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20. 阅读材料，完成下列任务：
材料一：我们可以用以下方法表示无理数$\sqrt{7}-1$的小数部分.
$\because 4＜7＜9$，$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore 1＜\sqrt{7}-1＜2$，
$\therefore \sqrt{7}-1$的整数部分为1.$\therefore \sqrt{7}-1$的小数部分为$\sqrt{7}-1 -1=\sqrt{7}-2$.
材料二：我们可以用以下方法确定无理数$\sqrt{107}$的近似值.
$\because$面积为107的正方形的边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，
$\therefore$设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$.
画出边长为$10+x$的正方形，如图.
根据图中面积，得$(10+x)^2=10^2 +10x +10x +x^2=(\sqrt{107})^2=107$.
当$x^2$较小时，忽略$x^2$，得$20x +100\approx107$，解得$x\approx0.35$.
$\therefore \sqrt{107}\approx10.35$.
任务：
(1)利用材料一中的方法，表示$\sqrt{85}$的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，探究$\sqrt{85}$的近似值.（要求：画出示意图、标明数据，并写出求解过程）
材料一：我们可以用以下方法表示无理数$\sqrt{7}-1$的小数部分.
$\because 4＜7＜9$，$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore 1＜\sqrt{7}-1＜2$，
$\therefore \sqrt{7}-1$的整数部分为1.$\therefore \sqrt{7}-1$的小数部分为$\sqrt{7}-1 -1=\sqrt{7}-2$.
材料二：我们可以用以下方法确定无理数$\sqrt{107}$的近似值.
$\because$面积为107的正方形的边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，
$\therefore$设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$.
画出边长为$10+x$的正方形，如图.
根据图中面积，得$(10+x)^2=10^2 +10x +10x +x^2=(\sqrt{107})^2=107$.
当$x^2$较小时，忽略$x^2$，得$20x +100\approx107$，解得$x\approx0.35$.
$\therefore \sqrt{107}\approx10.35$.
任务：
(1)利用材料一中的方法，表示$\sqrt{85}$的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，探究$\sqrt{85}$的近似值.（要求：画出示意图、标明数据，并写出求解过程）
答案
20. 解：(1)$\because 81 ＜ 85 ＜ 100$,
$\therefore \sqrt{81} ＜ \sqrt{85} ＜ \sqrt{100}$,
$\therefore 9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore \sqrt{85}$的小数部分为$\sqrt{85} - 9$.
(2)$\because$面积为85的正方形的边长为$\sqrt{85}$,
且$9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore$设$\sqrt{85} = 9 + x$, 其中$0 ＜ x ＜ 1$,
画出边长为$9 + x$的正方形，如图，
根据图中面积可得，
$(9 + x)^2 =9^2 +9x +9x +x^2 =85$,
当$x^2$较小时，忽略$x^2$,
得$18x +81 \approx85$,
解得$x\approx0.22$,
$\therefore \sqrt{85} \approx9.22$.
解析
【分析】
(1) 求$\sqrt{85}$的小数部分，可参照材料一的思路：先找到和85相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{85}$的取值范围，得到它的整数部分，再用$\sqrt{85}$减去整数部分即可得到小数部分。
(2) 求$\sqrt{85}$的近似值，参照材料二的思路：先根据(1)的结论确定$\sqrt{85}$在9和10之间，设$\sqrt{85}=9+x$（$0＜x＜1$），再借助边长为$9+x$的正方形面积拆分，将$(9+x)^2$展开，由于x是小于1的数，$x^2$非常小可忽略，得到关于x的近似一元一次方程，解出x的近似值后即可得到$\sqrt{85}$的近似值，同时画出对应标注数据的正方形拆分示意图。
【解析】
(1) 首先确定$\sqrt{85}$的取值范围：
因为$9^2=81$，$10^2=100$，$81＜85＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{85}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{85}＜10$。
由此可知$\sqrt{85}$的整数部分为9，小数部分为原数减去整数部分，即$\sqrt{85}-9$。
(2) 面积为85的正方形边长为$\sqrt{85}$，由(1)可知$9＜\sqrt{85}＜10$，设$\sqrt{85}=9+x$，其中$0＜x＜1$。
画出边长为$9+x$的正方形，拆分后包含1个边长为9的正方形、2个长为9宽为x的长方形、1个边长为x的正方形。
根据正方形总面积等于各部分面积之和，可得：$(9+x)^2=9^2+9x+9x+x^2=85$。
由于$0＜x＜1$，$x^2$的值极小可忽略，因此近似得：$18x+81\approx85$。
移项计算得$18x\approx4$，解得$x\approx0.22$，因此$\sqrt{85}\approx9+0.22=9.22$。
【答案】
(1)$\because 81 ＜ 85 ＜ 100$,
$\therefore \sqrt{81} ＜ \sqrt{85} ＜ \sqrt{100}$,
$\therefore 9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore \sqrt{85}$的小数部分为$\sqrt{85} - 9$.
(2)$\because$面积为85的正方形的边长为$\sqrt{85}$,
且$9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore$设$\sqrt{85} = 9 + x$, 其中$0 ＜ x ＜ 1$,
画出边长为$9 + x$的正方形，如图，
根据图中面积可得，
$(9 + x)^2 =9^2 +9x +9x +x^2 =85$,
当$x^2$较小时，忽略$x^2$,
得$18x +81 \approx85$,
解得$x\approx0.22$,
$\therefore \sqrt{85} \approx9.22$.
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式的几何意义，近似数计算
【点评】
本题为材料阅读类题目，引导学生利用给定的示例方法解决同类问题，既考查了无理数取值范围的判断能力，也结合几何图形直观体现完全平方展开的含义，侧重对知识迁移能力、方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\sqrt{85}$的小数部分，可参照材料一的思路：先找到和85相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{85}$的取值范围，得到它的整数部分，再用$\sqrt{85}$减去整数部分即可得到小数部分。
(2) 求$\sqrt{85}$的近似值，参照材料二的思路：先根据(1)的结论确定$\sqrt{85}$在9和10之间，设$\sqrt{85}=9+x$（$0＜x＜1$），再借助边长为$9+x$的正方形面积拆分，将$(9+x)^2$展开，由于x是小于1的数，$x^2$非常小可忽略，得到关于x的近似一元一次方程，解出x的近似值后即可得到$\sqrt{85}$的近似值，同时画出对应标注数据的正方形拆分示意图。
【解析】
(1) 首先确定$\sqrt{85}$的取值范围：
因为$9^2=81$，$10^2=100$，$81＜85＜100$，所以$\sqrt{81}＜\sqrt{85}＜\sqrt{100}$，即$9＜\sqrt{85}＜10$。
由此可知$\sqrt{85}$的整数部分为9，小数部分为原数减去整数部分，即$\sqrt{85}-9$。
(2) 面积为85的正方形边长为$\sqrt{85}$，由(1)可知$9＜\sqrt{85}＜10$，设$\sqrt{85}=9+x$，其中$0＜x＜1$。
画出边长为$9+x$的正方形，拆分后包含1个边长为9的正方形、2个长为9宽为x的长方形、1个边长为x的正方形。
根据正方形总面积等于各部分面积之和，可得：$(9+x)^2=9^2+9x+9x+x^2=85$。
由于$0＜x＜1$，$x^2$的值极小可忽略，因此近似得：$18x+81\approx85$。
移项计算得$18x\approx4$，解得$x\approx0.22$，因此$\sqrt{85}\approx9+0.22=9.22$。
【答案】
(1)$\because 81 ＜ 85 ＜ 100$,
$\therefore \sqrt{81} ＜ \sqrt{85} ＜ \sqrt{100}$,
$\therefore 9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore \sqrt{85}$的小数部分为$\sqrt{85} - 9$.
(2)$\because$面积为85的正方形的边长为$\sqrt{85}$,
且$9 ＜ \sqrt{85} ＜ 10$,
$\therefore$设$\sqrt{85} = 9 + x$, 其中$0 ＜ x ＜ 1$,
画出边长为$9 + x$的正方形，如图，
根据图中面积可得，
$(9 + x)^2 =9^2 +9x +9x +x^2 =85$,
当$x^2$较小时，忽略$x^2$,
得$18x +81 \approx85$,
解得$x\approx0.22$,
$\therefore \sqrt{85} \approx9.22$.
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式的几何意义，近似数计算
【点评】
本题为材料阅读类题目，引导学生利用给定的示例方法解决同类问题，既考查了无理数取值范围的判断能力，也结合几何图形直观体现完全平方展开的含义，侧重对知识迁移能力、方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
