5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ E $ 在 $ AC $ 上，点 $ F $ 在 $ BC $ 上，点 $ D $、$ G $ 在 $ AB $ 上，$ DF // AC $，且 $ ∠ CDF + ∠ CEG = 180^{\circ} $。
(1) 猜想 $ EG $ 与 $ CD $ 的位置关系并证明。
(2) 若 $ EG ⊥ AB $，$ DF $ 平分 $ ∠ BDC $，求 $ ∠ A $ 的度数。

5. （1）EG//CD。证明如下：
∵DF//AC，
∴∠CDF=∠ACD。
∵∠CDF+∠CEG=180°，
∴∠ACD+∠CEG=180°，
∴EG//CD。（2）
∵EG⊥AB，EG//CD，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°。
∵DF 平分∠BDC，
∴∠BDF=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
∵DF//AC，
∴∠A=∠BDF=45°。

6. 如图，已知 $ ∠ FEA = ∠ EAF $，$ AE $ 平分 $ ∠ CAF $。
(1) 求证：$ EF // AC $。
(2) 若 $ AC $ 平分 $ ∠ DAB $，$ ∠ BAF $ 与 $ ∠ BAD $ 互补，$ ∠ FEA - ∠ DAC = 50^{\circ} $，求 $ ∠ F $ 的度数。

6. （1）证明：
∵AE 平分∠CAF，
∴∠EAF=∠EAC。
∵∠FEA=∠EAF，
∴∠FEA=∠EAC，
∴EF//AC。（2）
∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC。设∠DAC=∠BAC=x，则∠DAB=2x。
∵∠FEA−∠DAC=50°，
∴∠FEA=∠DAC+50°=x+50°，
∴∠EAF=∠EAC=∠FEA=x+50°，
∴∠BAF=∠EAF+∠EAC+∠BAC=x+50°+x+50°+x=3x+100°。
∵∠BAF 与∠BAD 互补，
∴∠BAF+∠BAD=180°，
∴3x+100°+2x=180°，解得 x=16°，
∴∠EAF=∠FEA=x+50°=66°，
∴∠F=180°−∠FEA−∠EAF=180°−66°−66°=48°。

7. 如图，已知 $ AB // CD $，$ ∠ B = ∠ D $，$ AE $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $。
(1) 求证：$ AD // BE $。
(2) 若 $ ∠ 1 = ∠ 2 = 60^{\circ} $，$ ∠ BAC = 2 ∠ EAC $，求 $ ∠ B $ 的度数。

7. （1）证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠DCE。
∵∠B=∠D，
∴∠DCE=∠D，
∴AD//BE。（2）
∵AB//CD，∠2=60°，
∴∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，∠B=∠DCE，
∴∠EAC+∠BAC=60°。
∵∠BAC=2∠EAC，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAC=∠ACD=40°。
∵∠1+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=180°−∠1−∠ACD=180°−60°−40°=80°，
∴∠B=∠DCE=80°。

8. 如图 1，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ A = ∠ C $。
(1) 求证：$ AB // CD $。
(2) 如图 2，点 $ E $ 在线段 $ AD $ 上，点 $ G $ 在线段 $ AD $ 的延长线上，连接 $ BG $，$ ∠ AEB = 2 ∠ G $。问：$ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 相等吗？请说明理由。

8. （1）证明：
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°。
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB//CD。（2）∠1=∠2。理由如下：
∵AD//BC，
∴∠2=∠G，∠AEB=∠CBE。
∵∠AEB=2∠G，
∴∠CBE=2∠G，
∴∠1+∠2=2∠G，
∴∠1=∠G，又
∵∠2=∠G，
∴∠1=∠2。