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6. 下列命题中正确的个数为 （
①△ABC的三边长是a,b,c，若a:b:c=4:5:3，则△ABC是直角三角形；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③△ABC的三边BC,AC,AB的长分别为a,b,c，若$a^2 + c^2 = b^2$，则∠C=90°；④在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）①△ABC的三边长是a,b,c，若a:b:c=4:5:3，则△ABC是直角三角形；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③△ABC的三边BC,AC,AB的长分别为a,b,c，若$a^2 + c^2 = b^2$，则∠C=90°；④在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.C
解析
【分析】
要判断正确命题的个数，需逐个分析4个命题：①③可通过勾股定理的逆定理判断，注意勾股定理中斜边对应直角的位置；②④可结合三角形内角和为180°，通过角的数量关系判断是否有直角，最终统计正确命题的个数即可。
【解析】
逐个分析命题：
①设a=4k，b=5k，c=3k（k＞0），则$a^2=(4k)^2=16k^2$，$b^2=(5k)^2=25k^2$，$c^2=(3k)^2=9k^2$，可得$a^2+c^2=16k^2+9k^2=25k^2=b^2$，符合勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，①正确；
②设三角形三个内角为∠A、∠B、∠C，若∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和为180°，可得$∠A+∠B+∠C=2∠A=180°$，解得∠A=90°，该三角形是直角三角形，②正确；
③根据勾股定理逆定理，$a^2 + c^2 = b^2$说明b是斜边，斜边对应的角为∠B，即∠B=90°，不是∠C=90°，③错误；
④设∠A=x，∠B=5x，∠C=6x，结合内角和为180°可得$x+5x+6x=180°$，解得x=15°，则∠C=6×15°=90°，△ABC是直角三角形，④正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，既可以通过边的关系结合勾股定理逆定理判断，也可以通过角的关系结合内角和定理判断，解题时要注意勾股定理逆定理中斜边对应直角的位置，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断正确命题的个数，需逐个分析4个命题：①③可通过勾股定理的逆定理判断，注意勾股定理中斜边对应直角的位置；②④可结合三角形内角和为180°，通过角的数量关系判断是否有直角，最终统计正确命题的个数即可。
【解析】
逐个分析命题：
①设a=4k，b=5k，c=3k（k＞0），则$a^2=(4k)^2=16k^2$，$b^2=(5k)^2=25k^2$，$c^2=(3k)^2=9k^2$，可得$a^2+c^2=16k^2+9k^2=25k^2=b^2$，符合勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，①正确；
②设三角形三个内角为∠A、∠B、∠C，若∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和为180°，可得$∠A+∠B+∠C=2∠A=180°$，解得∠A=90°，该三角形是直角三角形，②正确；
③根据勾股定理逆定理，$a^2 + c^2 = b^2$说明b是斜边，斜边对应的角为∠B，即∠B=90°，不是∠C=90°，③错误；
④设∠A=x，∠B=5x，∠C=6x，结合内角和为180°可得$x+5x+6x=180°$，解得x=15°，则∠C=6×15°=90°，△ABC是直角三角形，④正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，既可以通过边的关系结合勾股定理逆定理判断，也可以通过角的关系结合内角和定理判断，解题时要注意勾股定理逆定理中斜边对应直角的位置，避免混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.7
7.某木工做一个长方形桌面，完工后量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面
合格
（填“合格”或“不合格”）。答案
7.合格
解析
【分析】
要判断长方形桌面是否合格，核心是验证桌面的内角是否为直角（长方形的四个内角均为直角）。我们可以利用勾股定理的逆定理，验证长、宽、对角线的长度是否满足“两条短边的平方和等于最长边的平方”：如果满足，说明长和宽的夹角是直角，桌面合格；反之则不合格。
【解析】
首先分别计算长、宽的平方和，以及对角线的平方：
长的平方：$2.4^2 = 5.76$
宽的平方：$1.8^2 = 3.24$
长与宽的平方和：$5.76 + 3.24 = 9$
对角线的平方：$3^2 = 9$
可得$2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，根据勾股定理的逆定理，长、宽、对角线构成的三角形是直角三角形，即桌面的内角为直角，因此该长方形桌面符合要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理的逆定理；矩形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的判定问题，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.9
要判断长方形桌面是否合格，核心是验证桌面的内角是否为直角（长方形的四个内角均为直角）。我们可以利用勾股定理的逆定理，验证长、宽、对角线的长度是否满足“两条短边的平方和等于最长边的平方”：如果满足，说明长和宽的夹角是直角，桌面合格；反之则不合格。
【解析】
首先分别计算长、宽的平方和，以及对角线的平方：
长的平方：$2.4^2 = 5.76$
宽的平方：$1.8^2 = 3.24$
长与宽的平方和：$5.76 + 3.24 = 9$
对角线的平方：$3^2 = 9$
可得$2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，根据勾股定理的逆定理，长、宽、对角线构成的三角形是直角三角形，即桌面的内角为直角，因此该长方形桌面符合要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理的逆定理；矩形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的判定问题，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.9
8. 在$△ ABC$中，如果$(a + b)(a - b) = c^2$，那么$∠$
A
$= 90°$答案
8.A
解析
【分析】
首先观察已知等式的左边是平方差的形式，我们可以先利用平方差公式展开等式，再通过移项整理得到三角形三边的平方关系，最后结合勾股定理的逆定理和三角形边与对角的对应关系，就能判断出哪个角是直角。
【解析】
1. 展开等式左边：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
2. 整理得到三边平方关系：
已知$(a+b)(a-b)=c^2$，代入展开结果得$a^2 - b^2 = c^2$，移项后可得$a^2 = b^2 + c^2$。
3. 判断直角：
根据勾股定理逆定理，若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角为直角。在$△ ABC$中，边$a$对应的角是$∠ A$，因此$∠ A=90°$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，勾股定理逆定理，三角形边角对应
【点评】
本题属于基础题型，将代数变形和几何定理结合考察，只要熟练掌握平方差公式的运算规则、勾股定理逆定理的内容，以及三角形边和其对角的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先观察已知等式的左边是平方差的形式，我们可以先利用平方差公式展开等式，再通过移项整理得到三角形三边的平方关系，最后结合勾股定理的逆定理和三角形边与对角的对应关系，就能判断出哪个角是直角。
【解析】
1. 展开等式左边：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
2. 整理得到三边平方关系：
已知$(a+b)(a-b)=c^2$，代入展开结果得$a^2 - b^2 = c^2$，移项后可得$a^2 = b^2 + c^2$。
3. 判断直角：
根据勾股定理逆定理，若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角为直角。在$△ ABC$中，边$a$对应的角是$∠ A$，因此$∠ A=90°$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，勾股定理逆定理，三角形边角对应
【点评】
本题属于基础题型，将代数变形和几何定理结合考察，只要熟练掌握平方差公式的运算规则、勾股定理逆定理的内容，以及三角形边和其对角的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
9. 如图，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD//BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是
（第9题图）
（第10题图）
（第11题图）
$5\sqrt{3}$
cm.（第9题图）
（第10题图）
（第11题图）
答案
9.$5\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求直角梯形的腰AB的长度，我们可以通过作辅助线的方法将梯形转化为矩形和直角三角形求解：首先过点D作DE垂直BC于E，可得四边形ABED是矩形，因此AB=DE，只需要求出DE的长度即可。已知∠ADC=120°，可推导出直角三角形DEC中∠EDC=30°，结合斜边DC=10cm，利用直角三角形的性质和勾股定理就能求出DE，也就是AB的长度。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵AD//BC，AB⊥BC，DE⊥BC
∴四边形ABED是矩形
∴AB=DE，∠ADE=90°
∵∠ADC=120°
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=120°-90°=30°
在Rt△DEC中，DC=10cm，∠EDC=30°
∴EC=½DC=5cm
由勾股定理得：
DE=√(DC² - EC²)=√(10² - 5²)=√75=5√3（cm）
∴AB=DE=5√3 cm
【答案】
5√3
【知识点】
直角梯形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是梯形类基础计算题，作高将梯形转化为矩形和直角三角形是解决梯形问题的常用辅助线作法，结合特殊角的性质和勾股定理即可快速求出结果，要熟练掌握这类图形转化的思路。
【难度系数】
0.7
要求直角梯形的腰AB的长度，我们可以通过作辅助线的方法将梯形转化为矩形和直角三角形求解：首先过点D作DE垂直BC于E，可得四边形ABED是矩形，因此AB=DE，只需要求出DE的长度即可。已知∠ADC=120°，可推导出直角三角形DEC中∠EDC=30°，结合斜边DC=10cm，利用直角三角形的性质和勾股定理就能求出DE，也就是AB的长度。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵AD//BC，AB⊥BC，DE⊥BC
∴四边形ABED是矩形
∴AB=DE，∠ADE=90°
∵∠ADC=120°
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=120°-90°=30°
在Rt△DEC中，DC=10cm，∠EDC=30°
∴EC=½DC=5cm
由勾股定理得：
DE=√(DC² - EC²)=√(10² - 5²)=√75=5√3（cm）
∴AB=DE=5√3 cm
【答案】
5√3
【知识点】
直角梯形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是梯形类基础计算题，作高将梯形转化为矩形和直角三角形是解决梯形问题的常用辅助线作法，结合特殊角的性质和勾股定理即可快速求出结果，要熟练掌握这类图形转化的思路。
【难度系数】
0.7
10.如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为边向外作正方形，其面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$，且$S_{1}=4,S_{2}=8$，则$AB$的长为________.
答案
10.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，向外作的三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方（正方形面积=边长²）。解题时先利用正方形面积和边长的关系，把$S_1$、$S_2$转化为对应直角边的平方，再结合勾股定理求出斜边AB的平方，最后开平方即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴ 根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ 正方形面积等于边长的平方，
∴ $S_1 = BC^2 = 4$，$S_2 = AC^2 = 8$，
代入勾股定理公式得：$AB^2 = S_1 + S_2 = 4 + 8 = 12$。
又
∵ AB为线段长度，是正数，
∴ $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形的边长关系结合考查，解题关键是理解三个正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，向外作的三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方（正方形面积=边长²）。解题时先利用正方形面积和边长的关系，把$S_1$、$S_2$转化为对应直角边的平方，再结合勾股定理求出斜边AB的平方，最后开平方即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴ 根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ 正方形面积等于边长的平方，
∴ $S_1 = BC^2 = 4$，$S_2 = AC^2 = 8$，
代入勾股定理公式得：$AB^2 = S_1 + S_2 = 4 + 8 = 12$。
又
∵ AB为线段长度，是正数，
∴ $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形的边长关系结合考查，解题关键是理解三个正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
11.如图，已知$∠ A=90°$，$AC=AB=8$，$CD=4$，$BD=12$，则$∠ ACD=$
45
度。答案
11.45
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰直角△ABC入手，第一步利用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步将BC长度代入△BCD，利用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，得到∠BCD的度数；最后结合等腰直角三角形∠ACB的度数，作差即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵∠A=90°，AC=AB=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
由勾股定理可得：$BC^2=AC^2+AB^2=8^2+8^2=128$。
在△BCD中，CD=4，BD=12，
∵$CD^2+BC^2=4^2+128=16+128=144$，$BD^2=12^2=144$，
∴$CD^2+BC^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是勾股定理及逆定理的组合应用，解题的突破口是先求出公共边BC的长度，进而判断△BCD的形状，结合已知角度计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等腰直角△ABC入手，第一步利用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步将BC长度代入△BCD，利用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，得到∠BCD的度数；最后结合等腰直角三角形∠ACB的度数，作差即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵∠A=90°，AC=AB=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
由勾股定理可得：$BC^2=AC^2+AB^2=8^2+8^2=128$。
在△BCD中，CD=4，BD=12，
∵$CD^2+BC^2=4^2+128=16+128=144$，$BD^2=12^2=144$，
∴$CD^2+BC^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是勾股定理及逆定理的组合应用，解题的突破口是先求出公共边BC的长度，进而判断△BCD的形状，结合已知角度计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
12.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…….请写出具有以上规律的第⑧组勾股数：
20,99,101
.答案
12.20,99,101
解析
【分析】
解题时先分别观察每组勾股数的三个数的特征：第一步先找第一个数的变化规律，观察已知4组的第一个数6、8、10、12，是连续递增的偶数，可推出第n组第一个数的表达式；第二步观察后两个数的关系，发现每组第三个数比第二个数大2，再验证三个数的运算关系，可得第二个数和第三个数的表达式；最后将n=8代入表达式计算，再验证是否满足勾股数要求即可。
【解析】
1. 推导第n组勾股数第一个数的规律：
第1组第一个数：$6=2×(1+2)$
第2组第一个数：$8=2×(2+2)$
第3组第一个数：$10=2×(3+2)$
第4组第一个数：$12=2×(4+2)$
可得第n组第一个数为：$2(n+2)$
2. 推导后两个数的规律：
观察发现每组第三个数比第二个数大2，取每组第一个数除以2得$k$：
第1组$k=6÷2=3$，第二个数$=3^2-1=8$，第三个数$=3^2+1=10$，符合；
第2组$k=8÷2=4$，第二个数$=4^2-1=15$，第三个数$=4^2+1=17$，符合；
同理可验证第3、4组均满足：第二个数$=k^2-1$，第三个数$=k^2+1$，其中$k=n+2$。
3. 计算第⑧组勾股数（$n=8$）：
第一个数：$2×(8+2)=20$
$k=20÷2=10$
第二个数：$10^2-1=99$
第三个数：$10^2+1=101$
验证：$20^2+99^2=400+9801=10201=101^2$，符合勾股数定义。
【答案】
20,99,101
【知识点】
勾股数、数字规律探究
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先拆分单个数字的变化规律，再梳理三个数之间的运算关系，最后代入验证即可得出结果，平时多积累常见数列的规律能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先分别观察每组勾股数的三个数的特征：第一步先找第一个数的变化规律，观察已知4组的第一个数6、8、10、12，是连续递增的偶数，可推出第n组第一个数的表达式；第二步观察后两个数的关系，发现每组第三个数比第二个数大2，再验证三个数的运算关系，可得第二个数和第三个数的表达式；最后将n=8代入表达式计算，再验证是否满足勾股数要求即可。
【解析】
1. 推导第n组勾股数第一个数的规律：
第1组第一个数：$6=2×(1+2)$
第2组第一个数：$8=2×(2+2)$
第3组第一个数：$10=2×(3+2)$
第4组第一个数：$12=2×(4+2)$
可得第n组第一个数为：$2(n+2)$
2. 推导后两个数的规律：
观察发现每组第三个数比第二个数大2，取每组第一个数除以2得$k$：
第1组$k=6÷2=3$，第二个数$=3^2-1=8$，第三个数$=3^2+1=10$，符合；
第2组$k=8÷2=4$，第二个数$=4^2-1=15$，第三个数$=4^2+1=17$，符合；
同理可验证第3、4组均满足：第二个数$=k^2-1$，第三个数$=k^2+1$，其中$k=n+2$。
3. 计算第⑧组勾股数（$n=8$）：
第一个数：$2×(8+2)=20$
$k=20÷2=10$
第二个数：$10^2-1=99$
第三个数：$10^2+1=101$
验证：$20^2+99^2=400+9801=10201=101^2$，符合勾股数定义。
【答案】
20,99,101
【知识点】
勾股数、数字规律探究
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先拆分单个数字的变化规律，再梳理三个数之间的运算关系，最后代入验证即可得出结果，平时多积累常见数列的规律能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
13. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a,b,c$满足$(a-3)^2+\sqrt{b-4}+|c-5|=0$.
(1)$a=$
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(1)$a=$
3
$,b=$4
$,c=$5
;(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
13.解:(1)3 4 5
(2)直角三角形.理由如下.
∵$a^2+b^2=3^2+4^2=25=5^2$,$c^2=5^2$,
∴$a^2+b^2=c^2$,
∴△ABC为直角三角形.
(2)直角三角形.理由如下.
∵$a^2+b^2=3^2+4^2=25=5^2$,$c^2=5^2$,
∴$a^2+b^2=c^2$,
∴△ABC为直角三角形.
解析
【分析】
(1) 解题思路：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，几个非负数相加的和为0时，每个非负数的值都为0。根据这个性质分别列出等式，就能求出a、b、c的取值。
(2) 解题思路：已知三角形三边长后，可通过勾股定理的逆定理判断形状，即验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足该关系则为直角三角形。
【解析】
(1) 解：
∵$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，$|c-5|≥0$，且$(a-3)^2+\sqrt{b-4}+|c-5|=0$
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵$a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$，$c^2=5^2=25$
∴$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形。
【答案】
(1) 3；4；5
(2) 直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查非负性的应用和勾股定理逆定理的使用，熟练掌握相关性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，几个非负数相加的和为0时，每个非负数的值都为0。根据这个性质分别列出等式，就能求出a、b、c的取值。
(2) 解题思路：已知三角形三边长后，可通过勾股定理的逆定理判断形状，即验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足该关系则为直角三角形。
【解析】
(1) 解：
∵$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，$|c-5|≥0$，且$(a-3)^2+\sqrt{b-4}+|c-5|=0$
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵$a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$，$c^2=5^2=25$
∴$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形。
【答案】
(1) 3；4；5
(2) 直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查非负性的应用和勾股定理逆定理的使用，熟练掌握相关性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
