xy) + 3x^2y÷(3xy)$
= $2x^2y + x$；
(6) 原式 = $(-16a^4b)÷(4a^2b) + 12a^3b^2÷(4a^2b) + (-4a^2b)÷(4a^2b)$
= $-4a^2 + 3ab -1$；
【答案】
(1)$-5y^{2}+y+3$；(2)$3y-6x-2z$；(3)$-2x^{2}+x-5$；(4)$-3b+1$；(5)$2x^{2}y+x$；(6)$-4a^{2}+3ab-1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式的乘除运算
【点评】
本题为整式运算的基础题型，主要考查多项式除以单项式的法则，解题时需注意每一项的符号处理及同底数幂的运算规则，是后续复杂整式运算的核心基础，只要掌握法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这几道题考查整式的除法运算，核心是多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得商相加；第(3)题是逆用乘法关系，用积除以已知因式得到未知因式，本质仍为整式除法。解题时需注意每一项的符号，以及同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则：
原式 = $15y^3÷(-3y) + (-3y^2)÷(-3y) + (-9y)÷(-3y)$
= $-5y^2 + y + 3$；
(2) 同理：
原式 = $(-54xy^2z)÷(-18xyz) + 108x^2yz÷(-18xyz) + 36xyz^2÷(-18xyz)$
= $3y - 6x - 2z$；
(3) 由“未知因式 = 积 ÷ 已知因式”：
所求式子 = $(10x^3 -5x^2 +25x)÷(-5x)$
= $10x^3÷(-5x) + (-5x^2)÷(-5x) + 25x÷(-5x)$
= $-2x^2 + x -5$；
(4) 原式 = $(-15ab)÷(5a) + 5a÷(5a)$
= $-3b +1$；
(5) 原式 = $6x^3y^2÷(3xy) + 3x^2y÷(3xy)$
= $2x^2y + x$；
(6) 原式 = $(-16a^4b)÷(4a^2b) + 12a^3b^2÷(4a^2b) + (-4a^2b)÷(4a^2b)$
= $-4a^2 + 3ab -1$；
【答案】
(1)$-5y^{2}+y+3$；(2)$3y-6x-2z$；(3)$-2x^{2}+x-5$；(4)$-3b+1$；(5)$2x^{2}y+x$；(6)$-4a^{2}+3ab-1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式的乘除运算
【点评】
本题为整式运算的基础题型，主要考查多项式除以单项式的法则，解题时需注意每一项的符号处理及同底数幂的运算规则，是后续复杂整式运算的核心基础，只要掌握法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 某科技馆“数理世界”展厅的无线网络密码被设计成如图所示的数学问题。小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到无线网络，则他输入的密码是
2025
。答案
6. 2025
解析
解：$\begin{aligned}&[x^{2}yz · x^{3}y]\\=&[x^{2+3}y^{1+1}z]\\=&[x^{5}y^{2}z]\\=&521\end{aligned}$
$\begin{aligned}&[(x^{5})^{5}y^{4}z^{6} ÷ (x^{5}y^{2}z)]\\=&[x^{25}y^{4}z^{6} ÷ x^{5}y^{2}z]\\=&[x^{25 - 5}y^{4 - 2}z^{6 - 1}]\\=&[x^{20}y^{2}z^{5}]\\=&[x^{5}y^{2}z · x^{15}z^{4}]\end{aligned}$
由$[x^{19}y^{8}z^{8}]=1988$，$[x^{5}y^{2}z]=521$，可得$x^{15}z^{4}=\frac{1988}{521}=3.815$（此处假设$x,y,z$为整数，经分析$x^{5}y^{2}z=521$，521为质数，故$x=1,y=1,z=521$，代入$x^{19}y^{8}z^{8}=521^{8}≠1988$，推测题目中$[·]$表示取各字母指数组合成数字，即$x^{19}y^{8}z^{8}$对应1988，所以$x=1,y=9,z=8$，验证$x^{2}yz · x^{3}y=x^{5}y^{2}z=1^{5}×9^{2}×8=1×81×8=648≠521$，重新分析$[x^{2}yz · x^{3}y]=[x^{5}y^{2}z]=521$，则$x=5,y=2,z=1$，代入$x^{19}y^{8}z^{8}=5^{19}×2^{8}×1^{8}$不符合，最终确定$[·]$表示指数依次组合，即$x^{19}y^{8}z^{8}$指数19,8,8组合为1988，$x^{5}y^{2}z$指数5,2,1组合为521，所以$x$的指数为5，$y$的指数为2，$z$的指数为1，所求式指数为20,2,5，组合为2025。
2025
$\begin{aligned}&[(x^{5})^{5}y^{4}z^{6} ÷ (x^{5}y^{2}z)]\\=&[x^{25}y^{4}z^{6} ÷ x^{5}y^{2}z]\\=&[x^{25 - 5}y^{4 - 2}z^{6 - 1}]\\=&[x^{20}y^{2}z^{5}]\\=&[x^{5}y^{2}z · x^{15}z^{4}]\end{aligned}$
由$[x^{19}y^{8}z^{8}]=1988$，$[x^{5}y^{2}z]=521$，可得$x^{15}z^{4}=\frac{1988}{521}=3.815$（此处假设$x,y,z$为整数，经分析$x^{5}y^{2}z=521$，521为质数，故$x=1,y=1,z=521$，代入$x^{19}y^{8}z^{8}=521^{8}≠1988$，推测题目中$[·]$表示取各字母指数组合成数字，即$x^{19}y^{8}z^{8}$对应1988，所以$x=1,y=9,z=8$，验证$x^{2}yz · x^{3}y=x^{5}y^{2}z=1^{5}×9^{2}×8=1×81×8=648≠521$，重新分析$[x^{2}yz · x^{3}y]=[x^{5}y^{2}z]=521$，则$x=5,y=2,z=1$，代入$x^{19}y^{8}z^{8}=5^{19}×2^{8}×1^{8}$不符合，最终确定$[·]$表示指数依次组合，即$x^{19}y^{8}z^{8}$指数19,8,8组合为1988，$x^{5}y^{2}z$指数5,2,1组合为521，所以$x$的指数为5，$y$的指数为2，$z$的指数为1，所求式指数为20,2,5，组合为2025。
2025
7. 一个长方形的面积为 $2x^{2} - 6x$，长为 $2x$，求这个长方形的周长。
答案
7. 解：因为这个长方形的面积为$2x^{2}-6x$，长为$2x$，
所以它的宽为$(2x^{2}-6x)÷(2x)=x-3$，
所以这个长方形的周长为
$2×(2x+x-3)=6x-6$。
所以它的宽为$(2x^{2}-6x)÷(2x)=x-3$，
所以这个长方形的周长为
$2×(2x+x-3)=6x-6$。
解析
【分析】要计算长方形的周长，需先利用长方形面积公式求出宽，再代入周长公式计算。已知长方形面积和长，根据“宽=面积÷长”先求宽，再用“周长=2×(长+宽)”计算周长。
【解析】解：根据长方形面积公式，宽 = 面积÷长，代入已知条件得：
宽 = (2x² - 6x)÷2x = (2x²)÷2x - 6x÷2x = x - 3；
再根据长方形周长公式，周长 = 2×(长+宽)，代入长和宽得：
周长 = 2×(2x + x - 3) = 2×(3x - 3) = 6x - 6。
【答案】6x - 6
【知识点】整式除法，长方形的面积与周长
【点评】本题结合整式运算与长方形的周长、面积公式，属于基础题型，解题关键是先通过面积公式求出宽，再代入周长公式计算，步骤清晰易掌握。
【难度系数】0.7
【解析】解：根据长方形面积公式，宽 = 面积÷长，代入已知条件得：
宽 = (2x² - 6x)÷2x = (2x²)÷2x - 6x÷2x = x - 3；
再根据长方形周长公式，周长 = 2×(长+宽)，代入长和宽得：
周长 = 2×(2x + x - 3) = 2×(3x - 3) = 6x - 6。
【答案】6x - 6
【知识点】整式除法，长方形的面积与周长
【点评】本题结合整式运算与长方形的周长、面积公式，属于基础题型，解题关键是先通过面积公式求出宽，再代入周长公式计算，步骤清晰易掌握。
【难度系数】0.7
