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一、选择题(下列各题的四个选项中,只有一个是正确的,请将正确答案选项的序号填在题后的括号内)
1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,平行四边形$OABC$的顶点$B$在$y$轴上,顶点$A$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上,顶点$C$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上,则平行四边形$OABC$的面积是()
A.32
B.16
C.8
D.$\frac{39}{4}$
1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,平行四边形$OABC$的顶点$B$在$y$轴上,顶点$A$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上,顶点$C$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上,则平行四边形$OABC$的面积是()
A.32
B.16
C.8
D.$\frac{39}{4}$
答案
B
解析
设点Aのx座標を負の数として$-a\ (a＞0)$とおく。平行四辺形OABCの性質から、点Cのx座標は$a$となる。
点Aは反比例関数$y=-\frac{6}{x}$上にあるので、$x=-a$を代入すると$y=\frac{6}{a}$、つまり$A(-a,\frac{6}{a})$。
点Cは反比例関数$y=\frac{10}{x}$上にあるので、$x=a$を代入すると$y=\frac{10}{a}$、つまり$C(a,\frac{10}{a})$。
平行四辺形の性質から、点Bの座標は$(0,\frac{6}{a}+\frac{10}{a})=(0,\frac{16}{a})$となり、y軸上にある辺OBの長さは$\frac{16}{a}$である。
辺OBを底辺とすると、対応する高さは点A（または点C）からy軸までの水平距離$a$である。
平行四辺形の面積は「底辺×高さ」で計算され、$\frac{16}{a} × a = 16$となる。
点Aは反比例関数$y=-\frac{6}{x}$上にあるので、$x=-a$を代入すると$y=\frac{6}{a}$、つまり$A(-a,\frac{6}{a})$。
点Cは反比例関数$y=\frac{10}{x}$上にあるので、$x=a$を代入すると$y=\frac{10}{a}$、つまり$C(a,\frac{10}{a})$。
平行四辺形の性質から、点Bの座標は$(0,\frac{6}{a}+\frac{10}{a})=(0,\frac{16}{a})$となり、y軸上にある辺OBの長さは$\frac{16}{a}$である。
辺OBを底辺とすると、対応する高さは点A（または点C）からy軸までの水平距離$a$である。
平行四辺形の面積は「底辺×高さ」で計算され、$\frac{16}{a} × a = 16$となる。
2. 如图,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象与正比例函数$y=k_2x$的图象交于点$A(2,2)$,将正比例函数$y=k_2x$的图象向上平移$n$个单位长度后,得到的直线与反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象交于点$C(1,m)$,与$y$轴交于点$B(0,n)$,连接$AC$,则四边形$OACB$的面积为()
A.$5$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$3$
A.$5$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$3$
答案
B
解析
1. 把点A(2,2)代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$2=\frac{k_1}{2}$，解得$k_1=4$，即反比例函数为$y=\frac{4}{x}$。
2. 把点A(2,2)代入正比例函数$y=k_2x$，得$2=2k_2$，解得$k_2=1$，即正比例函数为$y=x$。
3. 把点C(1,m)代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{1}=4$，即C点坐标为(1,4)。
4. 正比例函数向上平移n个单位后解析式为$y=x+n$，将C(1,4)代入得$4=1+n$，解得$n=3$，即B点坐标为(0,3)。
5. 由平移性质可知$BC// OA$，四边形OACB为梯形：
$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}$
平行线$y=x$和$y=x+3$的距离为$\frac{3}{\sqrt{2}}$
梯形面积$S=\frac{(OA+BC)× 高}{2}=\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{2})× \frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{9}{2}$
2. 把点A(2,2)代入正比例函数$y=k_2x$，得$2=2k_2$，解得$k_2=1$，即正比例函数为$y=x$。
3. 把点C(1,m)代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{1}=4$，即C点坐标为(1,4)。
4. 正比例函数向上平移n个单位后解析式为$y=x+n$，将C(1,4)代入得$4=1+n$，解得$n=3$，即B点坐标为(0,3)。
5. 由平移性质可知$BC// OA$，四边形OACB为梯形：
$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}$
平行线$y=x$和$y=x+3$的距离为$\frac{3}{\sqrt{2}}$
梯形面积$S=\frac{(OA+BC)× 高}{2}=\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{2})× \frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{9}{2}$
3. 如图,点$A,B,C$在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,过这三点分别向$x$轴作垂线,垂足分别为$A_1$、$B_1$、$C_1$,则$△ AOA_1$、$△ BOB_1$、$△ COC_1$的面积$S_1$、$S_2$、$S_3$之间的关系为（）
A.$S_1=S_2=S_3$
B.$S_1＜S_2＜S_3$
C.$S_3＜S_1＜S_2$
D.$S_1＞S_2＞S_3$
A.$S_1=S_2=S_3$
B.$S_1＜S_2＜S_3$
C.$S_3＜S_1＜S_2$
D.$S_1＞S_2＞S_3$
答案
A
解析
设点A、B、C的坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，因为三点都在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，所以满足$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$，$x_3y_3=1$。
根据直角三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}· OA_1· AA_1=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{1}{2}$，
$S_2=\frac{1}{2}· OB_1· BB_1=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{1}{2}$，
$S_3=\frac{1}{2}· OC_1· CC_1=\frac{1}{2}x_3y_3=\frac{1}{2}$，
因此$S_1=S_2=S_3$。
根据直角三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}· OA_1· AA_1=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{1}{2}$，
$S_2=\frac{1}{2}· OB_1· BB_1=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{1}{2}$，
$S_3=\frac{1}{2}· OC_1· CC_1=\frac{1}{2}x_3y_3=\frac{1}{2}$，
因此$S_1=S_2=S_3$。
4.如图,四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形,边OA在x轴上,边OB在y轴上,点D在边CB上,反比例函数$y=-\frac{8}{x}$在第二象限的图象经过点E,则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为()
A.12
B.10
C.8
D.6
A.12
B.10
C.8
D.6
答案
C
解析
设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则两正方形面积分别为$a^2$、$b^2$。根据坐标系位置可得点E的坐标为$(b-a, a+b)$，将E代入反比例函数$y=-\frac{8}{x}$，得$(b-a)(a+b)=-8$，整理得$b^2 - a^2=-8$，即$a^2 - b^2=8$，因此两个正方形的面积之差为8。
