登录
9. 若将如图2所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
D
）.A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
答案
9.D
解析
【分析】
解决本题的核心是明确图形剪拼前后面积保持不变，因此我们可以先计算原阴影部分的总面积，再结合正方形面积公式推导边长。首先将阴影部分拆分为上方的长方形和下方的三角形两个基础图形，分别计算二者面积后求和得到阴影总面积，再根据正方形面积等于边长的平方，对总面积开算术平方根即可得到拼成的正方形的边长。
【解析】
设每个小方格的边长为1，首先计算阴影部分的总面积：
1. 上方阴影为长方形，长为2，宽为1，面积为：$2×1=2$；
2. 下方阴影为三角形，底为3，高为2，面积为：$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此阴影部分总面为$2+3=5$。
由于剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形的面积也为5。设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式$S=a^2$可得：$a^2=5$，解得$a=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
剪拼面积守恒，图形面积计算，平方根的应用
【点评】
本题属于基础型题目，解题的关键是抓住剪拼过程中面积不变的特点，结合常见平面图形的面积公式和平方根的定义求解，易错点是计算阴影面积时数错边长参数。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确图形剪拼前后面积保持不变，因此我们可以先计算原阴影部分的总面积，再结合正方形面积公式推导边长。首先将阴影部分拆分为上方的长方形和下方的三角形两个基础图形，分别计算二者面积后求和得到阴影总面积，再根据正方形面积等于边长的平方，对总面积开算术平方根即可得到拼成的正方形的边长。
【解析】
设每个小方格的边长为1，首先计算阴影部分的总面积：
1. 上方阴影为长方形，长为2，宽为1，面积为：$2×1=2$；
2. 下方阴影为三角形，底为3，高为2，面积为：$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此阴影部分总面为$2+3=5$。
由于剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形的面积也为5。设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式$S=a^2$可得：$a^2=5$，解得$a=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
剪拼面积守恒，图形面积计算，平方根的应用
【点评】
本题属于基础型题目，解题的关键是抓住剪拼过程中面积不变的特点，结合常见平面图形的面积公式和平方根的定义求解，易错点是计算阴影面积时数错边长参数。
【难度系数】
0.7
10. 人们经过研究发现，宽和长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的长方形看起来美观，这样的长方形被称为黄金矩形. 如图3，黄金矩形ABCD中，$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形. 依此作法，四边形DEGH和四边形KEGL也是黄金矩形. 依次以点E，G，L为圆心作弧AF，弧FH，弧HK. 若AD=2，则曲线AFHK的长是（
A.$(2\sqrt{5}-2)π$
B.$(\sqrt{5}-1)π$
C.$(\sqrt{5}+1)π$
D.$(2\sqrt{5}+2)π$
B
）.A.$(2\sqrt{5}-2)π$
B.$(\sqrt{5}-1)π$
C.$(\sqrt{5}+1)π$
D.$(2\sqrt{5}+2)π$
答案
10.B
解析
【分析】
要计算曲线AFHK的长度，首先观察到这条曲线由三段圆心角为90°的圆弧（也就是四分之一圆弧）组成，总长度等于三段弧长之和。解题思路如下：第一步根据黄金矩形的定义和已知AD的长度，求出第一段弧AF的半径；第二步依次推导后面两段弧FH、HK对应的半径；第三步分别计算三段弧长后求和，就能得到最终结果。
【解析】
解：已知$AD=2$，黄金矩形ABCD中$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以$AB=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
1. 弧AF是以E为圆心，AE为半径的四分之一圆弧，正方形ABFE中$AE=AB=\sqrt{5}-1$，
弧AF的长：$l_1=\frac{1}{4}×2π×AE=\frac{1}{4}×2π×(\sqrt{5}-1)=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}$。
2. $DE=AD - AE=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，弧FH是以G为圆心，$GE=DE$为半径的四分之一圆弧，
弧FH的长：$l_2=\frac{1}{4}×2π×DE=\frac{1}{4}×2π×(3-\sqrt{5})=\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}$。
3. 四边形DEGH是黄金矩形，可得$KE=DE×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(3-\sqrt{5})×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-4$，弧HK是以L为圆心，KE为半径的四分之一圆弧，
弧HK的长：$l_3=\frac{1}{4}×2π×KE=\frac{1}{4}×2π×(2\sqrt{5}-4)=π(\sqrt{5}-2)$。
总长度$l=l_1+l_2+l_3=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}+\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}+π(\sqrt{5}-2)=π+π\sqrt{5}-2π=(\sqrt{5}-1)π$。
【答案】
B
【知识点】
黄金矩形的定义，弧长计算，正方形的性质
【点评】
本题将黄金矩形的性质与弧长计算相结合，需要逐步推导每段圆弧的半径，考查了逻辑推理能力和实数运算能力，理清各段半径的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
要计算曲线AFHK的长度，首先观察到这条曲线由三段圆心角为90°的圆弧（也就是四分之一圆弧）组成，总长度等于三段弧长之和。解题思路如下：第一步根据黄金矩形的定义和已知AD的长度，求出第一段弧AF的半径；第二步依次推导后面两段弧FH、HK对应的半径；第三步分别计算三段弧长后求和，就能得到最终结果。
【解析】
解：已知$AD=2$，黄金矩形ABCD中$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以$AB=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
1. 弧AF是以E为圆心，AE为半径的四分之一圆弧，正方形ABFE中$AE=AB=\sqrt{5}-1$，
弧AF的长：$l_1=\frac{1}{4}×2π×AE=\frac{1}{4}×2π×(\sqrt{5}-1)=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}$。
2. $DE=AD - AE=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，弧FH是以G为圆心，$GE=DE$为半径的四分之一圆弧，
弧FH的长：$l_2=\frac{1}{4}×2π×DE=\frac{1}{4}×2π×(3-\sqrt{5})=\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}$。
3. 四边形DEGH是黄金矩形，可得$KE=DE×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(3-\sqrt{5})×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-4$，弧HK是以L为圆心，KE为半径的四分之一圆弧，
弧HK的长：$l_3=\frac{1}{4}×2π×KE=\frac{1}{4}×2π×(2\sqrt{5}-4)=π(\sqrt{5}-2)$。
总长度$l=l_1+l_2+l_3=\frac{π(\sqrt{5}-1)}{2}+\frac{π(3-\sqrt{5})}{2}+π(\sqrt{5}-2)=π+π\sqrt{5}-2π=(\sqrt{5}-1)π$。
【答案】
B
【知识点】
黄金矩形的定义，弧长计算，正方形的性质
【点评】
本题将黄金矩形的性质与弧长计算相结合，需要逐步推导每段圆弧的半径，考查了逻辑推理能力和实数运算能力，理清各段半径的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
11. 阅读下面的文字，解答问题.
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，$\sqrt{2}$的小数部分不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 又例如：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答下列问题：
(1) $\sqrt{57}$的整数部分是
(2) 如果$\sqrt{11}$的小数部分为$a$，$\sqrt{8}$的整数部分为$b$，求$|a-b|+\sqrt{11}$的值.
(3) 已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的值.
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，$\sqrt{2}$的小数部分不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 又例如：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答下列问题：
(1) $\sqrt{57}$的整数部分是
7
，小数部分是$\sqrt{57}-7$
.(2) 如果$\sqrt{11}$的小数部分为$a$，$\sqrt{8}$的整数部分为$b$，求$|a-b|+\sqrt{11}$的值.
(3) 已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的值.
答案
11. (1) 7 $\sqrt{57}-7$
(2) $\because\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，$2＜\sqrt{8}＜3$，$\therefore a=\sqrt{11}-3$，$b=2$，$\therefore |a-b|+\sqrt{11} =|\sqrt{11}-3-2|+\sqrt{11}=5-\sqrt{11}+\sqrt{11}=5$
(3) $\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12$，$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$
(2) $\because\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，$2＜\sqrt{8}＜3$，$\therefore a=\sqrt{11}-3$，$b=2$，$\therefore |a-b|+\sqrt{11} =|\sqrt{11}-3-2|+\sqrt{11}=5-\sqrt{11}+\sqrt{11}=5$
(3) $\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12$，$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先通过夹逼法估算无理数的取值范围，即找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间，从而得到它的整数部分，再用“无理数减去整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求代入计算即可。
对于(1)：先找相邻的完全平方数确定$\sqrt{57}$的范围，直接得出整数和小数部分；
对于(2)：分别估算$\sqrt{11}$和$\sqrt{8}$的范围，得到a、b的值，再代入含绝对值的式子计算，注意去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负；
对于(3)：先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的范围，确定整数x和小数y的值，再代入计算$x-y$。
【解析】
(1) $\because 7^2=49$，$8^2=64$，即$\sqrt{49}＜\sqrt{57}＜\sqrt{64}$，也就是$7＜\sqrt{57}＜8$，$\therefore \sqrt{57}$的整数部分是7，小数部分为$\sqrt{57}-7$。
(2) $\because\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，$2＜\sqrt{8}＜3$，$\therefore \sqrt{11}$的小数部分$a=\sqrt{11}-3$，$\sqrt{8}$的整数部分$b=2$，代入式子得：
$|a-b|+\sqrt{11} =|\sqrt{11}-3-2|+\sqrt{11}=|\sqrt{11}-5|$
$\because \sqrt{11}＜5$，$\therefore |\sqrt{11}-5|=5-\sqrt{11}$，
$\therefore$原式$=5-\sqrt{11}+\sqrt{11}=5$。
(3) $\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore 10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，
$\because x$是整数，且$0＜y＜1$，$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $7$；$\sqrt{57}-7$
(2) $5$
(3) $12-\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；绝对值的化简
【点评】
本题考查无理数的估算及实数的相关运算，解题的关键是掌握夹逼法估算无理数范围的方法，明确“无理数的小数部分=原数-整数部分”，再结合运算法则正确计算即可。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心思路是先通过夹逼法估算无理数的取值范围，即找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间，从而得到它的整数部分，再用“无理数减去整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求代入计算即可。
对于(1)：先找相邻的完全平方数确定$\sqrt{57}$的范围，直接得出整数和小数部分；
对于(2)：分别估算$\sqrt{11}$和$\sqrt{8}$的范围，得到a、b的值，再代入含绝对值的式子计算，注意去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负；
对于(3)：先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的范围，确定整数x和小数y的值，再代入计算$x-y$。
【解析】
(1) $\because 7^2=49$，$8^2=64$，即$\sqrt{49}＜\sqrt{57}＜\sqrt{64}$，也就是$7＜\sqrt{57}＜8$，$\therefore \sqrt{57}$的整数部分是7，小数部分为$\sqrt{57}-7$。
(2) $\because\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，$2＜\sqrt{8}＜3$，$\therefore \sqrt{11}$的小数部分$a=\sqrt{11}-3$，$\sqrt{8}$的整数部分$b=2$，代入式子得：
$|a-b|+\sqrt{11} =|\sqrt{11}-3-2|+\sqrt{11}=|\sqrt{11}-5|$
$\because \sqrt{11}＜5$，$\therefore |\sqrt{11}-5|=5-\sqrt{11}$，
$\therefore$原式$=5-\sqrt{11}+\sqrt{11}=5$。
(3) $\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore 10+1＜10+\sqrt{3}＜10+2$，即$11＜10+\sqrt{3}＜12$，
$\because x$是整数，且$0＜y＜1$，$\therefore x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$，
$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $7$；$\sqrt{57}-7$
(2) $5$
(3) $12-\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；绝对值的化简
【点评】
本题考查无理数的估算及实数的相关运算，解题的关键是掌握夹逼法估算无理数范围的方法，明确“无理数的小数部分=原数-整数部分”，再结合运算法则正确计算即可。
【难度系数】
0.8
