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1. 已知$m=2$,则代数式$(m-\dfrac{1}{m})·\dfrac{m}{m-1}$的值是（）
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$
答案
C
解析
【分析】本题是分式的化简求值题，解题思路是先对代数式化简，通过通分、分解因式和约分简化运算，再代入已知的$m$值计算结果，避免直接代入的复杂计算，提高准确率。
【解析】先化简代数式：
$\begin{aligned}(m - \frac{1}{m})·\frac{m}{m - 1}&=\frac{m^2 - 1}{m}·\frac{m}{m - 1}\\&=\frac{(m - 1)(m + 1)}{m}·\frac{m}{m - 1}\\&=m + 1\end{aligned}$
将$m=2$代入化简后的式子，得$2 + 1 = 3$。
【答案】C
【知识点】分式的化简求值、平方差公式
【点评】本题属于基础代数运算题，主要考查分式的通分、约分及平方差公式的应用，步骤清晰，难度较低，适合巩固分式运算的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】先化简代数式：
$\begin{aligned}(m - \frac{1}{m})·\frac{m}{m - 1}&=\frac{m^2 - 1}{m}·\frac{m}{m - 1}\\&=\frac{(m - 1)(m + 1)}{m}·\frac{m}{m - 1}\\&=m + 1\end{aligned}$
将$m=2$代入化简后的式子，得$2 + 1 = 3$。
【答案】C
【知识点】分式的化简求值、平方差公式
【点评】本题属于基础代数运算题，主要考查分式的通分、约分及平方差公式的应用，步骤清晰，难度较低，适合巩固分式运算的基础知识点。
【难度系数】0.8
2. 若$a^2 + 2a - 1 = 0$，则$(a - \dfrac{4}{a}) · \dfrac{a^2}{a - 2}$的值是 （）
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
C
解析
【分析】
本题需先对所求分式进行化简，通过通分、因式分解和约分简化式子，再利用已知条件进行整体代入求值，从而快速得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a})·\frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a}·\frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a}·\frac{a^2}{a - 2}\\=&a(a + 2)\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，移项可得$a^2 + 2a = 1$，因此原式的值为$1$。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简与整体代入思想的应用，通过因式分解和约分简化运算，避免了求解复杂的$a$值，是分式求值类题目的典型解法，需掌握通分、因式分解的基本运算。
【难度系数】
0.5
本题需先对所求分式进行化简，通过通分、因式分解和约分简化式子，再利用已知条件进行整体代入求值，从而快速得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a})·\frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a}·\frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a}·\frac{a^2}{a - 2}\\=&a(a + 2)\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，移项可得$a^2 + 2a = 1$，因此原式的值为$1$。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简与整体代入思想的应用，通过因式分解和约分简化运算，避免了求解复杂的$a$值，是分式求值类题目的典型解法，需掌握通分、因式分解的基本运算。
【难度系数】
0.5
3. 已知$a^2 - 5a + 1 = 0$，则$a^2 + \frac{1}{a^2} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
23
解析
【分析】首先，已知等式$a^2 -5a +1=0$，可判断$a≠0$（若$a=0$代入等式不成立），因此可将等式两边同除以$a$，得到$a+\frac{1}{a}$的值；再利用完全平方公式的变形，将所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为含$a+\frac{1}{a}$的式子，代入计算即可。
【解析】解：因为$a^2 -5a +1=0$，且$a≠0$（若$a=0$，左边$=1≠0$，矛盾），等式两边同除以$a$得：
$a -5 +\frac{1}{a}=0$，整理得$a+\frac{1}{a}=5$；
根据完全平方公式：$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2 +2+\frac{1}{a^2}$，
因此$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 -2=5^2 -2=25-2=23$。
【答案】23
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过对已知等式的合理变形，结合完全平方公式的恒等变形，将所求代数式转化为可直接代入计算的形式，考查代数式的变形能力，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：因为$a^2 -5a +1=0$，且$a≠0$（若$a=0$，左边$=1≠0$，矛盾），等式两边同除以$a$得：
$a -5 +\frac{1}{a}=0$，整理得$a+\frac{1}{a}=5$；
根据完全平方公式：$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2 +2+\frac{1}{a^2}$，
因此$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 -2=5^2 -2=25-2=23$。
【答案】23
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过对已知等式的合理变形，结合完全平方公式的恒等变形，将所求代数式转化为可直接代入计算的形式，考查代数式的变形能力，属于基础题型。
【难度系数】0.6
4. 计算:
(1) $(\dfrac{2}{a})^3 =$ ; (2) $(\dfrac{4y}{3x})^2 =$ ;
(3) $(\dfrac{3c^3}{-a^2b})^3 =$ .
(1) $(\dfrac{2}{a})^3 =$ ; (2) $(\dfrac{4y}{3x})^2 =$ ;
(3) $(\dfrac{3c^3}{-a^2b})^3 =$ .
答案
(1)$\frac{8}{a^3}$；(2)$\frac{16y^2}{9x^2}$；(3)$-\frac{27c^9}{a^6b^3}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题思路是依据分式乘方法则：分式的乘方等于分子、分母分别乘方，再将所得的幂相乘，同时结合积的乘方、幂的乘方规则（底数不变，指数相乘），注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正，依次计算各小题即可。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，$(\dfrac{2}{a})^3 = \dfrac{2^3}{a^3} = \dfrac{8}{a^3}$；
(2) 同理，$(\dfrac{4y}{3x})^2 = \dfrac{(4y)^2}{(3x)^2} = \dfrac{16y^2}{9x^2}$；
(3) 注意符号处理，$(\dfrac{3c^3}{-a^2b})^3 = \dfrac{(3c^3)^3}{(-a^2b)^3} = \dfrac{27c^9}{-a^6b^3} = -\dfrac{27c^9}{a^6b^3}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{a^3}$；(2)$\frac{16y^2}{9x^2}$；(3)$-\frac{27c^9}{a^6b^3}$
【知识点】
分式的乘方，积的乘方运算
【点评】
本题是分式乘方的基础计算题，核心考查分式乘方法则的应用，运算时需注意符号变化和指数运算的准确性，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘方运算，解题思路是依据分式乘方法则：分式的乘方等于分子、分母分别乘方，再将所得的幂相乘，同时结合积的乘方、幂的乘方规则（底数不变，指数相乘），注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正，依次计算各小题即可。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，$(\dfrac{2}{a})^3 = \dfrac{2^3}{a^3} = \dfrac{8}{a^3}$；
(2) 同理，$(\dfrac{4y}{3x})^2 = \dfrac{(4y)^2}{(3x)^2} = \dfrac{16y^2}{9x^2}$；
(3) 注意符号处理，$(\dfrac{3c^3}{-a^2b})^3 = \dfrac{(3c^3)^3}{(-a^2b)^3} = \dfrac{27c^9}{-a^6b^3} = -\dfrac{27c^9}{a^6b^3}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{a^3}$；(2)$\frac{16y^2}{9x^2}$；(3)$-\frac{27c^9}{a^6b^3}$
【知识点】
分式的乘方，积的乘方运算
【点评】
本题是分式乘方的基础计算题，核心考查分式乘方法则的应用，运算时需注意符号变化和指数运算的准确性，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 试卷上一个正确的式子$(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b})÷ \bigstar=\dfrac{2}{a+b}$，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式$\bigstar$为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$\dfrac{a}{a-b}$
解析
【分析】首先根据除法各部分关系：除数=被除数÷商，确定被墨汁遮住的部分★的表达式为括号内分式的和除以$\dfrac{2}{a+b}$；接着先对括号内的分式通分求和，再依据分式除法法则将除法转化为乘法，通过约分计算出结果。
【解析】根据题意，$\bigstar = (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}) ÷ \dfrac{2}{a+b}$。
1. 计算括号内的分式和：通分后分母为$(a+b)(a-b)$，分子为$(a-b)+(a+b)=2a$，因此括号内结果为$\dfrac{2a}{(a+b)(a-b)}$；
2. 将除法转化为乘法：除以$\dfrac{2}{a+b}$等于乘以$\dfrac{a+b}{2}$，即：
$\bigstar = \dfrac{2a}{(a+b)(a-b)} × \dfrac{a+b}{2}$
约分后，约去分子分母的2和$(a+b)$，得到$\bigstar = \dfrac{a}{a-b}$。
【答案】$\dfrac{a}{a-b}$
【知识点】分式的混合运算、分式的通分与约分
【点评】本题考查分式的基础运算，核心是利用除法关系转化问题，结合分式通分、约分规则计算，属于基础题型，掌握分式运算基本方法即可解答。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，$\bigstar = (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}) ÷ \dfrac{2}{a+b}$。
1. 计算括号内的分式和：通分后分母为$(a+b)(a-b)$，分子为$(a-b)+(a+b)=2a$，因此括号内结果为$\dfrac{2a}{(a+b)(a-b)}$；
2. 将除法转化为乘法：除以$\dfrac{2}{a+b}$等于乘以$\dfrac{a+b}{2}$，即：
$\bigstar = \dfrac{2a}{(a+b)(a-b)} × \dfrac{a+b}{2}$
约分后，约去分子分母的2和$(a+b)$，得到$\bigstar = \dfrac{a}{a-b}$。
【答案】$\dfrac{a}{a-b}$
【知识点】分式的混合运算、分式的通分与约分
【点评】本题考查分式的基础运算，核心是利用除法关系转化问题，结合分式通分、约分规则计算，属于基础题型，掌握分式运算基本方法即可解答。
【难度系数】0.6
6. 计算：
(1) $\dfrac{a^2}{a-1} - a + 1$；
(2) $(-\dfrac{a^2b}{c})^3 · (-\dfrac{c^2}{a^2})^2 ÷ (-\dfrac{bc}{a})^4$；
(3) $\dfrac{3 - m}{2m - 4} ÷ (m + 2 - \dfrac{5}{m - 2})$。
(1) $\dfrac{a^2}{a-1} - a + 1$；
(2) $(-\dfrac{a^2b}{c})^3 · (-\dfrac{c^2}{a^2})^2 ÷ (-\dfrac{bc}{a})^4$；
(3) $\dfrac{3 - m}{2m - 4} ÷ (m + 2 - \dfrac{5}{m - 2})$。
答案
(1) $\dfrac{2a-1}{a-1}$；(2) $-\dfrac{a^6}{bc^3}$；(3) $-\dfrac{1}{2m+6}$（或$-\dfrac{1}{2(m+3)}$）
解析
【分析】本题为分式的混合运算，需遵循分式运算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；整式参与分式运算时，需将整式转化为同分母分式（通分），运算过程中要注意符号处理、因式分解和约分，确保每一步化简正确。具体各小问思路：(1) 先将整式项转化为与分式同分母的形式，再进行分式减法；(2) 先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，通过约分得到结果；(3) 先计算括号内的分式加减，再将除法转化为乘法，结合因式分解和约分化简。
【解析】
(1) 原式 = $\dfrac{a^2}{a-1} - (a - 1)$
= $\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}$
= $\dfrac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}$
= $\dfrac{2a - 1}{a - 1}$；
(2) 先计算乘方：
$(-\dfrac{a^2b}{c})^3 = -\dfrac{a^6b^3}{c^3}$，$(-\dfrac{c^2}{a^2})^2 = \dfrac{c^4}{a^4}$，$(-\dfrac{bc}{a})^4 = \dfrac{b^4c^4}{a^4}$，
原式 = $-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^4} ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4}$
= $-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^4} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
= $-\dfrac{a^6}{bc^3}$；
(3) 先算括号内：
$m + 2 - \dfrac{5}{m - 2} = \dfrac{(m+2)(m-2) - 5}{m - 2} = \dfrac{m^2 - 4 -5}{m -2} = \dfrac{m^2 -9}{m -2} = \dfrac{(m-3)(m+3)}{m -2}$，
原式 = $\dfrac{3 - m}{2(m - 2)} ÷ \dfrac{(m-3)(m+3)}{m -2}$
= $\dfrac{-(m -3)}{2(m -2)} · \dfrac{m -2}{(m-3)(m+3)}$
= $-\dfrac{1}{2(m +3)}$（或$-\dfrac{1}{2m +6}$）；
【答案】(1) $\dfrac{2a-1}{a-1}$；(2) $-\dfrac{a^6}{bc^3}$；(3) $-\dfrac{1}{2m+6}$（或$-\dfrac{1}{2(m+3)}$）
【知识点】分式的加减运算、分式的乘除运算、分式的乘方运算
【点评】本题考查分式的混合运算，是分式章节的基础题型，需熟练掌握通分、约分、乘方符号法则等核心技能，运算时要注意符号变化和因式分解的应用，避免因细节错误导致结果偏差。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 原式 = $\dfrac{a^2}{a-1} - (a - 1)$
= $\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}$
= $\dfrac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}$
= $\dfrac{2a - 1}{a - 1}$；
(2) 先计算乘方：
$(-\dfrac{a^2b}{c})^3 = -\dfrac{a^6b^3}{c^3}$，$(-\dfrac{c^2}{a^2})^2 = \dfrac{c^4}{a^4}$，$(-\dfrac{bc}{a})^4 = \dfrac{b^4c^4}{a^4}$，
原式 = $-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^4} ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4}$
= $-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^4} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
= $-\dfrac{a^6}{bc^3}$；
(3) 先算括号内：
$m + 2 - \dfrac{5}{m - 2} = \dfrac{(m+2)(m-2) - 5}{m - 2} = \dfrac{m^2 - 4 -5}{m -2} = \dfrac{m^2 -9}{m -2} = \dfrac{(m-3)(m+3)}{m -2}$，
原式 = $\dfrac{3 - m}{2(m - 2)} ÷ \dfrac{(m-3)(m+3)}{m -2}$
= $\dfrac{-(m -3)}{2(m -2)} · \dfrac{m -2}{(m-3)(m+3)}$
= $-\dfrac{1}{2(m +3)}$（或$-\dfrac{1}{2m +6}$）；
【答案】(1) $\dfrac{2a-1}{a-1}$；(2) $-\dfrac{a^6}{bc^3}$；(3) $-\dfrac{1}{2m+6}$（或$-\dfrac{1}{2(m+3)}$）
【知识点】分式的加减运算、分式的乘除运算、分式的乘方运算
【点评】本题考查分式的混合运算，是分式章节的基础题型，需熟练掌握通分、约分、乘方符号法则等核心技能，运算时要注意符号变化和因式分解的应用，避免因细节错误导致结果偏差。
【难度系数】0.5
7. 先化简：$\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 4}$，然后$a$的值从$3,2,-2$和$-3$四个数中任选一个合适的数代入求值.
答案
化简结果为$\frac{3}{a-3}$，代入$a=-3$后的值为$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，解题思路：先按分式混合运算顺序，先算除法，将除法转化为乘法后对分子分母因式分解、约分，再计算减法；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）选取合适的a值代入化简后的式子求值，需注意所选a不能使原分式中任何分母为0。
【解析】
解：原式$=\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 4}$
1. 处理除法运算：将除法转化为乘法，对分子分母因式分解：
$a^2 -6a +9=(a-3)^2$，$a^2 -4=(a+2)(a-2)$，
则除法部分为：$\frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{(a-3)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{a-3}{a+2} × \frac{(a+2)(a-2)}{(a-3)^2} = \frac{a-2}{a-3}$
2. 计算减法：同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式变为$\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-2}{a-3} = \frac{(a+1)-(a-2)}{a-3} = \frac{3}{a-3}$
3. 选取合适的a值：要使原分式有意义，需满足$a-3≠0$、$a+2≠0$、$a^2 -4≠0$，即$a≠3$、$a≠-2$、$a≠2$，故只能选$a=-3$。
4. 代入求值：将$a=-3$代入$\frac{3}{a-3}$，得$\frac{3}{-3-3}=-\frac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{3}{a-3}$，代入$a=-3$后的值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的混合运算，需严格遵循“先乘除后加减”的运算顺序，关键是对分式因式分解和约分，选取a值时需注意原分式有意义的条件，避免因忽略取值限制出错。
【难度系数】
0.6
本题为分式化简求值题，解题思路：先按分式混合运算顺序，先算除法，将除法转化为乘法后对分子分母因式分解、约分，再计算减法；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）选取合适的a值代入化简后的式子求值，需注意所选a不能使原分式中任何分母为0。
【解析】
解：原式$=\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 - 4}$
1. 处理除法运算：将除法转化为乘法，对分子分母因式分解：
$a^2 -6a +9=(a-3)^2$，$a^2 -4=(a+2)(a-2)$，
则除法部分为：$\frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{(a-3)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{a-3}{a+2} × \frac{(a+2)(a-2)}{(a-3)^2} = \frac{a-2}{a-3}$
2. 计算减法：同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式变为$\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-2}{a-3} = \frac{(a+1)-(a-2)}{a-3} = \frac{3}{a-3}$
3. 选取合适的a值：要使原分式有意义，需满足$a-3≠0$、$a+2≠0$、$a^2 -4≠0$，即$a≠3$、$a≠-2$、$a≠2$，故只能选$a=-3$。
4. 代入求值：将$a=-3$代入$\frac{3}{a-3}$，得$\frac{3}{-3-3}=-\frac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{3}{a-3}$，代入$a=-3$后的值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的混合运算，需严格遵循“先乘除后加减”的运算顺序，关键是对分式因式分解和约分，选取a值时需注意原分式有意义的条件，避免因忽略取值限制出错。
【难度系数】
0.6
8. [阅读]把等式$x^2 - 3x + 1 = 0(x≠0)$的两边同时乘以$\frac{1}{x}$得$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，移项得$x + \frac{1}{x} = 3$，两边平方得$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2· x· \frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 3^2$，所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$。
[思考]若等式$2x^2 - 8x + 2 = 0(x≠0)$成立，求下列各式的值：
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = \_\_\_\_\_\_$，$x^4 + \frac{1}{x^4} = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 先计算：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = \_\_\_\_\_\_$，再把计算结果作为公式，求$x^3 + \frac{1}{x^3}$的值。
[思考]若等式$2x^2 - 8x + 2 = 0(x≠0)$成立，求下列各式的值：
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = \_\_\_\_\_\_$，$x^4 + \frac{1}{x^4} = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 先计算：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = \_\_\_\_\_\_$，再把计算结果作为公式，求$x^3 + \frac{1}{x^3}$的值。
答案
(1) $\boldsymbol{14}$，$\boldsymbol{194}$；(2) $\boldsymbol{a^3+b^3}$，$x^3+\frac{1}{x^3}$的值为$\boldsymbol{52}$
解析
【分析】
本题需利用方程变形得到含$x$和$\frac{1}{x}$的式子，再结合完全平方公式、立方和公式求解。首先对给定方程两边除以$x$（$x≠0$），得到$x+\frac{1}{x}$的值；再利用完全平方公式变形求$x^2+\frac{1}{x^2}$、$x^4+\frac{1}{x^4}$；最后先推导立方和公式，再代入已知值求$x^3+\frac{1}{x^3}$。
【解析】
(1) 已知等式$2x^2 -8x +2=0(x≠0)$，两边同时除以$2x$，得：
$x -4 + \frac{1}{x}=0$，移项得：$x + \frac{1}{x}=4$。
将$x+\frac{1}{x}=4$两边平方：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2·x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=x^2 + \frac{1}{x^2} +2=4^2=16$，
故$x^2 + \frac{1}{x^2}=16 -2=14$。
再将$x^2+\frac{1}{x^2}=14$两边平方：
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =x^4 +2 + \frac{1}{x^4}=14^2=196$，
故$x^4 + \frac{1}{x^4}=196 -2=194$。
(2) 计算$(a + b)(a^2 -ab +b^2)$：
展开得：$a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3=a^3 +b^3$，即结果为$a^3 +b^3$。
求$x^3+\frac{1}{x^3}$时，利用公式：
$x^3 + \frac{1}{x^3}=(x + \frac{1}{x})(x^2 -x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})=(x + \frac{1}{x})(x^2 -1 + \frac{1}{x^2})$，
代入$x + \frac{1}{x}=4$，$x^2 + \frac{1}{x^2}=14$，得：
$x^3 + \frac{1}{x^3}=4×(14 -1)=4×13=52$。
【答案】
(1) $14$，$194$；(2) $a^3+b^3$，$52$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，立方和公式
【点评】
本题通过方程变形构造$x$与$\frac{1}{x}$的关系，核心是利用代数公式的灵活变形求解高次代数式的值，属于基础代数运算题，需熟练掌握公式的结构特征。
【难度系数】
0.7
本题需利用方程变形得到含$x$和$\frac{1}{x}$的式子，再结合完全平方公式、立方和公式求解。首先对给定方程两边除以$x$（$x≠0$），得到$x+\frac{1}{x}$的值；再利用完全平方公式变形求$x^2+\frac{1}{x^2}$、$x^4+\frac{1}{x^4}$；最后先推导立方和公式，再代入已知值求$x^3+\frac{1}{x^3}$。
【解析】
(1) 已知等式$2x^2 -8x +2=0(x≠0)$，两边同时除以$2x$，得：
$x -4 + \frac{1}{x}=0$，移项得：$x + \frac{1}{x}=4$。
将$x+\frac{1}{x}=4$两边平方：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2·x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=x^2 + \frac{1}{x^2} +2=4^2=16$，
故$x^2 + \frac{1}{x^2}=16 -2=14$。
再将$x^2+\frac{1}{x^2}=14$两边平方：
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =x^4 +2 + \frac{1}{x^4}=14^2=196$，
故$x^4 + \frac{1}{x^4}=196 -2=194$。
(2) 计算$(a + b)(a^2 -ab +b^2)$：
展开得：$a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3=a^3 +b^3$，即结果为$a^3 +b^3$。
求$x^3+\frac{1}{x^3}$时，利用公式：
$x^3 + \frac{1}{x^3}=(x + \frac{1}{x})(x^2 -x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})=(x + \frac{1}{x})(x^2 -1 + \frac{1}{x^2})$，
代入$x + \frac{1}{x}=4$，$x^2 + \frac{1}{x^2}=14$，得：
$x^3 + \frac{1}{x^3}=4×(14 -1)=4×13=52$。
【答案】
(1) $14$，$194$；(2) $a^3+b^3$，$52$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，立方和公式
【点评】
本题通过方程变形构造$x$与$\frac{1}{x}$的关系，核心是利用代数公式的灵活变形求解高次代数式的值，属于基础代数运算题，需熟练掌握公式的结构特征。
【难度系数】
0.7
