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丫丫拿出一个没有刻度的托盘天平和9个小球对洋洋说：“这9个球中，只有一个质量较小.现在，只允许称量两次，你能否找出那个质量较小的小球？”
洋洋发现，这9个小球从外形上看完全相同，并且丫丫告诉他，9个小球的质量差别十分微小.
究竟该怎么样利用这两次称量的机会，判断出质量较小的小球呢？洋洋最终没能做到，于是请教丫丫，你知道丫丫怎么做的吗？
洋洋发现，这9个小球从外形上看完全相同，并且丫丫告诉他，9个小球的质量差别十分微小.
究竟该怎么样利用这两次称量的机会，判断出质量较小的小球呢？洋洋最终没能做到，于是请教丫丫，你知道丫丫怎么做的吗？
答案
解：
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。
进行第一次称量：任选两组小球分别放在天平左右托盘上。
若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；
若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。
第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上。
进行第二次称量：
若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；
若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。
通过以上两次称量，即可找出质量较小的小球。
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。
进行第一次称量：任选两组小球分别放在天平左右托盘上。
若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；
若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。
第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上。
进行第二次称量：
若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；
若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。
通过以上两次称量，即可找出质量较小的小球。
解析
【分析】
我们可以利用天平称量的三种结果（左盘轻、右盘轻、平衡），每次称量将待排查的小球范围缩小到原来的1/3。9个小球刚好可以通过两次分组排查找到质量较小的球：第一次先把9个球平均分成3组，通过第一次称量确定质量小的球所在的3球小组；第二次对这3个球再用同样的方法称量，即可锁定目标小球。
【解析】
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。任选两组小球分别放在天平左右托盘上进行第一次称量：
若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；
若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。
第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上进行第二次称量：
若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；
若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。
【答案】
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。进行第一次称量：任选两组小球分别放在天平左右托盘上。若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上。进行第二次称量：若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。通过以上两次称量，即可找出质量较小的小球。
【知识点】
1.逻辑推理 2.统筹优化 3.天平使用
【点评】
本题属于趣味逻辑实践题，解题核心是充分利用天平称量的三种可能结果合理分组，逐步缩小目标范围，能有效锻炼逻辑思维能力和问题解决能力。
【难度系数】
0.6
我们可以利用天平称量的三种结果（左盘轻、右盘轻、平衡），每次称量将待排查的小球范围缩小到原来的1/3。9个小球刚好可以通过两次分组排查找到质量较小的球：第一次先把9个球平均分成3组，通过第一次称量确定质量小的球所在的3球小组；第二次对这3个球再用同样的方法称量，即可锁定目标小球。
【解析】
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。任选两组小球分别放在天平左右托盘上进行第一次称量：
若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；
若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。
第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上进行第二次称量：
若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；
若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。
【答案】
第一步：将9个小球平均分成3组，每组3个。进行第一次称量：任选两组小球分别放在天平左右托盘上。若天平两侧不平衡，质量更小的小球在天平上扬一侧的3个球中；若天平两侧平衡，质量更小的小球在未放在天平上的剩余3个球中。第一次称量后即可将目标小球的范围缩小到3个球之中。
第二步：从确定的包含质量更小的小球的3个球中，任选2个分别放在天平左右托盘上。进行第二次称量：若天平两侧不平衡，天平上扬一侧的小球就是质量较小的小球；若天平两侧平衡，未放在天平上的剩余那个小球就是质量较小的小球。通过以上两次称量，即可找出质量较小的小球。
【知识点】
1.逻辑推理 2.统筹优化 3.天平使用
【点评】
本题属于趣味逻辑实践题，解题核心是充分利用天平称量的三种可能结果合理分组，逐步缩小目标范围，能有效锻炼逻辑思维能力和问题解决能力。
【难度系数】
0.6
纳德叔叔同尼娅婶婶到服装超市里买东西. 纳德买了一套衣服、一顶帽子，用去15美元. 尼娅买了一顶帽子，她所花的钱同纳德一样多，为15美元. 然后她又买了一件衣服，把他们的剩余的钱通通花光了.
回家途中，尼娅告诉纳德，他的帽子比她的衣服贵1美元. 然后她说道：“如果我们把两人帽子的钱另作安排，去购买另外的帽子，使我的帽子钱是你买的帽子钱的$\frac{1}{2}$，那么我们两个人所花的钱就一样多了.”
纳德说：“在那种情况下，我的帽子要值多少钱呢?”
你能回答纳德的问题吗？另外请说出：这对夫妻一共花了多少钱呢？
回家途中，尼娅告诉纳德，他的帽子比她的衣服贵1美元. 然后她说道：“如果我们把两人帽子的钱另作安排，去购买另外的帽子，使我的帽子钱是你买的帽子钱的$\frac{1}{2}$，那么我们两个人所花的钱就一样多了.”
纳德说：“在那种情况下，我的帽子要值多少钱呢?”
你能回答纳德的问题吗？另外请说出：这对夫妻一共花了多少钱呢？
答案
解：
设重新分配后纳德的帽子价格为$y$美元，纳德原来的帽子价格为$x$美元。
由题意可得：
纳德的衣服价格为$(15-x)$美元，尼娅的衣服价格为$(x-1)$美元，尼娅原来的帽子价格为15美元。
重新分配后尼娅的帽子价格为$\frac{1}{2}y$，两人帽子总价格不变，列方程：
$x + 15 = y + \frac{1}{2}y$
重新分配后两人总花费相等，即各自衣服价格加新帽子价格相等，列方程：
$(15 - x) + y = (x - 1) + \frac{1}{2}y$
整理第二个方程得：
$y = 4x - 32$
将$y = 4x - 32$代入第一个方程：
$x + 15 = 1.5(4x - 32)$
$x + 15 = 6x - 48$
$5x = 63$
$x = 12.6$
将$x=12.6$代入$y = 4x - 32$，得：
$y = 4×12.6 - 32 = 18.4$
两人总花费为：
$15 + 15 + (12.6 - 1) = 41.6 \mathrm{ 美元}$
答：那种情况下纳德的帽子值18.4美元，这对夫妻一共花了41.6美元。
设重新分配后纳德的帽子价格为$y$美元，纳德原来的帽子价格为$x$美元。
由题意可得：
纳德的衣服价格为$(15-x)$美元，尼娅的衣服价格为$(x-1)$美元，尼娅原来的帽子价格为15美元。
重新分配后尼娅的帽子价格为$\frac{1}{2}y$，两人帽子总价格不变，列方程：
$x + 15 = y + \frac{1}{2}y$
重新分配后两人总花费相等，即各自衣服价格加新帽子价格相等，列方程：
$(15 - x) + y = (x - 1) + \frac{1}{2}y$
整理第二个方程得：
$y = 4x - 32$
将$y = 4x - 32$代入第一个方程：
$x + 15 = 1.5(4x - 32)$
$x + 15 = 6x - 48$
$5x = 63$
$x = 12.6$
将$x=12.6$代入$y = 4x - 32$，得：
$y = 4×12.6 - 32 = 18.4$
两人总花费为：
$15 + 15 + (12.6 - 1) = 41.6 \mathrm{ 美元}$
答：那种情况下纳德的帽子值18.4美元，这对夫妻一共花了41.6美元。
解析
【分析】
这是一道生活场景类的方程应用题，解题时需先梳理题干所有数量关系：首先明确已知条件，纳德买1套衣服加1顶帽子共花15美元，尼娅先买1顶帽子花15美元，后买1件衣服花完剩余钱款；还有两个核心等量关系：①纳德原来的帽子比尼娅的衣服贵1美元；②调整帽子购买费用后，尼娅的帽子钱是纳德的$\frac{1}{2}$，此时两人总花费相等，且两人买帽子的总费用不变。我们可设两个未知数：纳德原来的帽子价格为$x$美元，调整后纳德的帽子价格为$y$美元，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解后，再计算两人总花费即可。
【解析】
设重新分配后纳德的帽子价格为$y$美元，纳德原来的帽子价格为$x$美元。
由题意可得：
纳德的衣服价格为$(15-x)$美元，尼娅的衣服价格为$(x-1)$美元，尼娅原来的帽子价格为15美元。
重新分配后尼娅的帽子价格为$\frac{1}{2}y$，两人帽子总价格不变，列方程：
$x + 15 = y + \frac{1}{2}y$ ①
重新分配后两人总花费相等，即各自衣服价格加新帽子价格相等，列方程：
$(15 - x) + y = (x - 1) + \frac{1}{2}y$ ②
整理方程②：
移项合并同类项得$\frac{1}{2}y=2x-16$，即$y = 4x - 32$ ③
将③代入①：
$x + 15 = 1.5(4x - 32)$
$x + 15 = 6x - 48$
$5x = 63$
解得$x = 12.6$
将$x=12.6$代入③，得：
$y = 4×12.6 - 32 = 18.4$
两人总花费为：
$15 + 15 + (12.6 - 1) = 41.6$（美元）
【答案】
那种情况下纳德的帽子值18.4美元，这对夫妻一共花了41.6美元。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系提取
【点评】
本题属于趣味数学应用题，题干信息较多，解题的关键是耐心梳理各个物品价格之间的关系，抓住“帽子总费用不变”和“调整后两人总花费相等”两个核心等量关系列方程求解，能有效锻炼信息提取能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
这是一道生活场景类的方程应用题，解题时需先梳理题干所有数量关系：首先明确已知条件，纳德买1套衣服加1顶帽子共花15美元，尼娅先买1顶帽子花15美元，后买1件衣服花完剩余钱款；还有两个核心等量关系：①纳德原来的帽子比尼娅的衣服贵1美元；②调整帽子购买费用后，尼娅的帽子钱是纳德的$\frac{1}{2}$，此时两人总花费相等，且两人买帽子的总费用不变。我们可设两个未知数：纳德原来的帽子价格为$x$美元，调整后纳德的帽子价格为$y$美元，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解后，再计算两人总花费即可。
【解析】
设重新分配后纳德的帽子价格为$y$美元，纳德原来的帽子价格为$x$美元。
由题意可得：
纳德的衣服价格为$(15-x)$美元，尼娅的衣服价格为$(x-1)$美元，尼娅原来的帽子价格为15美元。
重新分配后尼娅的帽子价格为$\frac{1}{2}y$，两人帽子总价格不变，列方程：
$x + 15 = y + \frac{1}{2}y$ ①
重新分配后两人总花费相等，即各自衣服价格加新帽子价格相等，列方程：
$(15 - x) + y = (x - 1) + \frac{1}{2}y$ ②
整理方程②：
移项合并同类项得$\frac{1}{2}y=2x-16$，即$y = 4x - 32$ ③
将③代入①：
$x + 15 = 1.5(4x - 32)$
$x + 15 = 6x - 48$
$5x = 63$
解得$x = 12.6$
将$x=12.6$代入③，得：
$y = 4×12.6 - 32 = 18.4$
两人总花费为：
$15 + 15 + (12.6 - 1) = 41.6$（美元）
【答案】
那种情况下纳德的帽子值18.4美元，这对夫妻一共花了41.6美元。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系提取
【点评】
本题属于趣味数学应用题，题干信息较多，解题的关键是耐心梳理各个物品价格之间的关系，抓住“帽子总费用不变”和“调整后两人总花费相等”两个核心等量关系列方程求解，能有效锻炼信息提取能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
在17世纪俄罗斯的数学家的手稿里，有一些有趣的例题和习题.下面是其中的一个问题.
某人雇佣4个木匠建造一所房屋.
第一个木匠说：“如果我一个人造，需要一年的时间.”
第二个木匠说：“如果我一个人造，需要两年的时间.”
第三个木匠说：“如果我一个人造，非三年不可.”
第四个木匠说：“我一个人造，没有四年是不行的.”
最后4个木匠一起来造房子，请问需要多长时间才能把房屋造好？
某人雇佣4个木匠建造一所房屋.
第一个木匠说：“如果我一个人造，需要一年的时间.”
第二个木匠说：“如果我一个人造，需要两年的时间.”
第三个木匠说：“如果我一个人造，非三年不可.”
第四个木匠说：“我一个人造，没有四年是不行的.”
最后4个木匠一起来造房子，请问需要多长时间才能把房屋造好？
答案
解：设建造这所房屋的总工作量为1，4个木匠合作需要x年完成。
由题意可得，四个木匠单独工作的年工作效率分别为$1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$。
根据总工作量=合作工作效率×工作时间，列方程：
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})x=1$
通分计算括号内的和：
$\frac{25}{12}x=1$
解得：
$x=\frac{12}{25}$
$\frac{12}{25}$年换算为天数为$\frac{12}{25}×365=175.2$天，约175天。
答：4个木匠一起建造需要$\frac{12}{25}$年（约175天）才能把房屋造好。
由题意可得，四个木匠单独工作的年工作效率分别为$1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$。
根据总工作量=合作工作效率×工作时间，列方程：
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})x=1$
通分计算括号内的和：
$\frac{25}{12}x=1$
解得：
$x=\frac{12}{25}$
$\frac{12}{25}$年换算为天数为$\frac{12}{25}×365=175.2$天，约175天。
答：4个木匠一起建造需要$\frac{12}{25}$年（约175天）才能把房屋造好。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先将建造房屋的总工作量设为单位“1”，再根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别求出4个木匠的年工作效率，四人合作的总工作效率为四人各自效率之和，最后依据“总工作量=合作总效率×合作工作时间”的等量关系列一元一次方程求解即可，也可根据需要将结果换算为天数。
【解析】
设建造这所房屋的总工作量为1，4个木匠合作需要x年完成。
由题意得，四个木匠单独工作的年工作效率分别为$1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$。
根据总工作量=合作工作效率×工作时间，列方程：
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})x=1$
通分计算括号内的和：
$\frac{25}{12}x=1$
解得：
$x=\frac{12}{25}$
将$\frac{12}{25}$年换算为天数：$\frac{12}{25}×365=175.2$天，约175天。
【答案】
4个木匠一起建造需要$\frac{12}{25}$年（约175天）才能把房屋造好。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是趣味类工程应用题，核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，将抽象的总工作量设为单位“1”是解决此类问题的常用技巧，计算时需注意异分母分数加法的运算准确性。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时首先将建造房屋的总工作量设为单位“1”，再根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别求出4个木匠的年工作效率，四人合作的总工作效率为四人各自效率之和，最后依据“总工作量=合作总效率×合作工作时间”的等量关系列一元一次方程求解即可，也可根据需要将结果换算为天数。
【解析】
设建造这所房屋的总工作量为1，4个木匠合作需要x年完成。
由题意得，四个木匠单独工作的年工作效率分别为$1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$。
根据总工作量=合作工作效率×工作时间，列方程：
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})x=1$
通分计算括号内的和：
$\frac{25}{12}x=1$
解得：
$x=\frac{12}{25}$
将$\frac{12}{25}$年换算为天数：$\frac{12}{25}×365=175.2$天，约175天。
【答案】
4个木匠一起建造需要$\frac{12}{25}$年（约175天）才能把房屋造好。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是趣味类工程应用题，核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，将抽象的总工作量设为单位“1”是解决此类问题的常用技巧，计算时需注意异分母分数加法的运算准确性。
【难度系数】
0.7
