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一、选择题
1. 若$\frac{3 - 2x}{x - 3} = □ - \frac{3}{x - 3}$，则$□$中的数是（）
A.$-1$
B.$-2$
C.$-\frac{2x}{x - 3}$
D.任意实数
1. 若$\frac{3 - 2x}{x - 3} = □ - \frac{3}{x - 3}$，则$□$中的数是（）
A.$-1$
B.$-2$
C.$-\frac{2x}{x - 3}$
D.任意实数
答案
B
解析
【分析】
要确定□中的数，观察等式两边分式的分母相同，可利用同分母分式的加减法则，将等式变形，把右边的$-\frac{3}{x-3}$移到左边，计算两个同分母分式的和，再化简即可得到□的值。
【解析】
已知$\frac{3 - 2x}{x - 3} = □ - \frac{3}{x - 3}$，移项可得：
$□ = \frac{3 - 2x}{x - 3} + \frac{3}{x - 3}$
根据同分母分式相加，分母不变、分子相加的法则：
$□ = \frac{(3 - 2x) + 3}{x - 3} = \frac{6 - 2x}{x - 3}$
对分子因式分解得$6 - 2x = -2(x - 3)$，代入后：
$□ = \frac{-2(x - 3)}{x - 3}$（$x≠3$，分母不为0）
约去公因式$x - 3$，得$□ = -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式的加减运算、分式的化简
【点评】
本题考查同分母分式的加减法则，属于基础题型，只要掌握分式加减的基本规则，就能顺利求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
要确定□中的数，观察等式两边分式的分母相同，可利用同分母分式的加减法则，将等式变形，把右边的$-\frac{3}{x-3}$移到左边，计算两个同分母分式的和，再化简即可得到□的值。
【解析】
已知$\frac{3 - 2x}{x - 3} = □ - \frac{3}{x - 3}$，移项可得：
$□ = \frac{3 - 2x}{x - 3} + \frac{3}{x - 3}$
根据同分母分式相加，分母不变、分子相加的法则：
$□ = \frac{(3 - 2x) + 3}{x - 3} = \frac{6 - 2x}{x - 3}$
对分子因式分解得$6 - 2x = -2(x - 3)$，代入后：
$□ = \frac{-2(x - 3)}{x - 3}$（$x≠3$，分母不为0）
约去公因式$x - 3$，得$□ = -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式的加减运算、分式的化简
【点评】
本题考查同分母分式的加减法则，属于基础题型，只要掌握分式加减的基本规则，就能顺利求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
2. A,B两地相距$m\ \mathrm{km}$，通讯员原计划用$t\ \mathrm{h}$从A地到达B地，现需提前$n\ \mathrm{h}$到达，则每小时要多走 （）
A.$\dfrac{m}{t-n}\ \mathrm{km}$
B.$\dfrac{m-n}{t-n}\ \mathrm{km}$
C.$\dfrac{mn}{nt-t^2}\ \mathrm{km}$
D.$\dfrac{mn}{t^2-nt}\ \mathrm{km}$
A.$\dfrac{m}{t-n}\ \mathrm{km}$
B.$\dfrac{m-n}{t-n}\ \mathrm{km}$
C.$\dfrac{mn}{nt-t^2}\ \mathrm{km}$
D.$\dfrac{mn}{t^2-nt}\ \mathrm{km}$
答案
D
解析
【分析】要解决这个问题，需先求出原计划的速度和实际需要的速度，再计算两者的差值，最后将差值化简后与选项对应。具体步骤为：1. 根据路程和原计划时间求原速度；2. 计算实际用时（原时间减提前的时间），再求实际速度；3. 用实际速度减去原速度，对结果通分化简，匹配选项。
【解析】原计划的速度为：$\dfrac{m}{t}\ \mathrm{km/h}$；
实际需要提前$n\ \mathrm{h}$到达，故实际用时为$(t - n)\ \mathrm{h}$，则实际速度为：$\dfrac{m}{t - n}\ \mathrm{km/h}$；
每小时多走的路程为实际速度减去原速度，即：
$\dfrac{m}{t - n} - \dfrac{m}{t} = \dfrac{mt - m(t - n)}{t(t - n)} = \dfrac{mt - mt + mn}{t^2 - nt} = \dfrac{mn}{t^2 - nt}\ \mathrm{km}$。
【答案】D
【知识点】列代数式、分式的加减运算
【点评】本题是行程问题与分式运算结合的基础题，关键是准确表示出实际用时，再通过分式通分化简得到结果，需注意分母的计算和符号处理。
【难度系数】0.6
【解析】原计划的速度为：$\dfrac{m}{t}\ \mathrm{km/h}$；
实际需要提前$n\ \mathrm{h}$到达，故实际用时为$(t - n)\ \mathrm{h}$，则实际速度为：$\dfrac{m}{t - n}\ \mathrm{km/h}$；
每小时多走的路程为实际速度减去原速度，即：
$\dfrac{m}{t - n} - \dfrac{m}{t} = \dfrac{mt - m(t - n)}{t(t - n)} = \dfrac{mt - mt + mn}{t^2 - nt} = \dfrac{mn}{t^2 - nt}\ \mathrm{km}$。
【答案】D
【知识点】列代数式、分式的加减运算
【点评】本题是行程问题与分式运算结合的基础题，关键是准确表示出实际用时，再通过分式通分化简得到结果，需注意分母的计算和符号处理。
【难度系数】0.6
3. 设$ p=\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1}, q=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1} $，则$ p,q $的关系是（）
A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p+q=0 $
D.$ p＜q $
A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p+q=0 $
D.$ p＜q $
答案
C
解析
【分析】要判断p和q的关系，可通过计算p与q的和，利用分式加减运算法则化简，若和为0则满足p+q=0，从而确定二者关系。
【解析】计算p+q：
$\begin{aligned}p+q&=(\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1})+(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1})\\&=(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1})+(-\frac{b}{b+1}-\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a+1}{a+1}-\frac{b+1}{b+1}\\&=1 -1\\&=0\end{aligned}$
因此p+q=0，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式的加减运算、代数式化简
【点评】本题通过计算两个代数式的和判断关系，核心是分式同分母加减法则，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.6
【解析】计算p+q：
$\begin{aligned}p+q&=(\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1})+(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1})\\&=(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1})+(-\frac{b}{b+1}-\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a+1}{a+1}-\frac{b+1}{b+1}\\&=1 -1\\&=0\end{aligned}$
因此p+q=0，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式的加减运算、代数式化简
【点评】本题通过计算两个代数式的和判断关系，核心是分式同分母加减法则，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.6
4. 若$\frac{5x-7}{x^2-4x-5}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}$（其中$A,B$为常数），则$A=\_\_\_\_\_\_$，$B=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$A=2$，$B=3$
解析
【分析】
要解决这道题，需利用分式通分和多项式系数对应相等的方法。首先对左边分式的分母因式分解，再将右边的两个分式通分，使左右两边分子相等，通过对应系数建立方程组，求解常数A和B。
【解析】
1. 对左边分式的分母因式分解：
$x^2 - 4x -5 = (x+1)(x-5)$
2. 将右边的分式通分，公分母为$(x+1)(x-5)$，则：
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$
3. 左右两边分母相同，分子相等，因此：
$5x -7 = A(x-5) + B(x+1)$
4. 展开右边并整理：
$5x -7 = (A+B)x + (-5A + B)$
5. 根据多项式对应系数相等，建立方程组：
$\begin{cases} A + B =5 \\ -5A + B = -7 \end{cases}$
6. 解方程组：用第二个方程减去第一个方程，得：
$-6A = -12 \implies A=2$
将$A=2$代入$A+B=5$，得$B=3$
【答案】
$A=2$，$B=3$
【知识点】
分式拆分、多项式系数对应
【点评】
本题是分式拆分的基础题型，核心考察因式分解和多项式系数相等的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于分式运算的常规考点。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用分式通分和多项式系数对应相等的方法。首先对左边分式的分母因式分解，再将右边的两个分式通分，使左右两边分子相等，通过对应系数建立方程组，求解常数A和B。
【解析】
1. 对左边分式的分母因式分解：
$x^2 - 4x -5 = (x+1)(x-5)$
2. 将右边的分式通分，公分母为$(x+1)(x-5)$，则：
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$
3. 左右两边分母相同，分子相等，因此：
$5x -7 = A(x-5) + B(x+1)$
4. 展开右边并整理：
$5x -7 = (A+B)x + (-5A + B)$
5. 根据多项式对应系数相等，建立方程组：
$\begin{cases} A + B =5 \\ -5A + B = -7 \end{cases}$
6. 解方程组：用第二个方程减去第一个方程，得：
$-6A = -12 \implies A=2$
将$A=2$代入$A+B=5$，得$B=3$
【答案】
$A=2$，$B=3$
【知识点】
分式拆分、多项式系数对应
【点评】
本题是分式拆分的基础题型，核心考察因式分解和多项式系数相等的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于分式运算的常规考点。
【难度系数】
0.6
5. 已知分式$\frac{ax+b}{x+c}$可以表示为$a+\frac{m}{x+c}$的形式，则$m=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$b - ac$
解析
【分析】本题是分式的恒等变形问题，解题思路是利用等式两边分式的分母相同，因此分子必须相等。先将等式右边的整式与分式的和通分，转化为同分母的分式形式，再通过对比分子的表达式，消去相同项后即可求出m的值。
【解析】对等式右边的式子进行通分：
$a + \frac{m}{x+c} = \frac{a(x+c)}{x+c} + \frac{m}{x+c} = \frac{ax + ac + m}{x+c}$
因为左边分式为$\frac{ax + b}{x+c}$，且两个分式相等，分母相同，所以分子相等，即：
$ax + b = ax + ac + m$
两边同时减去$ax$，可得：
$b = ac + m$
移项解得：$m = b - ac$
【答案】$b - ac$
【知识点】分式的通分、分式的恒等变形
【点评】本题考查分式的恒等变形，核心是利用同分母分式相等时分子相等的性质，通过通分转化后求解参数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】对等式右边的式子进行通分：
$a + \frac{m}{x+c} = \frac{a(x+c)}{x+c} + \frac{m}{x+c} = \frac{ax + ac + m}{x+c}$
因为左边分式为$\frac{ax + b}{x+c}$，且两个分式相等，分母相同，所以分子相等，即：
$ax + b = ax + ac + m$
两边同时减去$ax$，可得：
$b = ac + m$
移项解得：$m = b - ac$
【答案】$b - ac$
【知识点】分式的通分、分式的恒等变形
【点评】本题考查分式的恒等变形，核心是利用同分母分式相等时分子相等的性质，通过通分转化后求解参数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
6. 对于正整数$ n $，$ x $轴上有$ A_n(x,0), B_n(y,0) $两点，用$ A_nB_n $表示这两点间的距离，其中$ A_n, B_n $横坐标分别是方程组
$\{\begin{aligned}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 2n+1, \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} &= -1\end{aligned} $
的解，则计算$ A_1B_1 + A_2B_2 + \dots + A_{2026}B_{2026} $的值是________。
$\{\begin{aligned}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 2n+1, \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} &= -1\end{aligned} $
的解，则计算$ A_1B_1 + A_2B_2 + \dots + A_{2026}B_{2026} $的值是________。
答案
$\frac{2026}{2027}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先解给定的分式方程组，得到正整数n对应的Aₙ、Bₙ的横坐标，再计算x轴上两点的距离，最后利用裂项相消法对距离的和化简。具体步骤为：①解方程组求出x、y关于n的表达式；②推导AₙBₙ的通项公式；③对求和式裂项相消，得到最终结果。
【解析】
解方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2n+1 \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -1\end{cases}$：
将两式相加，得$\frac{2}{x}=2n$，解得$\frac{1}{x}=n$，即$x=\frac{1}{n}$；
将$\frac{1}{x}=n$代入第二个方程，得$n - \frac{1}{y}=-1$，解得$\frac{1}{y}=n+1$，即$y=\frac{1}{n+1}$。
因为Aₙ、Bₙ在x轴上，两点间距离$A_nB_n=|x - y|=\left|\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$（n为正整数，$\frac{1}{n}＞\frac{1}{n+1}$）。
则求和式：
$A_1B_1 + A_2B_2 + \dots + A_{2026}B_{2026}$
$=(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{2026} - \frac{1}{2027})$
中间项抵消后，剩余$1 - \frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$。
【答案】
$\frac{2026}{2027}$
【知识点】
分式方程组求解、裂项相消求和、数轴上两点距离
【点评】
本题综合考查分式方程组解法与数列求和技巧，核心是通过解方程组得到距离的通项，再用裂项相消简化求和，是代数基础题型，需掌握方程组消元与裂项方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先解给定的分式方程组，得到正整数n对应的Aₙ、Bₙ的横坐标，再计算x轴上两点的距离，最后利用裂项相消法对距离的和化简。具体步骤为：①解方程组求出x、y关于n的表达式；②推导AₙBₙ的通项公式；③对求和式裂项相消，得到最终结果。
【解析】
解方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2n+1 \\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -1\end{cases}$：
将两式相加，得$\frac{2}{x}=2n$，解得$\frac{1}{x}=n$，即$x=\frac{1}{n}$；
将$\frac{1}{x}=n$代入第二个方程，得$n - \frac{1}{y}=-1$，解得$\frac{1}{y}=n+1$，即$y=\frac{1}{n+1}$。
因为Aₙ、Bₙ在x轴上，两点间距离$A_nB_n=|x - y|=\left|\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$（n为正整数，$\frac{1}{n}＞\frac{1}{n+1}$）。
则求和式：
$A_1B_1 + A_2B_2 + \dots + A_{2026}B_{2026}$
$=(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{2026} - \frac{1}{2027})$
中间项抵消后，剩余$1 - \frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$。
【答案】
$\frac{2026}{2027}$
【知识点】
分式方程组求解、裂项相消求和、数轴上两点距离
【点评】
本题综合考查分式方程组解法与数列求和技巧，核心是通过解方程组得到距离的通项，再用裂项相消简化求和，是代数基础题型，需掌握方程组消元与裂项方法。
【难度系数】
0.5
7. 计算：
(1) $\dfrac{1}{x^2 - 1} - \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$；
(2) $\dfrac{2m + 1}{m - n} - \dfrac{m + n}{m - n} - \dfrac{1}{m - n}$。
(1) $\dfrac{1}{x^2 - 1} - \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$；
(2) $\dfrac{2m + 1}{m - n} - \dfrac{m + n}{m - n} - \dfrac{1}{m - n}$。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{1 - x^2}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{-(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$
$=-1$
(2) 原式$=\dfrac{(2m + 1) - (m + n) - 1}{m - n}$
$=\dfrac{2m + 1 - m - n - 1}{m - n}$
$=\dfrac{m - n}{m - n}$
$=1$
(1) 原式$=\dfrac{1 - x^2}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{-(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$
$=-1$
(2) 原式$=\dfrac{(2m + 1) - (m + n) - 1}{m - n}$
$=\dfrac{2m + 1 - m - n - 1}{m - n}$
$=\dfrac{m - n}{m - n}$
$=1$
解析
【分析】
本题考查同分母分式的加减运算，解题思路为：同分母分式相加减时，遵循“分母不变，分子相加减”的法则，计算后对结果进行约分，化为最简形式即可。
【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{1 - x^2}{x^2 - 1}$
对分子变形：$1 - x^2 = -(x^2 - 1)$，因此：
原式 = $\dfrac{-(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = -1$；
(2) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{(2m + 1) - (m + n) - 1}{m - n}$
化简分子：$2m + 1 - m - n - 1 = m - n$，因此：
原式 = $\dfrac{m - n}{m - n} = 1$；
【答案】(1) $-1$；(2) $1$
【知识点】同分母分式加减，分式化简
【点评】本题是同分母分式加减的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算法则，计算时需注意分子的符号处理和化简约分，属于分式运算的入门巩固题。
【难度系数】0.8
本题考查同分母分式的加减运算，解题思路为：同分母分式相加减时，遵循“分母不变，分子相加减”的法则，计算后对结果进行约分，化为最简形式即可。
【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{1 - x^2}{x^2 - 1}$
对分子变形：$1 - x^2 = -(x^2 - 1)$，因此：
原式 = $\dfrac{-(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = -1$；
(2) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{(2m + 1) - (m + n) - 1}{m - n}$
化简分子：$2m + 1 - m - n - 1 = m - n$，因此：
原式 = $\dfrac{m - n}{m - n} = 1$；
【答案】(1) $-1$；(2) $1$
【知识点】同分母分式加减，分式化简
【点评】本题是同分母分式加减的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算法则，计算时需注意分子的符号处理和化简约分，属于分式运算的入门巩固题。
【难度系数】0.8
8. 对于正数 $ x $，规定：$ f(x)=\frac{x}{x+1} $。
例如：$ f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, f(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3} $。
（1）计算：$ f(3)+f(\frac{1}{3})=\_\_\_\_\_\_ $，$ f(4)+f(\frac{1}{4})=\_\_\_\_\_\_ $；
（2）猜想：$ f(x)+f(\frac{1}{x})=\_\_\_\_\_\_ $，并证明你的结论；
（3）求 $ f(\frac{1}{2026})+f(\frac{1}{2025})+\dots +f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026) $ 的值。
例如：$ f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, f(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3} $。
（1）计算：$ f(3)+f(\frac{1}{3})=\_\_\_\_\_\_ $，$ f(4)+f(\frac{1}{4})=\_\_\_\_\_\_ $；
（2）猜想：$ f(x)+f(\frac{1}{x})=\_\_\_\_\_\_ $，并证明你的结论；
（3）求 $ f(\frac{1}{2026})+f(\frac{1}{2025})+\dots +f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(2025)+f(2026) $ 的值。
答案
（1）$1$，$1$；（2）$1$；（3）$\frac{4051}{2}$（或$2025\frac{1}{2}$）
解析
【分析】
本题围绕新定义函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$展开，解题思路如下：
1. 第（1）问直接将对应自变量代入函数表达式，计算函数值后求和；
2. 第（2）问先根据第（1）问的结果猜想$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值，再将$\frac{1}{x}$代入函数，通过代数化简证明猜想；
3. 第（3）问利用第（2）问得出的规律$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，对求和式分组，结合$f(1)$的值计算总和。
【解析】
（1）计算并求和：
$f(3)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}$，故$f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；
$f(4)=\frac{4}{5}$，$f(\frac{1}{4})=\frac{1}{5}$，故$f(4)+f(\frac{1}{4})=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$。
（2）猜想并证明：
猜想$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，证明如下：
$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}$，
则$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$，猜想成立。
（3）求和计算：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$；
观察求和式，除$f(1)$外，剩余项可两两分组：$f(2)+f(\frac{1}{2})=1$，$f(3)+f(\frac{1}{3})=1$，…，$f(2026)+f(\frac{1}{2026})=1$，共$2025$组；
因此原式的值为：$2025×1 + \frac{1}{2}=\frac{4051}{2}$。
【答案】
（1）$1$，$1$；（2）$1$；（3）$\frac{4051}{2}$（或$2025\frac{1}{2}$）
【知识点】
函数值计算，代数式化简，规律探究
【点评】
本题是新定义函数的规律探究题，核心是发现$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$的关键规律，简化求和计算，考查代数变形与规律总结能力，题目难度适中。
【难度系数】
0.3
本题围绕新定义函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$展开，解题思路如下：
1. 第（1）问直接将对应自变量代入函数表达式，计算函数值后求和；
2. 第（2）问先根据第（1）问的结果猜想$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值，再将$\frac{1}{x}$代入函数，通过代数化简证明猜想；
3. 第（3）问利用第（2）问得出的规律$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，对求和式分组，结合$f(1)$的值计算总和。
【解析】
（1）计算并求和：
$f(3)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}$，故$f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；
$f(4)=\frac{4}{5}$，$f(\frac{1}{4})=\frac{1}{5}$，故$f(4)+f(\frac{1}{4})=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$。
（2）猜想并证明：
猜想$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，证明如下：
$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}$，
则$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$，猜想成立。
（3）求和计算：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$；
观察求和式，除$f(1)$外，剩余项可两两分组：$f(2)+f(\frac{1}{2})=1$，$f(3)+f(\frac{1}{3})=1$，…，$f(2026)+f(\frac{1}{2026})=1$，共$2025$组；
因此原式的值为：$2025×1 + \frac{1}{2}=\frac{4051}{2}$。
【答案】
（1）$1$，$1$；（2）$1$；（3）$\frac{4051}{2}$（或$2025\frac{1}{2}$）
【知识点】
函数值计算，代数式化简，规律探究
【点评】
本题是新定义函数的规律探究题，核心是发现$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$的关键规律，简化求和计算，考查代数变形与规律总结能力，题目难度适中。
【难度系数】
0.3
