四、用坐标表示平移
1. 如图9-11,点A的坐标为(2,1),将线段OA先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到线段O'A',则点A的对应点A'的坐标是 ()


A.$(-3,2)$
B.$(0,4)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,-1)$

1.C

【分析】
要解决这个问题，首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：左右平移时，横坐标遵循“左减右加”，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”，横坐标不变。已知点A的初始坐标，我们可以分步计算两次平移后点A'的坐标，先算向上平移后的坐标，再算向左平移后的坐标即可。
【解析】
点的平移坐标变化规则：①左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变；②上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变。
已知点A的坐标为(2,1)：
第一步：向上平移2个单位长度，纵坐标加2，横坐标不变，得到平移后坐标为$(2, 1+2)$即$(2,3)$；
第二步：向左平移3个单位长度，横坐标减3，纵坐标不变，得到最终坐标为$(2-3, 3)$即$(-1,3)$。
因此对应点A'的坐标为$(-1,3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点的平移坐标规律
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系平移的基础题型，核心考查平移对应的坐标变化规则，牢记“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”的口诀即可快速解题，属于平移类知识点的常见基础考题。
【难度系数】
0.8

2. 如图9-12,点A,B的坐标分别为$(2,0),(0,1)$.若将线段AB平移至$A_1B_1$,则$a+b$的值为 ()

图9-12

A.2
B.3
C.4
D.5

2.A

【分析】
解决本题的核心是利用平移的性质：线段平移时，线段上所有点的平移方向和距离完全相同，即各点的横坐标变化量相等，纵坐标变化量相等。我们可以先通过已知对应点的坐标差求出平移的横、纵变化量，再利用变化量分别求出a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
首先观察点的坐标变化：
1. 点A(2,0)平移到A₁(3,b)，横坐标变化为$3-2=1$，说明线段向右平移了1个单位；
2. 点B(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标变化为$2-1=1$，说明线段向上平移了1个单位；
根据平移规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”可得：
$a = 0 + 1 = 1$，$b = 0 + 1 = 1$
因此$a+b=1+1=2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 平移的坐标特征
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题，主要考查平移过程中点的坐标变化规律，只要掌握平移时所有对应点的横、纵坐标变化量一致，结合“左减右加，上加下减”的规律就能快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图9-13,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$A(2,4),B(4,0)$,且P为AB的中点.若将线段AB向右平移3个单位长度后,与点P对应的点为Q,则点Q的坐标是 ()


A.$(3,2)$
B.$(6,2)$
C.$(6,4)$
D.$(3,5)$

3.B

【分析】
解题可分两步思考：第一步先求线段AB中点P的坐标，线段中点的横坐标是两端点横坐标的平均值，纵坐标是两端点纵坐标的平均值；第二步再根据平移规则计算Q点坐标，线段向右平移时，线段上所有点的横坐标增加平移的单位长度，纵坐标保持不变，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算中点P的坐标：
已知点A坐标为$(2,4)$，点B坐标为$(4,0)$，
则P点的横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即P点坐标为$(3,2)$。
2. 计算平移后Q点的坐标：
线段AB向右平移3个单位，根据平移规律：向右平移横坐标加平移单位，纵坐标不变，
因此Q点的横坐标为$3+3=6$，纵坐标仍为2，即Q点坐标为$(6,2)$。
【答案】
B
【知识点】
中点坐标计算，坐标平移规律
【点评】
本题是基础类题型，结合了中点坐标计算和平移坐标变化两个考点，难度较低，只要牢记相关规则、细心计算即可得分，要注意区分左右平移和上下平移的坐标变化差异，避免混淆规则。
【难度系数】
0.8

4. 在平面直角坐标系中,将点$A(1,1)$向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点$B$,则点$B$的坐标为________.

4.$(3,4)$

【分析】
本题考查平面直角坐标系中点平移后的坐标计算，解题思路如下：首先回忆点平移的坐标变化规律：左右平移时，横坐标遵循“右加左减”，纵坐标保持不变；上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”，横坐标保持不变。接下来按照题目给出的平移顺序，先对横坐标进行平移计算，再对纵坐标进行平移计算，最终即可得到点B的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律解题：
1. 点向右平移2个单位长度时，横坐标加2，纵坐标不变：
点$A(1,1)$向右平移2个单位后，横坐标为$1+2=3$，纵坐标仍为1，得到中间坐标$(3,1)$。
2. 再向上平移3个单位长度时，纵坐标加3，横坐标不变：
将$(3,1)$向上平移3个单位后，纵坐标为$1+3=4$，横坐标仍为3。
综上可得点B的坐标。
【答案】
$(3,4)$
【知识点】
点平移的坐标变化规律；坐标运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查点平移的坐标变化规则，只要牢记“右加左减，上加下减”的平移口诀，按照平移顺序依次计算坐标即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

5. 如图 9-14,在平面直角坐标系中,三角形 OAB 的顶点 A,B 的坐标分别为$(3,\sqrt{3}),(4,0)$. 把三角形 OAB 沿 x 轴向右平移得到三角形 CDE,如果点 D 的坐标为$(6,\sqrt{3})$,那么点 E 的坐标为________.

5.$(7,0)$

【分析】
解决本题首先要明确平移的性质：图形平移时，所有对应点的平移方向和移动距离完全相同。我们可以先通过已知的一组对应点A、D的坐标，算出平移的方向和距离，再利用这个平移规律计算点B平移后对应点E的坐标即可。
【解析】
解：
∵三角形OAB沿x轴向右平移得到三角形CDE，
∴点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，平移时所有点的横坐标变化量相同，纵坐标保持不变。
已知点A坐标为$(3,\sqrt{3})$，平移后对应点D的坐标为$(6,\sqrt{3})$，
∴平移的水平距离为$6-3=3$，即图形沿x轴向右平移了3个单位长度。
又
∵点B的坐标为$(4,0)$，
∴点B向右平移3个单位后，横坐标为$4+3=7$，纵坐标仍为0，
∴点E的坐标为$(7,0)$。
【答案】
$(7,0)$
【知识点】
平移的性质，坐标系中点的平移
【点评】
本题是平面直角坐标系中平移规律的基础应用，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化规律，计算得到平移距离后即可直接推导所求点的坐标，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

五、综合运用
1. 如图9-15,已知A,B两点的坐标分别为$(2,3),(4,1)$.
(1)求三角形ABO的面积.
(2)把三角形ABO向下平移3个单位长度后得到一个新三角形$O'A'B'$,求三角形$O'A'B'$的三个顶点的坐标.

1. (1)如下图所示,$S_{\mathrm{三角形}ABO}=3×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×2×2=5$.

(2)$A'(2,0),B'(4,-2),O'(0,-3)$.

【分析】
（1）求△ABO的面积时，观察到△ABO没有边与坐标轴重合，无法直接用底乘高计算面积，因此采用七年级常用的割补法：先构造一个包含△ABO的矩形，用矩形面积减去△ABO周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABO的面积。首先明确三点坐标O(0,0)、A(2,3)、B(4,1)，补出的矩形长为4、宽为3，再分别计算三个小直角三角形的面积作差即可。
（2）图形平移时所有点的平移规律一致：向下平移3个单位长度时，点的横坐标不变，纵坐标减去3，分别对A、B、O三点的坐标按该规律计算，就能得到平移后新三角形三个顶点的坐标。
【解析】
（1）如图构造矩形OCDE，矩形的长为4，宽为3：
矩形面积：$S_{OCDE}=3×4=12$
三个小直角三角形的面积分别为：
左侧直角三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×3=3$
下方直角三角形：$S_2=\frac{1}{2}×4×1=2$
右上方直角三角形：$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$
因此$S_{△ ABO}=S_{OCDE}-S_1-S_2-S_3=12-3-2-2=5$
（2）根据平移规则，向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减3：
A点平移后坐标：$2$不变，$3-3=0$，即$A'(2,0)$
B点平移后坐标：$4$不变，$1-3=-2$，即$B'(4,-2)$
O点平移后坐标：$0$不变，$0-3=-3$，即$O'(0,-3)$
【答案】
(1)如下图所示，$S_{\mathrm{三角形}ABO}=3×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×2×2=5$。

(2)$A'(2,0),B'(4,-2),O'(0,-3)$。
【知识点】
割补法求面积，点的平移规律，坐标系面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中不规则图形面积的计算和图形平移的坐标变化规律，解题核心是掌握割补法的应用，以及平移时“上加下减纵坐标、左减右加横坐标”的坐标变化规则，属于平面直角坐标系的基础应用题型。
【难度系数】
0.7