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正数有
两
个平方根，它们互为相反数。负数没有
平方根。0的平方根是0
。答案
两，没有，0
解析
【分析】
解题时结合平方根的定义推导性质即可：如果一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根。可通过举例辅助思考：比如正数4的平方根是2和-2，可知正数有2个平方根且互为相反数；再判断是否存在实数的平方为负数，因任意实数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根；最后推导0的情况，只有0的平方等于0，因此0的平方根是它本身。
【解析】
根据平方根的性质分析：
1. 任意正数都有两个互为相反数的数满足平方等于该正数，因此正数有两个平方根；
2. 任意实数的平方都为非负数，不可能等于负数，因此负数没有平方根；
3. 因为$0^2=0$，因此0的平方根是0。
三个空依次填入两、没有、0。
【答案】
两，没有，0
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题考查平方根的基础性质，属于概念类基础题，熟练掌握平方根的相关性质是解决这类问题的核心，也能为后续学习根式相关知识奠定基础。
【难度系数】
0.9
解题时结合平方根的定义推导性质即可：如果一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根。可通过举例辅助思考：比如正数4的平方根是2和-2，可知正数有2个平方根且互为相反数；再判断是否存在实数的平方为负数，因任意实数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根；最后推导0的情况，只有0的平方等于0，因此0的平方根是它本身。
【解析】
根据平方根的性质分析：
1. 任意正数都有两个互为相反数的数满足平方等于该正数，因此正数有两个平方根；
2. 任意实数的平方都为非负数，不可能等于负数，因此负数没有平方根；
3. 因为$0^2=0$，因此0的平方根是0。
三个空依次填入两、没有、0。
【答案】
两，没有，0
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题考查平方根的基础性质，属于概念类基础题，熟练掌握平方根的相关性质是解决这类问题的核心，也能为后续学习根式相关知识奠定基础。
【难度系数】
0.9
1. 3 的算术平方根是（
A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.9
B
）.A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.9
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确算术平方根的核心定义：非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。解题时先根据定义判断3的算术平方根的符号和形式，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
对于3，我们需要找到非负的数$x$满足$x^2=3$，可得$x=\sqrt{3}$。
对选项逐一分析：
A选项$\pm\sqrt{3}$是3的平方根，不是算术平方根，错误；
B选项$\sqrt{3}$符合算术平方根的定义，正确；
C选项$-\sqrt{3}$是3的负的平方根，错误；
D选项9是3的平方，与算术平方根无关，错误。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对算术平方根定义的掌握，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根的结果为非负数，避免因概念混淆选错。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确算术平方根的核心定义：非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。解题时先根据定义判断3的算术平方根的符号和形式，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
对于3，我们需要找到非负的数$x$满足$x^2=3$，可得$x=\sqrt{3}$。
对选项逐一分析：
A选项$\pm\sqrt{3}$是3的平方根，不是算术平方根，错误；
B选项$\sqrt{3}$符合算术平方根的定义，正确；
C选项$-\sqrt{3}$是3的负的平方根，错误；
D选项9是3的平方，与算术平方根无关，错误。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对算术平方根定义的掌握，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根的结果为非负数，避免因概念混淆选错。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是（
A.4 的平方根是 2
B.$\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$
C.$-36$ 的算术平方根是 6
D.25 的平方根是 $\pm 5$
D
）.A.4 的平方根是 2
B.$\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$
C.$-36$ 的算术平方根是 6
D.25 的平方根是 $\pm 5$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时首先要明确核心定义：正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。解题时逐一核对每个选项是否符合定义即可，注意遇到带根号的数时，要先计算出它的结果，再求它的平方根，避免误判。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，不是只有2，故A错误；
B选项：先计算$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$，故B错误；
C选项：负数没有平方根，也没有算术平方根，-36是负数，不存在算术平方根，故C错误；
D选项：因为$(\pm5)^2=25$，所以25的平方根是$\pm5$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，易错点是容易忽略平方根的正负性，以及计算带根号的数的平方根时没有先化简根号就直接计算，掌握核心概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时首先要明确核心定义：正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。解题时逐一核对每个选项是否符合定义即可，注意遇到带根号的数时，要先计算出它的结果，再求它的平方根，避免误判。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，不是只有2，故A错误；
B选项：先计算$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$，故B错误；
C选项：负数没有平方根，也没有算术平方根，-36是负数，不存在算术平方根，故C错误；
D选项：因为$(\pm5)^2=25$，所以25的平方根是$\pm5$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，易错点是容易忽略平方根的正负性，以及计算带根号的数的平方根时没有先化简根号就直接计算，掌握核心概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. “9的平方根是±3”用数学语言表示为（
A.$\sqrt{9}=±3$
B.$-\sqrt{9}=-3$
C.$\sqrt{9}=3$
D.$±\sqrt{9}=±3$
D
）.A.$\sqrt{9}=±3$
B.$-\sqrt{9}=-3$
C.$\sqrt{9}=3$
D.$±\sqrt{9}=±3$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的符号区别：单独的$\sqrt{a}$（a≥0）表示a的算术平方根，结果为非负数；要表示a的两个正负平方根，需要在根号前加±符号。题目要表示“9的平方根是±3”，首先9的平方根的数学符号是$±\sqrt{9}$，其结果为±3，对应选项逐一排查即可。
【解析】
首先明确符号含义：
1. $\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{9}=3$，表示9的算术平方根是3；
2. $±\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，因此9的平方根表示为$±\sqrt{9}$，结果为±3。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{9}$只能等于3，不能等于±3，错误；
B选项：$-\sqrt{9}=-3$仅表示9的负平方根是-3，未完整表示9的两个平方根，错误；
C选项：$\sqrt{9}=3$表示的是9的算术平方根，不符合题意，错误；
D选项：$±\sqrt{9}=±3$准确表示9的平方根是±3，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的表示、算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心考查平方根与算术平方根的符号区分，易错点是混淆两种符号的含义，做题时需注意：只有带±前缀的根号才表示正数的两个平方根，单独的根号仅表示正的算术平方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根和算术平方根的符号区别：单独的$\sqrt{a}$（a≥0）表示a的算术平方根，结果为非负数；要表示a的两个正负平方根，需要在根号前加±符号。题目要表示“9的平方根是±3”，首先9的平方根的数学符号是$±\sqrt{9}$，其结果为±3，对应选项逐一排查即可。
【解析】
首先明确符号含义：
1. $\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{9}=3$，表示9的算术平方根是3；
2. $±\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，因此9的平方根表示为$±\sqrt{9}$，结果为±3。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{9}$只能等于3，不能等于±3，错误；
B选项：$-\sqrt{9}=-3$仅表示9的负平方根是-3，未完整表示9的两个平方根，错误；
C选项：$\sqrt{9}=3$表示的是9的算术平方根，不符合题意，错误；
D选项：$±\sqrt{9}=±3$准确表示9的平方根是±3，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的表示、算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心考查平方根与算术平方根的符号区分，易错点是混淆两种符号的含义，做题时需注意：只有带±前缀的根号才表示正数的两个平方根，单独的根号仅表示正的算术平方根。
【难度系数】
0.8
4. 如图1，在数轴上表示实数$\sqrt{15}$的点可能是（
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
C
）。A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
答案
4.C
解析
【分析】
要确定数轴上表示$\sqrt{15}$的点，首先需要估算$\sqrt{15}$的取值范围：先找到和15相邻的两个完全平方数，通过比较平方数的大小确定$\sqrt{15}$在哪两个整数之间，再判断它更接近哪个整数，最后对应数轴上各点的位置就能得到答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$
∴ 对三个数同时开平方可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$
又因为15和16的差值更小，所以$\sqrt{15}$更靠近4
观察数轴可知：点P在1~2之间，点Q在2~3之间，点M在3~4之间且靠近4，点N在4~5之间，因此表示$\sqrt{15}$的是点M。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题是基础常考题，核心是掌握无理数的估算方法，通过找与被开方数相邻的完全平方数确定无理数的整数范围，再结合数轴对应点的位置判断即可。
【难度系数】
0.8
要确定数轴上表示$\sqrt{15}$的点，首先需要估算$\sqrt{15}$的取值范围：先找到和15相邻的两个完全平方数，通过比较平方数的大小确定$\sqrt{15}$在哪两个整数之间，再判断它更接近哪个整数，最后对应数轴上各点的位置就能得到答案。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$
∴ 对三个数同时开平方可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$
又因为15和16的差值更小，所以$\sqrt{15}$更靠近4
观察数轴可知：点P在1~2之间，点Q在2~3之间，点M在3~4之间且靠近4，点N在4~5之间，因此表示$\sqrt{15}$的是点M。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题是基础常考题，核心是掌握无理数的估算方法，通过找与被开方数相邻的完全平方数确定无理数的整数范围，再结合数轴对应点的位置判断即可。
【难度系数】
0.8
5. 若$x$，$y$都是实数，且$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=4$，则$xy$的值为（
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.不能确定
C
）。A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.不能确定
答案
5.C
解析
【分析】
解题的突破口是二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数。观察式子中的两个二次根式，被开方数$2x-1$和$1-2x$互为相反数，要同时满足非负，只能两者都等于0，由此可先求出$x$的值，再将$x$代入原式求出$y$的值，最后计算$xy$即可得到结果。
【解析】
解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，因此可得不等式组：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\1-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$，
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$，
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入原式$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=4$，可得：
$0+0+y=4$，解得$y=4$。
所以$xy=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.代数式求值
【点评】
本题是平方根章节的常考基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性，解题的关键是根据两个互为相反数的被开方数同时非负，得出$x$的取值，掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数。观察式子中的两个二次根式，被开方数$2x-1$和$1-2x$互为相反数，要同时满足非负，只能两者都等于0，由此可先求出$x$的值，再将$x$代入原式求出$y$的值，最后计算$xy$即可得到结果。
【解析】
解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，因此可得不等式组：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\1-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$，
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$，
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入原式$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=4$，可得：
$0+0+y=4$，解得$y=4$。
所以$xy=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.代数式求值
【点评】
本题是平方根章节的常考基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性，解题的关键是根据两个互为相反数的被开方数同时非负，得出$x$的取值，掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 面积为4的正方形的边长是（
A.4的平方根
B.4的算术平方根
C.4开平方的结果
D.无法判断
B
）.A.4的平方根
B.4的算术平方根
C.4开平方的结果
D.无法判断
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先明确正方形的边长一定是正数，再根据正方形面积公式得到边长和面积的关系：边长的平方等于面积，即边长是面积的正的平方根。接下来需要区分平方根、算术平方根、开平方三个概念：平方根包含正负两个互为相反数的数，算术平方根是平方根中正的那个，开平方是求平方根的运算，结果为正负两个数。结合边长为正的要求，就能选出正确选项。
【解析】
设正方形的边长为$a$，由正方形边长的实际意义可知$a＞0$。
根据正方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}^2$，可得$a^2=4$。
对各选项逐一分析：
选项A：4的平方根是$\pm2$，边长不能为负数，不符合要求，错误；
选项B：4的算术平方根是正的平方根2，符合边长的取值要求，正确；
选项C：4开平方的结果是$\pm2$，包含负数，不符合边长要求，错误；
选项D：可确定边长为2，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根与算术平方根的区别，解题时要注意结合实际问题中边长为正数的隐含条件，避免混淆平方根和算术平方根的概念导致错选A或C。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形的边长一定是正数，再根据正方形面积公式得到边长和面积的关系：边长的平方等于面积，即边长是面积的正的平方根。接下来需要区分平方根、算术平方根、开平方三个概念：平方根包含正负两个互为相反数的数，算术平方根是平方根中正的那个，开平方是求平方根的运算，结果为正负两个数。结合边长为正的要求，就能选出正确选项。
【解析】
设正方形的边长为$a$，由正方形边长的实际意义可知$a＞0$。
根据正方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}^2$，可得$a^2=4$。
对各选项逐一分析：
选项A：4的平方根是$\pm2$，边长不能为负数，不符合要求，错误；
选项B：4的算术平方根是正的平方根2，符合边长的取值要求，正确；
选项C：4开平方的结果是$\pm2$，包含负数，不符合边长要求，错误；
选项D：可确定边长为2，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根与算术平方根的区别，解题时要注意结合实际问题中边长为正数的隐含条件，避免混淆平方根和算术平方根的概念导致错选A或C。
【难度系数】
0.7
7. 若$2m - 4$与$3m - 1$是同一个正数的平方根，则这个正数为（
A.4
B.4或100
C.100
D.$\pm 4$
B
）.A.4
B.4或100
C.100
D.$\pm 4$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，同时也存在两个表达式代表同一个平方根的特殊情况。因此本题需要分两类讨论：第一类是两个式子互为相反数，和为0；第二类是两个式子相等，代表同一个平方根。分别求出m的值后，代入计算对应的正数即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① $2m-4$和$3m-1$是这个正数的两个不同平方根，二者互为相反数：
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\begin{aligned}2m-4+3m-1&=0\\5m-5&=0\\m&=1\end{aligned}$
把$m=1$代入$2m-4$得：$2×1-4=-2$，这个正数为$(-2)^2=4$。
② $2m-4$和$3m-1$是这个正数的同一个平方根，二者相等：
列方程：
$\begin{aligned}2m-4&=3m-1\\m&=-3\end{aligned}$
把$m=-3$代入$2m-4$得：$2×(-3)-4=-10$，这个正数为$(-10)^2=100$。
综上，这个正数为4或100，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.平方根的性质
2.解一元一次方程
3.分类讨论思想
【点评】
本题考查平方根相关性质的应用，易错点是容易遗漏两个表达式为同一个平方根的情况，导致漏解，解题时需要结合定义考虑全面所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，同时也存在两个表达式代表同一个平方根的特殊情况。因此本题需要分两类讨论：第一类是两个式子互为相反数，和为0；第二类是两个式子相等，代表同一个平方根。分别求出m的值后，代入计算对应的正数即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① $2m-4$和$3m-1$是这个正数的两个不同平方根，二者互为相反数：
根据互为相反数的两数之和为0，列方程：
$\begin{aligned}2m-4+3m-1&=0\\5m-5&=0\\m&=1\end{aligned}$
把$m=1$代入$2m-4$得：$2×1-4=-2$，这个正数为$(-2)^2=4$。
② $2m-4$和$3m-1$是这个正数的同一个平方根，二者相等：
列方程：
$\begin{aligned}2m-4&=3m-1\\m&=-3\end{aligned}$
把$m=-3$代入$2m-4$得：$2×(-3)-4=-10$，这个正数为$(-10)^2=100$。
综上，这个正数为4或100，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.平方根的性质
2.解一元一次方程
3.分类讨论思想
【点评】
本题考查平方根相关性质的应用，易错点是容易遗漏两个表达式为同一个平方根的情况，导致漏解，解题时需要结合定义考虑全面所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
8. 已知$2a - 1$的平方根是$\pm3$，$3a + b - 1$的算术平方根是4，求$a + 2b$的值.
答案
8. 9
解析
【分析】
解题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解参数。首先，若一个数的平方根是±x，说明这个数等于x的平方，据此可以列出关于a的方程，求出a的值；再根据算术平方根的性质，若一个非负数的算术平方根是y，说明这个数等于y的平方，将已经求出的a代入就能得到关于b的方程，求出b的值，最后把a、b代入a+2b计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm3$
∴$2a - 1 = (\pm3)^2 = 9$
解得$2a=10$，即$a=5$
又
∵$3a + b - 1$的算术平方根是4
∴$3a + b - 1 = 4^2 = 16$
把$a=5$代入上式：$3×5 + b -1 = 16$
化简得$14 + b = 16$，解得$b=2$
则$a + 2b = 5 + 2×2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用类题目，解题关键是区分平方根和算术平方根的概念，根据定义正确列方程求出未知参数，再代入计算即可，熟练掌握相关定义就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解参数。首先，若一个数的平方根是±x，说明这个数等于x的平方，据此可以列出关于a的方程，求出a的值；再根据算术平方根的性质，若一个非负数的算术平方根是y，说明这个数等于y的平方，将已经求出的a代入就能得到关于b的方程，求出b的值，最后把a、b代入a+2b计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm3$
∴$2a - 1 = (\pm3)^2 = 9$
解得$2a=10$，即$a=5$
又
∵$3a + b - 1$的算术平方根是4
∴$3a + b - 1 = 4^2 = 16$
把$a=5$代入上式：$3×5 + b -1 = 16$
化简得$14 + b = 16$，解得$b=2$
则$a + 2b = 5 + 2×2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用类题目，解题关键是区分平方根和算术平方根的概念，根据定义正确列方程求出未知参数，再代入计算即可，熟练掌握相关定义就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
