5. 如图,点A在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象上,点B在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上,且$k_1$、$k_2$互为相反数,$AB// y$轴,若以AB为边作面积为24的矩形ABCD,点D刚好落在$y=\frac{k_2}{x}$的函数图象上,则点A的坐标为()

A.$(3,-2)$
B.$(-3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,3)$

D

设点A坐标为$(a,b)$，由$k_1＞0$且点A在第一象限，得$a＞0,b＞0$，$k_1=ab$。
因为$k_1$、$k_2$互为相反数，所以$k_2=-k_1=-ab$。
由$AB// y$轴，可知点B横坐标为$a$，代入$y=\frac{k_2}{x}$，得B的纵坐标为$\frac{-ab}{a}=-b$，因此$AB=b-(-b)=2b$。
矩形ABCD中，AB为竖边，AD为水平边，点D纵坐标与A相同为$b$，代入$y=\frac{k_2}{x}$得D的横坐标为$\frac{k_2}{b}=\frac{-ab}{b}=-a$，因此水平边长$AD=a-(-a)=2a$。
由矩形面积为24，得$AB· AD=2b·2a=4ab=24$，解得$ab=6$。
结合A在第一象限，选项中只有$(2,3)$满足$a＞0,b＞0$且$ab=6$。

二、填空题
1. 如图，△ABC的顶点A,B均在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，且关于原点O对称，点C在x轴上，AD⊥x轴于点D，点C在点D右侧，若OD=2CD，则△BOC的面积为。

$\boldsymbol{3}$

解：
设点A的坐标为$(x,y)$，由点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，可得$xy=4$。
$\because AD⊥ x$轴，
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}· OD· AD=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because OD=2CD$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}OD$，$OC=OD+CD=\frac{3}{2}OD$。
$\because A,B$关于原点$O$对称，
$\therefore$点$B$到$x$轴的距离等于点$A$到$x$轴的距离，即等于$AD=y$。
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OC· y=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}OD· y=\frac{3}{2}×(\frac{1}{2}· OD· y)=\frac{3}{2}S_{△ AOD}=\frac{3}{2}×2=3$。

2. 如图,点A是第一象限内反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的一点,$AB⊥y$轴,垂足为点B,点C在x轴上,$△ ABC$的面积是1,则k的值为.

$\boldsymbol{2}$

解：
设点A的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0,y＞0$。
$\because AB⊥ y$轴，
$\therefore AB = x$，AB边上的高等于点A到x轴的距离，即高为$y$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB · y =1$，
$\therefore \frac{1}{2}xy=1$，即$xy=2$。
又$\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=xy=2$。
最终

3. 如图,四边形 OABC 是平行四边形,O 为坐标原点,点 C 在 y 的正半轴上,点 A 在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上,点 D 是线段 BC 与反比例函数图象的交点,若点 B 的坐标为$(2,4)$,平行四边形 OABC 的面积为 6,则实数 m 的值为.

$\boldsymbol{2}$

解：
设点C的坐标为$(0, c)$，其中$c＞0$。
∵ 四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，
∴ 由平行四边形向量性质可得：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}$，
已知$B(2,4)$，代入得点A的坐标为$(2, 4-c)$。
∵ OC在y轴上，平行四边形OABC的底$OC=c$，高为点A到y轴的距离，即2，
∴ $S_{OABC} = c × 2 = 6$，
解得$c=3$。
∴ 点A的坐标为$(2, 4-3)=(2,1)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $m = 2 × 1 = 2$。

4. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与矩形$OABC$在第一象限相交于$D,E$两点,
$OA=2,OC=4$,连接$OD,OE,DE$.记$△ OAD$、$△ OCE$的面积分别为$S_1$、$S_2$.
(1)比较大小:$S_1$$S_2$(填“＞”“＜”或“=”);
(2)若$S_1+S_2=2$,则$△ ODE$的面积为.

(1) $\boldsymbol{=}$；(2) $\boldsymbol{\frac{15}{4}}$

解：
(1) 设$D(x_1,y_1)$，$E(x_2,y_2)$，
∵ 点$D$、$E$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$，
$S_1=\frac{1}{2}· OA· AD=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{k}{2}$，
$S_2=\frac{1}{2}· OC· CE=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{k}{2}$，
∴ $S_1 = S_2$。
(2) ∵ $S_1+S_2=2$，且$S_1=S_2$，
∴ $S_1=S_2=1$，即$\frac{k}{2}=1$，解得$k=2$。
由$OA=2$，得点$D$的纵坐标为2，代入$y=\frac{2}{x}$得$x=1$，即$D(1,2)$，
由$OC=4$，得点$E$的横坐标为4，代入$y=\frac{2}{x}$得$y=\frac{1}{2}$，即$E(4,\frac{1}{2})$。
矩形$OABC$的面积为$OA· OC=2×4=8$，
$BD=4-1=3$，$BE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BD· BE=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，
∴ $S_{△ ODE}=S_{矩形OABC}-S_1-S_2-S_{△ BDE}=8-1-1-\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$。