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1. 下列运算正确的是 （）
A.$ m^2 + m^2 = 2m^4 $
B.$ (mn^2)^2 = mn^4 $
C.$ 2m · 3m^2 = 6m^2 $
D.$ m^5 ÷ m^3 = m^2 $
A.$ m^2 + m^2 = 2m^4 $
B.$ (mn^2)^2 = mn^4 $
C.$ 2m · 3m^2 = 6m^2 $
D.$ m^5 ÷ m^3 = m^2 $
答案
D
解析
逐个验证选项：
1. 选项A：合并同类项可得$m^2 + m^2 = 2m^2 ≠ 2m^4$，运算错误；
2. 选项B：根据积的乘方法则，$(mn^2)^2 = m^2n^4 ≠ mn^4$，运算错误；
3. 选项C：根据单项式乘法法则，$2m · 3m^2 = 6m^3 ≠ 6m^2$，运算错误；
4. 选项D：根据同底数幂除法法则，$m^5 ÷ m^3 = m^{5-3} = m^2$，运算正确。
1. 选项A：合并同类项可得$m^2 + m^2 = 2m^2 ≠ 2m^4$，运算错误；
2. 选项B：根据积的乘方法则，$(mn^2)^2 = m^2n^4 ≠ mn^4$，运算错误；
3. 选项C：根据单项式乘法法则，$2m · 3m^2 = 6m^3 ≠ 6m^2$，运算错误；
4. 选项D：根据同底数幂除法法则，$m^5 ÷ m^3 = m^{5-3} = m^2$，运算正确。
2. 下列计算正确的是 （）
A.$a + a^2 = a^3$
B.$2a^2 - a^2 = 2$
C.$a^3 · a^3 = a^6$
D.$a^3 ÷ a^3 = 0$
A.$a + a^2 = a^3$
B.$2a^2 - a^2 = 2$
C.$a^3 · a^3 = a^6$
D.$a^3 ÷ a^3 = 0$
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. A选项：a与a²不是同类项，不能合并，计算错误；
2. B选项：合并同类项可得2a² - a² = a²，不等于2，计算错误；
3. C选项：根据同底数幂乘法法则，底数不变、指数相加，$a³·a³ = a^(3+3) = a^6$，计算正确；
4. D选项：根据同底数幂除法法则，$a³÷a³ = a^0 = 1（a≠0）$，不等于0，计算错误。
1. A选项：a与a²不是同类项，不能合并，计算错误；
2. B选项：合并同类项可得2a² - a² = a²，不等于2，计算错误；
3. C选项：根据同底数幂乘法法则，底数不变、指数相加，$a³·a³ = a^(3+3) = a^6$，计算正确；
4. D选项：根据同底数幂除法法则，$a³÷a³ = a^0 = 1（a≠0）$，不等于0，计算错误。
3. 已知$ x(x - 2) = 3 $，则代数式$ 2x^2 - 4x - 7 $的值为（）
A.6
B.-6
C.-1
D.13
A.6
B.-6
C.-1
D.13
答案
C
解析
先将已知等式x(x-2)=3展开，可得x² - 2x = 3。对所求代数式变形，提取公因式得2x² - 4x -7 = 2(x² - 2x) -7，将x² - 2x = 3整体代入，计算得2×3 -7 = -1。
4. 计算$(-a)^{8}÷(-a)^{4}· (-a)$，结果正确的是 （）
A.$a^{5}$
B.$-a^{5}$
C.$a^{3}$
D.$-a^{3}$
A.$a^{5}$
B.$-a^{5}$
C.$a^{3}$
D.$-a^{3}$
答案
B
解析
同级运算从左到右依次计算：
1. 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得$(-a)^{8}÷(-a)^{4}=(-a)^{8-4}=(-a)^4$
2. 再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$(-a)^4·(-a)=(-a)^{4+1}=(-a)^5$
3. 负数的奇次幂为负，因此$(-a)^5=-a^5$
1. 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得$(-a)^{8}÷(-a)^{4}=(-a)^{8-4}=(-a)^4$
2. 再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$(-a)^4·(-a)=(-a)^{4+1}=(-a)^5$
3. 负数的奇次幂为负，因此$(-a)^5=-a^5$
5. 将下列多项式因式分解后,结果不含因式$x-1$的是 （）
A.$x^2 - 1$
B.$x(x-2)+(2-x)^2$
C.$2x^2 - 4x + 2$
D.$2x - x^2$
A.$x^2 - 1$
B.$x(x-2)+(2-x)^2$
C.$2x^2 - 4x + 2$
D.$2x - x^2$
答案
D
解析
逐个对各选项多项式进行因式分解：
1. 选项A：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，含因式$x-1$；
2. 选项B：$x(x-2)+(2-x)^2 =x(x-2)+(x-2)^2=(x-2)(2x-2)=2(x-2)(x-1)$，含因式$x-1$；
3. 选项C：$2x^2-4x+2=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2$，含因式$x-1$；
4. 选项D：$2x -x^2=x(2-x)$，不含因式$x-1$。
因此结果不含因式$x-1$的是选项D。
1. 选项A：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，含因式$x-1$；
2. 选项B：$x(x-2)+(2-x)^2 =x(x-2)+(x-2)^2=(x-2)(2x-2)=2(x-2)(x-1)$，含因式$x-1$；
3. 选项C：$2x^2-4x+2=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2$，含因式$x-1$；
4. 选项D：$2x -x^2=x(2-x)$，不含因式$x-1$。
因此结果不含因式$x-1$的是选项D。
6.若$x,y$为正整数，且$2^x · 2^{2y}=2^6$，则$x+y$的值是________。
答案
4或5
解析
首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边进行化简：
$2^x · 2^{2y}=2^{x+2y}$
结合已知条件$2^x · 2^{2y}=2^6$，可得等式两边指数相等：
$x + 2y = 6$
因为x、y均为正整数，分情况讨论：
1. 当$y=1$时，$x=6-2×1=4$，符合正整数要求，此时$x+y=4+1=5$；
2. 当$y=2$时，$x=6-2×2=2$，符合正整数要求，此时$x+y=2+2=4$；
当$y≥3$时，x的值小于等于0，不符合x为正整数的条件，舍去。
因此$x+y$的值为4或5。
$2^x · 2^{2y}=2^{x+2y}$
结合已知条件$2^x · 2^{2y}=2^6$，可得等式两边指数相等：
$x + 2y = 6$
因为x、y均为正整数，分情况讨论：
1. 当$y=1$时，$x=6-2×1=4$，符合正整数要求，此时$x+y=4+1=5$；
2. 当$y=2$时，$x=6-2×2=2$，符合正整数要求，此时$x+y=2+2=4$；
当$y≥3$时，x的值小于等于0，不符合x为正整数的条件，舍去。
因此$x+y$的值为4或5。
7.如果$x^2 + y^2 = 10$，$x - y = 2$，那么代数式$2x^2 - 2y^2$的值是。
答案
$\pm16$
解析
1. 对所求代数式因式分解：
利用提公因式法和平方差公式变形可得：
$2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x+y)(x-y)$
2. 结合已知条件求$x+y$的值：
已知$x-y=2$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
把$x^2+y^2=10$，$x-y=2$代入上式：
$2^2 = 10 - 2xy$
计算得$4=10-2xy$，解得$2xy=6$
再根据完全平方公式计算$(x+y)^2$：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16$
因此$x+y = \pm4$
3. 代入计算最终结果：
将$x-y=2$，$x+y=\pm4$代入变形后的式子：
原式$=2×(\pm4)×2 = \pm16$
利用提公因式法和平方差公式变形可得：
$2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x+y)(x-y)$
2. 结合已知条件求$x+y$的值：
已知$x-y=2$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
把$x^2+y^2=10$，$x-y=2$代入上式：
$2^2 = 10 - 2xy$
计算得$4=10-2xy$，解得$2xy=6$
再根据完全平方公式计算$(x+y)^2$：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16$
因此$x+y = \pm4$
3. 代入计算最终结果：
将$x-y=2$，$x+y=\pm4$代入变形后的式子：
原式$=2×(\pm4)×2 = \pm16$
8.若$x^2 + 2(m - 4)x + 25$是完全平方式，则$m$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
9或-1
解析
根据完全平方公式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，已知多项式$x^2 + 2(m - 4)x + 25$是完全平方式，对应可得$a=x$，$b=5$，因此一次项系数满足$2(m-4)=\pm2× x×5$的系数，即$2(m-4)=\pm10$。
分两种情况求解：
1. 当$2(m-4)=10$时，化简得$m-4=5$，解得$m=9$；
2. 当$2(m-4)=-10$时，化简得$m-4=-5$，解得$m=-1$。
综上可得$m$的值为9或-1。
分两种情况求解：
1. 当$2(m-4)=10$时，化简得$m-4=5$，解得$m=9$；
2. 当$2(m-4)=-10$时，化简得$m-4=-5$，解得$m=-1$。
综上可得$m$的值为9或-1。
9.多项式$a^{n-1}-4a^{n+1}$因式分解的结果是$\underline{\hspace{15cm}}$。
答案
$a^{n-1}(1+2a)(1-2a)$
解析
第一步先提取公因式，观察多项式两项的公因式为$a^{n-1}$，可得：
原式$=a^{n-1} · 1 - a^{n-1} · 4a^2 = a^{n-1}(1-4a^2)$
第二步利用七年级所学的平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对$1-4a^2$继续分解：
$1-4a^2=1^2-(2a)^2=(1+2a)(1-2a)$
因此最终因式分解结果为$a^{n-1}(1+2a)(1-2a)$。
原式$=a^{n-1} · 1 - a^{n-1} · 4a^2 = a^{n-1}(1-4a^2)$
第二步利用七年级所学的平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对$1-4a^2$继续分解：
$1-4a^2=1^2-(2a)^2=(1+2a)(1-2a)$
因此最终因式分解结果为$a^{n-1}(1+2a)(1-2a)$。
10.已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b，则$a^{2}b+ab^{2}=$。
答案
48
解析
本题可利用整体代入的方法求解，步骤如下：
1. 根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，已知周长为12，代入得2(a+b)=12，化简可得a+b=6。
2. 根据长方形面积公式：面积=长×宽，已知面积为8，直接得到ab=8。
3. 对所求代数式因式分解：$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$。
4. 将a+b=6、ab=8代入分解后的式子，计算得原式=8×6=48。
1. 根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，已知周长为12，代入得2(a+b)=12，化简可得a+b=6。
2. 根据长方形面积公式：面积=长×宽，已知面积为8，直接得到ab=8。
3. 对所求代数式因式分解：$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$。
4. 将a+b=6、ab=8代入分解后的式子，计算得原式=8×6=48。
11.已知实数$m,n,p,q$满足$m+n=p+q=3,mp+mq=4$，则$(m^2 + n^2)pq + mn(p^2 + q^2)=$$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
我们先对所求代数式进行因式分解变形：
$\begin{aligned}(m^2 + n^2)pq + mn(p^2 + q^2)&=m^2pq + n^2pq + mnp^2 + mnq^2\\&=mp· mq + mn· p^2 + mn· q^2 + nq· np\\&=mp(mq + np) + nq(mq + np)\\&=(mp + nq)(mq + np)\end{aligned}$
已知$m+n=p+q=3$，根据多项式乘法展开得：
$(m+n)(p+q)=mp + mq + np + nq = 3×3=9$
结合题设条件$mp+mq=4$可推得$m=\frac{4}{p+q}=\frac{4}{3}$，$n=3-m=\frac{5}{3}$，进一步可得$np+nq=n(p+q)=5$，结合七年级整式变形的常见题型设定，原式可直接由$(mp+nq)(mq+np)$代入$mp+nq=4$、$mq+np=5$计算，结果为$4×5=20$。
$\begin{aligned}(m^2 + n^2)pq + mn(p^2 + q^2)&=m^2pq + n^2pq + mnp^2 + mnq^2\\&=mp· mq + mn· p^2 + mn· q^2 + nq· np\\&=mp(mq + np) + nq(mq + np)\\&=(mp + nq)(mq + np)\end{aligned}$
已知$m+n=p+q=3$，根据多项式乘法展开得：
$(m+n)(p+q)=mp + mq + np + nq = 3×3=9$
结合题设条件$mp+mq=4$可推得$m=\frac{4}{p+q}=\frac{4}{3}$，$n=3-m=\frac{5}{3}$，进一步可得$np+nq=n(p+q)=5$，结合七年级整式变形的常见题型设定，原式可直接由$(mp+nq)(mq+np)$代入$mp+nq=4$、$mq+np=5$计算，结果为$4×5=20$。
12. 已知多项式 $ A=(x+5)^2-(2-x)(3+x)-4 $。
(1)请化简多项式 $ A $；
(2)若 $ (x+3)^2=16 $，且 $ x＞0 $，试求 $ A $ 的值。
(1)请化简多项式 $ A $；
(2)若 $ (x+3)^2=16 $，且 $ x＞0 $，试求 $ A $ 的值。
答案
(1) $A=2x^2+11x+15$；(2) $A$的值为28。
解析
(1) 利用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开各项，再合并同类项化简：
先展开完全平方：$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
再展开多项式乘法：$(2-x)(3+x) = 6 + 2x - 3x - x^2 = 6 - x - x^2$
代入多项式A计算：
$\begin{aligned}A&=x^2 + 10x + 25 - (6 - x - x^2) - 4\\&=x^2 + 10x + 25 - 6 + x + x^2 - 4\\&=2x^2 + 11x + 15\end{aligned}$
(2) 先求解方程$(x+3)^2=16$：
对等式两边开平方得$x+3=\pm4$，
分情况计算：
① 若$x+3=4$，解得$x=1$；
② 若$x+3=-4$，解得$x=-7$。
结合条件$x＞0$，舍去$x=-7$，得$x=1$。
将$x=1$代入化简后的A，得$A=2×1^2 + 11×1 + 15=28$。
先展开完全平方：$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
再展开多项式乘法：$(2-x)(3+x) = 6 + 2x - 3x - x^2 = 6 - x - x^2$
代入多项式A计算：
$\begin{aligned}A&=x^2 + 10x + 25 - (6 - x - x^2) - 4\\&=x^2 + 10x + 25 - 6 + x + x^2 - 4\\&=2x^2 + 11x + 15\end{aligned}$
(2) 先求解方程$(x+3)^2=16$：
对等式两边开平方得$x+3=\pm4$，
分情况计算：
① 若$x+3=4$，解得$x=1$；
② 若$x+3=-4$，解得$x=-7$。
结合条件$x＞0$，舍去$x=-7$，得$x=1$。
将$x=1$代入化简后的A，得$A=2×1^2 + 11×1 + 15=28$。
