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一、选择题
1. 若$ P=\frac{n}{m} $，则下列各式的值与$ P $的值一定相等的是 （）
A.$ \frac{n - 2}{m - 2} $
B.$ \frac{n + 2}{m + 2} $
C.$ \frac{2n}{2m} $
D.$ \frac{n^2}{m^2} $
1. 若$ P=\frac{n}{m} $，则下列各式的值与$ P $的值一定相等的是 （）
A.$ \frac{n - 2}{m - 2} $
B.$ \frac{n + 2}{m + 2} $
C.$ \frac{2n}{2m} $
D.$ \frac{n^2}{m^2} $
答案
C
解析
【分析】
这道题考查分式的基本性质，解题思路是：回忆分式的核心性质——分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；而分子分母同时加、减同一个数，或分别平方时，分式的值不一定与原分式相等。接下来逐个分析选项，判断哪个符合分式基本性质，从而找到与$P=\frac{n}{m}$一定相等的式子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
选项A：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，例如当$n=2$，$m=4$时，$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，而$\frac{n-2}{m-2}=\frac{0}{2}=0≠\frac{1}{2}$，故A错误；
选项B：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，例如当$n=2$，$m=4$时，$\frac{n+2}{m+2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，故B错误；
选项C：分子分母同时乘2，因为$m≠0$，所以$2m≠0$，符合分式基本性质，故$\frac{2n}{2m}=\frac{n}{m}=P$，C正确；
选项D：分子分母分别平方，例如当$n=1$，$m=2$时，$P=\frac{1}{2}$，而$\frac{n^2}{m^2}=\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的基础应用，需准确掌握分式的核心性质，区分加减、平方等错误变形，属于分式章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式的基本性质，解题思路是：回忆分式的核心性质——分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；而分子分母同时加、减同一个数，或分别平方时，分式的值不一定与原分式相等。接下来逐个分析选项，判断哪个符合分式基本性质，从而找到与$P=\frac{n}{m}$一定相等的式子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
选项A：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，例如当$n=2$，$m=4$时，$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，而$\frac{n-2}{m-2}=\frac{0}{2}=0≠\frac{1}{2}$，故A错误；
选项B：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，例如当$n=2$，$m=4$时，$\frac{n+2}{m+2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，故B错误；
选项C：分子分母同时乘2，因为$m≠0$，所以$2m≠0$，符合分式基本性质，故$\frac{2n}{2m}=\frac{n}{m}=P$，C正确；
选项D：分子分母分别平方，例如当$n=1$，$m=2$时，$P=\frac{1}{2}$，而$\frac{n^2}{m^2}=\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的基础应用，需准确掌握分式的核心性质，区分加减、平方等错误变形，属于分式章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 若把分式$\frac{x+y}{3xy}$的$x$和$y$都扩大2倍，则分式的值 （）
A.扩大2倍
B.不变
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
A.扩大2倍
B.不变
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要判断分式的值的变化，需先将扩大2倍后的x、y代入原分式，化简后与原分式对比，即可得出结果。具体步骤为：①根据题意确定替换后的x、y；②代入原分式得到新分式；③化简新分式；④与原分式比较，确定分式值的变化情况。
【解析】
解：当x和y都扩大2倍时，新的x为2x，新的y为2y，将其代入原分式：
新分式 = $\frac{2x + 2y}{3 · (2x) · (2y)}$
对分子提取公因式得：$\frac{2(x + y)}{12xy}$
约分后得：$\frac{x + y}{6xy}$
原分式为$\frac{x + y}{3xy}$，则新分式是原分式的$\frac{\frac{x + y}{6xy}}{\frac{x + y}{3xy}} = \frac{1}{2}$，即分式的值缩小为原来的$\frac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式中字母变化对分式值的影响，核心是利用分式化简规则，正确代入替换并计算，属于分式性质的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断分式的值的变化，需先将扩大2倍后的x、y代入原分式，化简后与原分式对比，即可得出结果。具体步骤为：①根据题意确定替换后的x、y；②代入原分式得到新分式；③化简新分式；④与原分式比较，确定分式值的变化情况。
【解析】
解：当x和y都扩大2倍时，新的x为2x，新的y为2y，将其代入原分式：
新分式 = $\frac{2x + 2y}{3 · (2x) · (2y)}$
对分子提取公因式得：$\frac{2(x + y)}{12xy}$
约分后得：$\frac{x + y}{6xy}$
原分式为$\frac{x + y}{3xy}$，则新分式是原分式的$\frac{\frac{x + y}{6xy}}{\frac{x + y}{3xy}} = \frac{1}{2}$，即分式的值缩小为原来的$\frac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式中字母变化对分式值的影响，核心是利用分式化简规则，正确代入替换并计算，属于分式性质的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 在解分式方程$\frac{x-1}{x^2 - 4} + 2 = \frac{1}{x^2 + 2x}$的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简分母$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$x(x+2)(x-2)$（或$x^3-4x$）
解析
【分析】要确定分式方程去分母时的最简公分母，需先对每个分母进行因式分解，再提取各因式的最高次幂相乘。首先分解各分母：$x^2 -4$是平方差形式，分解为$(x+2)(x-2)$；$x^2+2x$提取公因式$x$，分解为$x(x+2)$。然后取所有不同因式的最高次幂，即$x$、$(x+2)$、$(x-2)$，相乘后得到最简公分母。
【解析】先对分式方程的各分母因式分解：
1. 第一个分母：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$；
2. 第二个分母：$x^2 + 2x = x(x + 2)$；
3. 最简公分母为各因式的最高次幂的乘积，即$x(x + 2)(x - 2)$，展开后为$x^3 - 4x$。
【答案】$x(x+2)(x-2)$（或$x^3-4x$）
【知识点】分式的最简公分母、因式分解
【点评】本题考查分式方程最简公分母的确定，核心是正确分解各分母的因式，属于分式方程的基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】先对分式方程的各分母因式分解：
1. 第一个分母：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$；
2. 第二个分母：$x^2 + 2x = x(x + 2)$；
3. 最简公分母为各因式的最高次幂的乘积，即$x(x + 2)(x - 2)$，展开后为$x^3 - 4x$。
【答案】$x(x+2)(x-2)$（或$x^3-4x$）
【知识点】分式的最简公分母、因式分解
【点评】本题考查分式方程最简公分母的确定，核心是正确分解各分母的因式，属于分式方程的基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 已知$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}, \frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}, \frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$，则$\frac{xy + xz + yz}{x + y + z}$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$\frac{9}{2}$
解析
【分析】首先观察已知的三个分式方程，对每个方程左边通分后，可转化为含$x+y+z$的形式，进而得到关于$x(y+z)$、$y(z+x)$、$z(x+y)$的表达式；再将这三个表达式相加，左边恰好是目标式分子的2倍，右边是已知系数和乘以$x+y+z$，通过整体代入即可求出目标分式的值。
【解析】设$S = x + y + z$。
对第一个方程$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}$左边通分：
$\frac{(y+z) + x}{x(y+z)} = \frac{x + y + z}{x(y+z)} = \frac{1}{2}$，
整理得：$x(y+z) = 2S$ ①；
同理，第二个方程$\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}$，通分后得：
$\frac{y + z + x}{y(z+x)} = \frac{1}{3}$，整理得：$y(z+x)=3S$ ②；
第三个方程$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$，通分后得：
$\frac{z + x + y}{z(x+y)} = \frac{1}{4}$，整理得：$z(x+y)=4S$ ③；
将①+②+③，左边为：
$x(y+z) + y(z+x) + z(x+y) = xy + xz + yz + yx + zy + zx = 2(xy + yz + zx)$，
右边为：$2S + 3S + 4S =9S$，
因此：$2(xy + yz + zx)=9S$，
两边同时除以$2S$（$S=x+y+z≠0$，否则原方程分母为0，无意义），得：
$\frac{xy + yz + zx}{S} = \frac{9}{2}$，
即$\frac{xy + xz + yz}{x + y + z} = \frac{9}{2}$。
【答案】$\frac{9}{2}$
【知识点】分式的通分、代数式求值
【点评】本题通过对已知方程通分变形，构造与目标式相关的表达式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解单个变量的复杂过程，是分式求值的常用技巧。
【难度系数】0.5
【解析】设$S = x + y + z$。
对第一个方程$\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2}$左边通分：
$\frac{(y+z) + x}{x(y+z)} = \frac{x + y + z}{x(y+z)} = \frac{1}{2}$，
整理得：$x(y+z) = 2S$ ①；
同理，第二个方程$\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3}$，通分后得：
$\frac{y + z + x}{y(z+x)} = \frac{1}{3}$，整理得：$y(z+x)=3S$ ②；
第三个方程$\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}$，通分后得：
$\frac{z + x + y}{z(x+y)} = \frac{1}{4}$，整理得：$z(x+y)=4S$ ③；
将①+②+③，左边为：
$x(y+z) + y(z+x) + z(x+y) = xy + xz + yz + yx + zy + zx = 2(xy + yz + zx)$，
右边为：$2S + 3S + 4S =9S$，
因此：$2(xy + yz + zx)=9S$，
两边同时除以$2S$（$S=x+y+z≠0$，否则原方程分母为0，无意义），得：
$\frac{xy + yz + zx}{S} = \frac{9}{2}$，
即$\frac{xy + xz + yz}{x + y + z} = \frac{9}{2}$。
【答案】$\frac{9}{2}$
【知识点】分式的通分、代数式求值
【点评】本题通过对已知方程通分变形，构造与目标式相关的表达式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解单个变量的复杂过程，是分式求值的常用技巧。
【难度系数】0.5
三、解答题
5. 不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数.
(1) $\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1}$；
(2) $-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x}$.
5. 不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数.
(1) $\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1}$；
(2) $-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x}$.
答案
(1) $\dfrac{2x-3}{x^2-1}$；(2) $\dfrac{3x^2+x-5}{x+4}$
解析
【分析】
要解决该问题，需利用分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。核心是调整分子和分母的最高次项系数为正数，需注意：①先确定分子、分母的最高次项；②若最高次项系数为负，可通过提取负号改变符号；③利用分式符号法则（分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变）化简，确保不改变分式的值。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1}$：
分子的最高次项为$-2x$，系数为负，提取负号得：$3 - 2x = -(2x - 3)$；
分母的最高次项为$-x^2$，系数为负，提取负号得：$-x^2 + 1 = -(x^2 - 1)$；
代入原式，根据分式符号法则，分子分母的负号可约去，即：
$\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1} = \dfrac{-(2x - 3)}{-(x^2 - 1)} = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 1}$。
(2) 对于分式$-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x}$：
先处理分子中的多项式，按降幂排列为：$5 - x - 3x^2 = -3x^2 - x + 5$，最高次项系数为负，提取负号得：$-3x^2 - x + 5 = -(3x^2 + x - 5)$；
代入原式，根据分式符号法则，分子的负号与原式前的负号抵消，即：
$-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x} = -\dfrac{-(3x^2 + x - 5)}{x + 4} = \dfrac{3x^2 + x - 5}{x + 4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2x-3}{x^2-1}$；(2) $\dfrac{3x^2+x-5}{x+4}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则，多项式的排列
【点评】
本题考查分式的符号变形，核心是利用分式基本性质和符号法则调整最高次项系数，属于分式运算的基础题型，需注意符号处理的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。核心是调整分子和分母的最高次项系数为正数，需注意：①先确定分子、分母的最高次项；②若最高次项系数为负，可通过提取负号改变符号；③利用分式符号法则（分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变）化简，确保不改变分式的值。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1}$：
分子的最高次项为$-2x$，系数为负，提取负号得：$3 - 2x = -(2x - 3)$；
分母的最高次项为$-x^2$，系数为负，提取负号得：$-x^2 + 1 = -(x^2 - 1)$；
代入原式，根据分式符号法则，分子分母的负号可约去，即：
$\dfrac{3 - 2x}{-x^2 + 1} = \dfrac{-(2x - 3)}{-(x^2 - 1)} = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 1}$。
(2) 对于分式$-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x}$：
先处理分子中的多项式，按降幂排列为：$5 - x - 3x^2 = -3x^2 - x + 5$，最高次项系数为负，提取负号得：$-3x^2 - x + 5 = -(3x^2 + x - 5)$；
代入原式，根据分式符号法则，分子的负号与原式前的负号抵消，即：
$-\dfrac{5 - x - 3x^2}{4 + x} = -\dfrac{-(3x^2 + x - 5)}{x + 4} = \dfrac{3x^2 + x - 5}{x + 4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2x-3}{x^2-1}$；(2) $\dfrac{3x^2+x-5}{x+4}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则，多项式的排列
【点评】
本题考查分式的符号变形，核心是利用分式基本性质和符号法则调整最高次项系数，属于分式运算的基础题型，需注意符号处理的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
6. 通分：
(1) $\frac{4a}{5b^2c}, \frac{3c}{10a^2b}, \frac{5b}{-2ac^2}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - 4}, \frac{3}{4 - 2x}$；
(3) $\frac{1}{2x}, \frac{1}{3y(x - y)^2}, \frac{1}{x^2(x - y)}$。
(1) $\frac{4a}{5b^2c}, \frac{3c}{10a^2b}, \frac{5b}{-2ac^2}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - 4}, \frac{3}{4 - 2x}$；
(3) $\frac{1}{2x}, \frac{1}{3y(x - y)^2}, \frac{1}{x^2(x - y)}$。
答案
(1) 通分结果为$\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$、$\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$、$-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2) 通分结果为$\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$、$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$；
(3) 通分结果为$\frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
(2) 通分结果为$\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$、$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$；
(3) 通分结果为$\frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
解析
【分析】通分的核心是确定最简公分母，步骤为：1. 取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；2. 单独出现的字母连同其指数作为公分母的因式；3. 同底数幂取次数最高的，三者乘积即为最简公分母。再将各分式的分子、分母同乘适当整式，使分母变为最简公分母，同步调整分子即可完成通分。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：系数5、10、2的最小公倍数是10，字母部分a的最高次为$a^2$，b的最高次为$b^2$，c的最高次为$c^2$，故最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
对各分式变形：
$\frac{4a}{5b^2c} = \frac{4a · 2a^2c}{5b^2c · 2a^2c} = \frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{3c}{10a^2b} = \frac{3c · bc^2}{10a^2b · bc^2} = \frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{5b}{-2ac^2} = -\frac{5b · 5ab^2}{2ac^2 · 5ab^2} = -\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2) 先分解分母：$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
对各分式变形：
$\frac{1}{x^2 -4} = \frac{1 · 2}{(x+2)(x-2) · 2} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$；
$\frac{3}{4-2x} = \frac{3}{-2(x-2)} = \frac{3 · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = \frac{-3x -6}{2(x+2)(x-2)}$。
(3) 确定最简公分母：系数2、3的最小公倍数是6，字母部分a的最高次为$x^2$，y的最高次为y，因式$(x-y)$的最高次为$(x-y)^2$，故最简公分母为$6x^2y(x-y)^2$。
对各分式变形：
$\frac{1}{2x} = \frac{1 · 3xy(x-y)^2}{2x · 3xy(x-y)^2} = \frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$；
$\frac{1}{3y(x-y)^2} = \frac{1 · 2x^2}{3y(x-y)^2 · 2x^2} = \frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$；
$\frac{1}{x^2(x-y)} = \frac{1 · 6y(x-y)}{x^2(x-y) · 6y(x-y)} = \frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$、$\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$、$-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2) $\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$、$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$；
(3) $\frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母，因式分解
【点评】
本题为分式运算的基础题型，核心考查通分的方法，需准确确定最简公分母，注意符号处理与分母因式分解，是后续分式加减运算的关键基础。
【难度系数】
0.3
【解析】
(1) 先确定最简公分母：系数5、10、2的最小公倍数是10，字母部分a的最高次为$a^2$，b的最高次为$b^2$，c的最高次为$c^2$，故最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
对各分式变形：
$\frac{4a}{5b^2c} = \frac{4a · 2a^2c}{5b^2c · 2a^2c} = \frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{3c}{10a^2b} = \frac{3c · bc^2}{10a^2b · bc^2} = \frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{5b}{-2ac^2} = -\frac{5b · 5ab^2}{2ac^2 · 5ab^2} = -\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2) 先分解分母：$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
对各分式变形：
$\frac{1}{x^2 -4} = \frac{1 · 2}{(x+2)(x-2) · 2} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$；
$\frac{3}{4-2x} = \frac{3}{-2(x-2)} = \frac{3 · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = \frac{-3x -6}{2(x+2)(x-2)}$。
(3) 确定最简公分母：系数2、3的最小公倍数是6，字母部分a的最高次为$x^2$，y的最高次为y，因式$(x-y)$的最高次为$(x-y)^2$，故最简公分母为$6x^2y(x-y)^2$。
对各分式变形：
$\frac{1}{2x} = \frac{1 · 3xy(x-y)^2}{2x · 3xy(x-y)^2} = \frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$；
$\frac{1}{3y(x-y)^2} = \frac{1 · 2x^2}{3y(x-y)^2 · 2x^2} = \frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$；
$\frac{1}{x^2(x-y)} = \frac{1 · 6y(x-y)}{x^2(x-y) · 6y(x-y)} = \frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$、$\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$、$-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2) $\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$、$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$；
(3) $\frac{3xy(x-y)^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{2x^2}{6x^2y(x-y)^2}$、$\frac{6y(x-y)}{6x^2y(x-y)^2}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母，因式分解
【点评】
本题为分式运算的基础题型，核心考查通分的方法，需准确确定最简公分母，注意符号处理与分母因式分解，是后续分式加减运算的关键基础。
【难度系数】
0.3
7. 我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:
$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2} = \frac{4x(x - 2)}{x - 2} = 4x$,则称分式$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1) 下列分式中,是“巧分式”的有________.
(填序号)
① $\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$; ② $\frac{2x + 5}{x + 3}$;
③ $\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.
(2) 若分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x - 7$,求$m,n$的值.
$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2} = \frac{4x(x - 2)}{x - 2} = 4x$,则称分式$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1) 下列分式中,是“巧分式”的有________.
(填序号)
① $\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$; ② $\frac{2x + 5}{x + 3}$;
③ $\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.
(2) 若分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x - 7$,求$m,n$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{m=-21,n=3}$
解析
【分析】
首先明确“巧分式”的定义：分式约分后结果为整式，判断时需对分子因式分解，看能否与分母约去公因式，剩余部分是否为整式；第(2)问中，巧分式的分子可表示为分母与巧整式的乘积，通过多项式展开后对应系数相等即可求解参数。
【解析】
(1) 逐个分析各分式：
① 分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约分后得$2x-3$，是整式，属于“巧分式”；
② 分子$2x+5$与分母$x+3$无公因式，约分后不是整式，不属于“巧分式”；
③ 分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，与分母$x+y$约去公因式后得$x-y$，是整式，属于“巧分式”；
故答案为①③。
(2) 已知分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}$是“巧分式”，巧整式为$x-7$，则分子$x^2 -4x + m=(x+n)(x-7)$。
展开右边：$(x+n)(x-7)=x^2 + (n-7)x -7n$，
与左边$x^2 -4x + m$对应系数相等：
一次项系数：$n-7=-4$，解得$n=3$；
常数项：$m=-7n=-7×3=-21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{m=-21,n=3}$
【知识点】
分式约分，因式分解应用，多项式乘多项式
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“巧分式”的本质（约分后为整式），第(1)问直接利用约分判断，第(2)问通过多项式乘法的系数对应关系求解参数，考察对分式运算和多项式展开的掌握。
【难度系数】
0.5
首先明确“巧分式”的定义：分式约分后结果为整式，判断时需对分子因式分解，看能否与分母约去公因式，剩余部分是否为整式；第(2)问中，巧分式的分子可表示为分母与巧整式的乘积，通过多项式展开后对应系数相等即可求解参数。
【解析】
(1) 逐个分析各分式：
① 分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约分后得$2x-3$，是整式，属于“巧分式”；
② 分子$2x+5$与分母$x+3$无公因式，约分后不是整式，不属于“巧分式”；
③ 分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，与分母$x+y$约去公因式后得$x-y$，是整式，属于“巧分式”；
故答案为①③。
(2) 已知分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}$是“巧分式”，巧整式为$x-7$，则分子$x^2 -4x + m=(x+n)(x-7)$。
展开右边：$(x+n)(x-7)=x^2 + (n-7)x -7n$，
与左边$x^2 -4x + m$对应系数相等：
一次项系数：$n-7=-4$，解得$n=3$；
常数项：$m=-7n=-7×3=-21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{m=-21,n=3}$
【知识点】
分式约分，因式分解应用，多项式乘多项式
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“巧分式”的本质（约分后为整式），第(1)问直接利用约分判断，第(2)问通过多项式乘法的系数对应关系求解参数，考察对分式运算和多项式展开的掌握。
【难度系数】
0.5
