19.如图,已知△ABC,AB=1,BC=3,AC=√10,点P是AC上的一个动点,则线段BP长的最小值是.

19.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

【分析】
首先根据已知的三角形三边长，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算三边的平方，发现两条短边的平方和等于长边的平方，可确定△ABC是直角三角形，∠B为直角。接下来求AC上动点P到点B的最短距离，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可知当BP垂直AC时，BP的长度最小。此时利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）相等，列等式即可求出最短BP的长度。
【解析】
解：第一步，判定△ABC的形状：
已知AB=1，BC=3，AC=√10，
则$AB^2+BC^2=1^2+3^2=1+9=10$，$AC^2=(\sqrt{10})^2=10$，
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ B=90°$。
第二步，求BP的最小值：
根据垂线段最短的性质，当$BP⊥ AC$时，线段BP的长度最小。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}× AC× BP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×1×3=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× BP$，
化简得：$3=\sqrt{10}· BP$，
解得：$BP=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；垂线段最短；三角形面积计算
【点评】
本题是几何线段最值的典型基础题，解题关键是先通过边长关系判定直角三角形，再结合垂线段最短确定BP取最小值的位置，用面积法即可快速求解，考查了几何基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

20.如图,在四边形ABCD中$,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,DA=5\sqrt{2},$则BD的长为.

20.$\sqrt{65}$

【分析】
解题思路如下：第一步，先观察直角△ABC，已知两条直角边长度，用勾股定理先算出斜边AC的长度；第二步，将AC的长度代入△ACD，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，得到∠ACD=90°；第三步，要求BD的长，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，过D作DE垂直BC的延长线于点E，通过角的互余关系证明△ABC和△CED全等，得到DE、CE的长度；第四步，最后在直角△BED中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，
∴$AC=5$。
2. 在△ACD中，$AC=5$，$CD=5$，$DA=5\sqrt{2}$，计算得：
$AC^2+CD^2=5^2+5^2=50$，$AD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，即△ACD是直角三角形，且$∠ ACD=90°$。
3. 过D作$DE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，则$∠ DEC=90°=∠ ABC$。
∵$∠ ACB+∠ DCE=180°-∠ ACD=90°$，$∠ ACB+∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAC=∠ DCE$。
4. 在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ CED\\∠ BAC=∠ DCE\\AC=CD\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ CED(AAS)$。
5. 由全等性质得：$CE=AB=3$，$DE=BC=4$，
∴$BE=BC+CE=4+3=7$。
6. 在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD^2=BE^2+DE^2=7^2+4^2=49+16=65$，
∵BD为线段长度，取正值，
∴$BD=\sqrt{65}$。
【答案】
$\sqrt{65}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，需要灵活运用勾股定理及其逆定理，同时通过构造辅助线得到全等三角形，将未知线段转化到直角三角形中求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

21.已知$△ ABC$的三边长分别为$k^2 -1,2k,k^2 +1$，其中$k＞1$，求证：$△ ABC$是直角三角形.

21.证明:
∵k＞1,
∴$k^2+1$为最长边,
$(k^2-1)^2+(2k)^2=k^4-2k^2+1+4k^2=k^4+2k^2+1=(k^2+1)^2$,
满足勾股定理逆定理,
∴△ABC是直角三角形.

【分析】
要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理判定，解题思路如下：第一步，结合k＞1的条件，比较三边长的大小，确定最长边；第二步，分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；第三步，验证二者是否相等，若相等则满足勾股定理逆定理，即可判定三角形为直角三角形。
【解析】
证明：
∵k＞1，
∴$k^2+1$为最长边，
计算两条短边的平方和：
$(k^2-1)^2+(2k)^2=k^4-2k^2+1+4k^2=k^4+2k^2+1$，
最长边的平方为：
$(k^2+1)^2=k^4+2k^2+1$，
∴$(k^2-1)^2+(2k)^2=(k^2+1)^2$，满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
勾股定理逆定理，完全平方公式，整式运算
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，解题核心是先确定最长边，再通过整式运算验证三边的平方关系，计算时要注意完全平方展开的正确性，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8

22.“在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.

(1)图1中△ABC的面积是；
(2)若△MNP的边长分别为$\sqrt{m^2+16n^2}$，$\sqrt{9m^2+4n^2}$，$\sqrt{4m^2+4n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积.

22.解:(1)3.5
(2)作图如下。
$S_{△ MNP}=3m·4n-\frac{1}{2}· m·4n-\frac{1}{2}·3m·2n-\frac{1}{2}·2m·2n=5mn$.

【分析】
(1) 求解格点三角形面积可采用割补法：先将三角形补成一个规则矩形，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积，省去了求三角形高的复杂计算。
(2) 观察△MNP的三边形式，均为两个平方和的算术平方根，符合勾股定理中斜边的表达式$\sqrt{a^2+b^2}$（表示直角边为a、b的直角三角形的斜边长）。我们将网格每个小矩形的横向边长设为n，纵向边长设为m，分别构造出对应长度的三条边，得到格点△MNP，再用同样的割补法即可计算其面积。
【解析】
(1) 包围△ABC的最小正方形边长为3，面积为$3×3=9$。
正方形内△ABC周围的3个直角三角形面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×1×3=1.5$。
因此$S_{△ABC}=9 - 1 - 3 - 1.5 = 3.5$。
(2) 把网格每个小矩形的横向长记为n，纵向长记为m：
$\sqrt{m^2+(4n)^2}=\sqrt{m^2+16n^2}$，对应直角边为m、4n的直角三角形斜边；
$\sqrt{(3m)^2+(2n)^2}=\sqrt{9m^2+4n^2}$，对应直角边为3m、2n的直角三角形斜边；
$\sqrt{(2m)^2+(2n)^2}=\sqrt{4m^2+4n^2}$，对应直角边为2m、2n的直角三角形斜边。
按上述边长构造△MNP（如图），包围△MNP的矩形面积为$3m·4n=12mn$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}·m·4n=2mn$，$S_2=\frac{1}{2}·3m·2n=3mn$，$S_3=\frac{1}{2}·2m·2n=2mn$。
因此$S_{△MNP}=12mn - 2mn - 3mn - 2mn = 5mn$。
【答案】
(1) $\boxed{3.5}$
(2) 作图见，△MNP的面积为$\boxed{5mn}$
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，网格构图
【点评】
本题考查构图法求解斜三角形面积的应用，核心是利用勾股定理的几何意义，将斜边长转化为直角三角形的斜边，再通过割补法把不规则图形面积转化为规则图形面积的差计算，渗透了数形结合的思想，掌握割补法是解题的关键。
【难度系数】
0.65