12. 苏绣至今已有2 000余年的历史，据《清秘藏》叙述：“宋人之绣，针线细密，用绒止一二丝，用针如发细者为之. 设色精妙，光彩射目. 山水分远近之趣，楼阁得深邃之体，人物具瞻跳生动之情，花鸟极绰约馋唼之态. 佳者较画更胜……”可见宋代苏绣艺术已具有相当高的水平. 现有一块长方形苏绣，长、宽之比为4：3，绣布面积为$588\ \mathrm{cm}^2$.
（1）求这块绣布的周长.
（2）苏绣刺绣师傅想利用这块绣布裁出一块面积为$375\ \mathrm{cm}^2$的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由.（$π$取整数3）

12. (1) 设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据题意，得$4x · 3x=588$，即$12x^2=588$，$\therefore x^2=49$. $\because x＞0$，$\therefore x=7$，$\therefore$绣布的长为28 cm，宽为21 cm，周长为$2×(28+21)=98$ (cm)
(2) 不能够裁出来. 理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r cm，得$π r^2=375$，$\because π$取3，$\therefore r^2=125$，解得$r=\sqrt{125}$（负值已舍去），$\because \sqrt{125}＞\sqrt{121}=11$，$\therefore 2r＞21$，$\therefore$不能够裁出来

【分析】
（1）已知长方形绣布长宽比为4:3，可通过设参数的方式表示长和宽，结合长方形面积公式列方程，求解得到参数值后算出长、宽，最后代入周长公式计算即可，注意边长为正数，开平方时要舍去负根。
（2）要判断能否裁出指定面积的圆形绣布，首先明确长方形中能裁出的最大完整圆形的直径不能超过长方形的短边（即宽），先根据圆的面积公式算出所需圆形的半径，进而得到直径，再和长方形的宽比较，若直径大于宽则无法裁出，反之则可以。
【解析】
（1）设这块绣布的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
根据长方形面积公式列方程：
$4x · 3x = 588$
整理得：$12x^2 = 588$
化简得：$x^2 = 49$
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{49}=7$
因此绣布的长为$4×7=28\ \mathrm{cm}$，宽为$3×7=21\ \mathrm{cm}$
根据长方形周长公式计算得：
$2×(28+21)=98\ \mathrm{cm}$
（2）不能够裁出来，理由如下：
设面积为$375\ \mathrm{cm}^2$的圆形绣布半径为$r\ \mathrm{cm}$（$r＞0$），根据圆的面积公式$S=π r^2$（$π$取3）列方程：
$3r^2=375$
化简得：$r^2=125$
因为$r＞0$，所以$r=\sqrt{125}$，圆形直径为$2r=2\sqrt{125}$
因为$\sqrt{125}＞\sqrt{121}=11$，所以$2\sqrt{125}＞22$，大于长方形绣布的宽21cm，因此无法裁出符合要求的完整圆形绣布。
【答案】
（1）这块绣布的周长为$98\ \mathrm{cm}$；
（2）不能够裁出来。
【知识点】
1. 平方根的应用
2. 长方形周长与面积计算
3. 圆的面积计算
【点评】
本题结合苏绣的传统文化背景出题，将数学知识和实际生活结合，解题的关键是合理设未知数列方程，同时结合几何图形的性质判断裁剪的可行性，需要注意开平方时要结合实际意义舍去负根。
【难度系数】
0.75

13.【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，请你阅读下列解题过程，探求规律.

【实践探究】
（1）按照此规律，计算：$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=$.
（2）计算：$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \dots × \sqrt{1-\frac{17}{81}}$.
【迁移应用】
（3）若$\sqrt{1-\frac{4051}{n^2}}=x$符合上述规律，请直接写出$x$的值.

13. (1) $\because \sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{(2-1)^2}{2^2}}=\frac{1}{2}$，$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{(3-1)^2}{3^2}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{(4-1)^2}{4^2}}=\frac{3}{4}$，…$\therefore \sqrt{1-\frac{2n-1}{n^2}}=\sqrt{\frac{(n-1)^2}{n^2}}=\frac{n-1}{n}$，$\therefore \sqrt{1-\frac{13}{49}}=\sqrt{\frac{(7-1)^2}{7^2}}=\frac{6}{7}$.
故答案为$\frac{6}{7}$
(2) $\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \dots × \sqrt{1-\frac{17}{81}} =\sqrt{\frac{1^2}{2^2}} × \sqrt{\frac{2^2}{3^2}} × \sqrt{\frac{3^2}{4^2}} × \dots × \sqrt{\frac{8^2}{9^2}} =\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{8}{9} =\frac{1}{9}$
(3) $\because \sqrt{1-\frac{4\ 051}{n^2}} =x$ 符合$\sqrt{1-\frac{2n-1}{n^2}} =\sqrt{\frac{(n-1)^2}{n^2}} =\frac{n-1}{n}$，$\therefore 2n-1=4\ 051$，$\therefore n=2\ 026$，$\therefore \sqrt{1-\frac{4\ 051}{2\ 026^2}} =\frac{2\ 025}{2\ 026}=x$

【分析】
首先观察给出的示例算式，总结通用规律：对于大于等于2的正整数k，$\sqrt{1-\frac{2k-1}{k^2}}=\frac{k-1}{k}$。（1）先确定$\sqrt{1-\frac{13}{49}}$中分母是7的平方，对应k=7，代入规律即可求解；（2）将每个乘法项按规律化简为分数形式，相邻分数的分子分母可交叉约分，最终计算剩余的首尾项即可得到结果；（3）根据规律中被减分数的分子满足$2n-1=4051$，先求出n的值，再代入规律得到x的值。
【解析】
(1) 观察已知算式可得规律：$\sqrt{1-\frac{2k-1}{k^2}}=\frac{k-1}{k}$（k为≥2的正整数）。
$\sqrt{1-\frac{13}{49}}$中，分母$49=7^2$，分子$13=2×7-1$，对应k=7，因此$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\frac{7-1}{7}=\frac{6}{7}$。
(2) 各项对应k值分别为2、3……9，原式转化为：
$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × … × \sqrt{1-\frac{17}{81}}$
$=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × … × \frac{8}{9}$
相邻项分子分母依次约分，最终得$\frac{1}{9}$。
(3) 因算式符合上述规律，故$2n-1=4051$，解得$n=(4051+1)÷2=2026$，代入规律得：
$x=\frac{2026-1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1)$\frac{6}{7}$；(2)$\frac{1}{9}$；(3)$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
算术平方根化简，数字规律探究，分数约分运算
【点评】
本题以平方根运算为载体，考查规律探究与应用能力，解题核心是先从示例中归纳出通用运算规律，再灵活应用规律解决不同问题，连乘运算中的约分技巧可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7