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14. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量. 小明测得$AB=8\ \mathrm{m}$，$AD=6\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$BC=26\ \mathrm{m}$，又已知$∠ A=90°$. 求这块土地的面积.
答案
14.解:如图,连接BD。
∵∠A=90°,AB=8 m,AD=6 m,
∴$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{m})$,
又
∵$10^2+24^2=26^2$,
∴△BCD为直角三角形,
土地面积为$\frac{1}{2}×(6×8+10×24)=144(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
要计算不规则四边形ABCD的面积，可采用分割法将其转化为两个三角形的面积和求解：首先观察到∠A=90°，因此连接辅助线BD，将四边形分为△ABD和△BCD两个三角形。第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步将BD的长度代入△BCD的三边，利用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=8m，AD=6m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{m})$。
在△BCD中，BD=10m，CD=24m，BC=26m，
∵ $BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$BC^2=26^2=676$，
∴ $BD^2+CD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∴ 四边形ABCD的面积 = $S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
= $\frac{1}{2}×AB×AD + \frac{1}{2}×BD×CD$
= $\frac{1}{2}×8×6 + \frac{1}{2}×10×24$
= $24 + 120 = 144(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
14.解:如图,连接BD。
∵∠A=90°,AB=8 m,AD=6 m,
∴$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{m})$,
又
∵$10^2+24^2=26^2$,
∴△BCD为直角三角形,
土地面积为$\frac{1}{2}×(6×8+10×24)=144(\mathrm{m}^2)$.
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、分割法求面积
【点评】
这道题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过合理添加辅助线，将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景，做到灵活运用。
【难度系数】
0.7
要计算不规则四边形ABCD的面积，可采用分割法将其转化为两个三角形的面积和求解：首先观察到∠A=90°，因此连接辅助线BD，将四边形分为△ABD和△BCD两个三角形。第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步将BD的长度代入△BCD的三边，利用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=8m，AD=6m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{m})$。
在△BCD中，BD=10m，CD=24m，BC=26m，
∵ $BD^2+CD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$BC^2=26^2=676$，
∴ $BD^2+CD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∴ 四边形ABCD的面积 = $S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
= $\frac{1}{2}×AB×AD + \frac{1}{2}×BD×CD$
= $\frac{1}{2}×8×6 + \frac{1}{2}×10×24$
= $24 + 120 = 144(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
14.解:如图,连接BD。
∵∠A=90°,AB=8 m,AD=6 m,
∴$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10(\mathrm{m})$,
又
∵$10^2+24^2=26^2$,
∴△BCD为直角三角形,
土地面积为$\frac{1}{2}×(6×8+10×24)=144(\mathrm{m}^2)$.
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、分割法求面积
【点评】
这道题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过合理添加辅助线，将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景，做到灵活运用。
【难度系数】
0.7
15.满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是 （
A.三个内角度数之比为1:2:3
B.三边长的平方之比为1:2:3
C.三边长之比为3:4:5
D.三个内角度数之比为3:4:5
D
）A.三个内角度数之比为1:2:3
B.三边长的平方之比为1:2:3
C.三边长之比为3:4:5
D.三个内角度数之比为3:4:5
答案
15.D
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，有两种常用判定思路：①从内角角度：利用三角形内角和为180°，计算最大内角是否等于90°，是则为直角三角形；②从边长角度：利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，是则为直角三角形。我们只需逐个分析选项，用对应方法验证，排除是直角三角形的选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 设三个内角分别为$x、2x、3x$，根据三角形内角和定理：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，是直角三角形，不符合题意；
B. 设三边长的平方分别为$k、2k、3k$（$k＞0$），可得$k+2k=3k$，即两条较短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
C. 设三边长分别为$3k、4k、5k$（$k＞0$），则$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D. 设三个内角分别为$3x、4x、5x$，根据三角形内角和定理：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角为$5x=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，核心考查角、边两个维度的判定方法，只要熟练掌握对应定理，逐个排查选项即可正确解答，解题时注意不要混淆内角比例和边长比例的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，有两种常用判定思路：①从内角角度：利用三角形内角和为180°，计算最大内角是否等于90°，是则为直角三角形；②从边长角度：利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，是则为直角三角形。我们只需逐个分析选项，用对应方法验证，排除是直角三角形的选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 设三个内角分别为$x、2x、3x$，根据三角形内角和定理：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，是直角三角形，不符合题意；
B. 设三边长的平方分别为$k、2k、3k$（$k＞0$），可得$k+2k=3k$，即两条较短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
C. 设三边长分别为$3k、4k、5k$（$k＞0$），则$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D. 设三个内角分别为$3x、4x、5x$，根据三角形内角和定理：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角为$5x=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，核心考查角、边两个维度的判定方法，只要熟练掌握对应定理，逐个排查选项即可正确解答，解题时注意不要混淆内角比例和边长比例的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
16.一个三角形的三边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为（
A.12 cm
B.10 cm
C.$\frac{25}{2}$ cm
D.$\frac{21}{2}$ cm
A
）A.12 cm
B.10 cm
C.$\frac{25}{2}$ cm
D.$\frac{21}{2}$ cm
答案
16.A
解析
【分析】
首先观察三角形三边长的数值特征，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。确定三角形是直角三角形后，要求最长边（斜边）上的高，可采用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出高。
【解析】
第一步：判断三角形形状
计算各边长的平方：
$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形，且直角边为15cm、20cm，最长边（斜边）长为25cm。
第二步：用等面积法求斜边上的高
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2} × 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2 = \frac{1}{2} × 斜边 × 斜边上的高$
代入数值可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
两边同时乘2消去分母得：$15 × 20 = 25h$
计算得：$300 = 25h$，解得$h = 12\mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.等面积法求高
【点评】
本题解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再结合等面积法求解高，等面积法是计算三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先观察三角形三边长的数值特征，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。确定三角形是直角三角形后，要求最长边（斜边）上的高，可采用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出高。
【解析】
第一步：判断三角形形状
计算各边长的平方：
$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形，且直角边为15cm、20cm，最长边（斜边）长为25cm。
第二步：用等面积法求斜边上的高
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2} × 直角边\_\_\_\_\_\_1 × 直角边\_\_\_\_\_\_2 = \frac{1}{2} × 斜边 × 斜边上的高$
代入数值可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
两边同时乘2消去分母得：$15 × 20 = 25h$
计算得：$300 = 25h$，解得$h = 12\mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.等面积法求高
【点评】
本题解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再结合等面积法求解高，等面积法是计算三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
17. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=AC$,点$P$是$△ ABC$内的一点.若$AP=3$,$BP=1$,$CP=2$,则$∠ BPC$的度数是（
A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
C
）A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
答案
17.C
解析
【分析】
已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC且∠ACB=90°，AP、BP、CP三条已知长度的线段位置分散，无法直接求∠BPC的度数。我们可以利用旋转的方法，借助AC=BC的条件，将△ACP绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，把三条分散的线段集中到相邻的三角形中，先通过等腰直角三角形的性质求出PQ的长度和∠CPQ的度数，再用勾股定理逆定理判断△BPQ为直角三角形，得到∠BPQ的度数，两者相加即可得到∠BPC的度数。
【解析】
将△ACP绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCQ，连接PQ。
1. 由旋转的性质可知：$CQ=CP=2$，$BQ=AP=3$，$∠ PCQ=∠ ACB=90°$；
2. 在$Rt△ PCQ$中，由勾股定理得$PQ^2=CP^2+CQ^2=2^2+2^2=8$，且$△ PCQ$为等腰直角三角形，因此$∠ CPQ=45°$；
3. 已知$BP=1$，则$BP^2+PQ^2=1^2+8=9$，又$BQ^2=3^2=9$，可得$BP^2+PQ^2=BQ^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BPQ$是直角三角形，且$∠ BPQ=90°$；
4. 因此$∠ BPC=∠ CPQ+∠ BPQ=45°+90°=135°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过旋转将分散的已知线段集中构造特殊三角形，是解决等腰直角三角形内部点相关角度、长度问题的常用技巧，需要熟练掌握旋转的性质和勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.6
已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC且∠ACB=90°，AP、BP、CP三条已知长度的线段位置分散，无法直接求∠BPC的度数。我们可以利用旋转的方法，借助AC=BC的条件，将△ACP绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，把三条分散的线段集中到相邻的三角形中，先通过等腰直角三角形的性质求出PQ的长度和∠CPQ的度数，再用勾股定理逆定理判断△BPQ为直角三角形，得到∠BPQ的度数，两者相加即可得到∠BPC的度数。
【解析】
将△ACP绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCQ，连接PQ。
1. 由旋转的性质可知：$CQ=CP=2$，$BQ=AP=3$，$∠ PCQ=∠ ACB=90°$；
2. 在$Rt△ PCQ$中，由勾股定理得$PQ^2=CP^2+CQ^2=2^2+2^2=8$，且$△ PCQ$为等腰直角三角形，因此$∠ CPQ=45°$；
3. 已知$BP=1$，则$BP^2+PQ^2=1^2+8=9$，又$BQ^2=3^2=9$，可得$BP^2+PQ^2=BQ^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BPQ$是直角三角形，且$∠ BPQ=90°$；
4. 因此$∠ BPC=∠ CPQ+∠ BPQ=45°+90°=135°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过旋转将分散的已知线段集中构造特殊三角形，是解决等腰直角三角形内部点相关角度、长度问题的常用技巧，需要熟练掌握旋转的性质和勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.6
18. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=13$，$BC$边上的中线$AD=6$，则$△ ABD$的面积是（
A.12
B.15
C.18
D.20
B
）A.12
B.15
C.18
D.20
答案
18.B
解析
【分析】
遇到三角形中线相关的问题，常用“倍长中线”的辅助线方法构造全等三角形，将分散的已知边长转移到同一个三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而求出面积。具体思路：①延长中线AD到E，使DE=AD，连接BE，构造全等三角形；②证明△ADC≌△EDB，得到BE=AC，将已知的AC长度转化为BE的长度；③验证△ABE的三边满足勾股定理逆定理，确定它是直角三角形，算出其面积；④根据AD=DE，得出△ABD的面积是△ABE面积的一半，即可求出结果。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l} AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB\\ CD=BD\end{array} $
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴BE=AC=13。
∵AD=6，
∴AE=AD+DE=6+6=12。
在△ABE中，$AB=5$，$AE=12$，$BE=13$，
∵$AB^2+AE^2=5^2+12^2=25+144=169$，$BE^2=13^2=169$，
∴$AB^2+AE^2=BE^2$，
∴△ABE是直角三角形，且$∠ BAE=90°$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AB × AE=\frac{1}{2} ×5×12=30$。
∵D是AE的中点，△ABD和△BED等底（AD=DE）同高（点B到AE的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×30=15$。
【答案】
B
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线类的典型题型，解题的关键是掌握倍长中线的辅助线作法，通过构造全等将分散的边转化到同一三角形中，再结合勾股定理逆定理求解面积，熟练掌握相关辅助线技巧能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
遇到三角形中线相关的问题，常用“倍长中线”的辅助线方法构造全等三角形，将分散的已知边长转移到同一个三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而求出面积。具体思路：①延长中线AD到E，使DE=AD，连接BE，构造全等三角形；②证明△ADC≌△EDB，得到BE=AC，将已知的AC长度转化为BE的长度；③验证△ABE的三边满足勾股定理逆定理，确定它是直角三角形，算出其面积；④根据AD=DE，得出△ABD的面积是△ABE面积的一半，即可求出结果。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l} AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB\\ CD=BD\end{array} $
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴BE=AC=13。
∵AD=6，
∴AE=AD+DE=6+6=12。
在△ABE中，$AB=5$，$AE=12$，$BE=13$，
∵$AB^2+AE^2=5^2+12^2=25+144=169$，$BE^2=13^2=169$，
∴$AB^2+AE^2=BE^2$，
∴△ABE是直角三角形，且$∠ BAE=90°$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AB × AE=\frac{1}{2} ×5×12=30$。
∵D是AE的中点，△ABD和△BED等底（AD=DE）同高（点B到AE的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×30=15$。
【答案】
B
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线类的典型题型，解题的关键是掌握倍长中线的辅助线作法，通过构造全等将分散的边转化到同一三角形中，再结合勾股定理逆定理求解面积，熟练掌握相关辅助线技巧能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
