7. 如图，A，B两点的坐标分别为$(2,4),(6,0)$，P是x轴上一点，且$△ ABP$的面积为6，则点P的坐标为________。

7.$(3,0)$或$(9,0)$

【分析】
解题时首先观察到点B和点P都在x轴上，因此△ABP的底边BP在x轴上，对应的高就是点A到x轴的垂直距离，即A点的纵坐标4。已知三角形面积为6，先通过三角形面积公式求出底边BP的长度，再结合点B的坐标(6,0)，分点P在B点左侧、右侧两种情况计算P点的横坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
设点P的坐标为$(x,0)$。
∵点B、P均在x轴上，
∴底边$BP$的长度为$|x-6|$，$△ ABP$中$BP$边上的高为点A到x轴的距离，即$h=4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}×|x-6|×4=6$
化简得$2|x-6|=6$，即$|x-6|=3$。
则$x-6=3$或$x-6=-3$，
解得$x=9$或$x=3$。
【答案】
$(3,0)$或$(9,0)$
【知识点】
1. 坐标与图形性质
2. 三角形面积计算
3. 绝对值的应用
【点评】
本题考查平面直角坐标系下的三角形面积求解，解题关键是快速确定三角形的底和高，同时要注意点P位置的不确定性，需分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

8. 如图，长方形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8,7)，D(5,0)，P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当$△ ODP$为等腰三角形时，点P的坐标为________.

8.$(8,4)$或$(\dfrac{5}{2},7)$

【分析】
首先根据长方形顶点B的坐标确定长方形各边的位置和边长：OA=8，OC=7，因此边AB上所有点的横坐标均为8，边BC上所有点的纵坐标均为7，且OD的长度为5。接下来按等腰三角形的三类情况（OD=OP、OD=DP、OP=DP）分别讨论P在AB、BC上的坐标，结合点的坐标范围舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
由长方形OABC中B(8,7)，可得：OA=8，OC=7，即A(8,0)、C(0,7)，边AB上点的横坐标为8（$0≤ y≤7$），边BC上点的纵坐标为7（$0≤ x≤8$）。
已知D(5,0)，因此$OD=5$，分三类讨论等腰$△ ODP$：
1. 当$OD=DP=5$时
若P在AB上，设$P(8,y)$，由勾股定理得$DP=\sqrt{(8-5)^2+y^2}=\sqrt{9+y^2}=5$，解得$y^2=16$，$y=4$（$y=-4$舍去），符合$0≤ y≤7$，得$P(8,4)$。
若P在BC上，设$P(x,7)$，$DP=\sqrt{(x-5)^2+7^2}≥7＞5$，不可能等于5，无符合条件的解。
2. 当$OD=OP=5$时
若P在AB上，$OP=\sqrt{8^2+y^2}≥8＞5$，不符合；若P在BC上，$OP=\sqrt{x^2+7^2}≥7＞5$，不符合，此类无符合条件的解。
3. 当$OP=DP$时
若P在AB上，$OP^2=8^2+y^2$，$DP^2=3^2+y^2$，二者不可能相等，无符合条件的解。
若P在BC上，设$P(x,7)$，由$OP^2=DP^2$得$x^2+7^2=(x-5)^2+7^2$，化简得$x^2=(x-5)^2$，解得$x=\frac{5}{2}$，符合$0≤ x≤8$，得$P(\frac{5}{2},7)$。
综上，点P的坐标为$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$。
【答案】
$(8,4)$或$(\dfrac{5}{2},7)$
【知识点】
等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的分类讨论思想，结合平面直角坐标系中线段长度的计算方法求解，解题时需注意结合点所在边的坐标范围排除不符合的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65

9.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,若学校位置的坐标为$A(1,2)$,解答以下问题:
(1)请在图中建立适当的平面直角坐标系,并写出图书馆(B)位置的坐标;
(2)若体育馆位置的坐标为$C(-3,3)$,请在平面直角坐标系中标出体育馆的位置,并顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到$△ ABC$,求$△ ABC$的面积.

9.解:(1)建立平面直角坐标系如答图所示.
图书馆位置的坐标为$B(-3,-2)$.

(2)标出体育馆(C)的位置如答图所示,观察可得,$△ ABC$中$BC$边的长为5,$BC$边上的高为4,所以$△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}×5×4=10$.

【分析】
(1) 已知学校A的坐标为$(1,2)$，首先确定原点位置：原点在A点向左平移1个单位、向下平移2个单位的格点处，x轴沿水平向右方向，y轴沿竖直向上方向即可建立坐标系。建立坐标系后，数出图书馆B对应的横、纵坐标即可得到B点坐标。
(2) 根据体育馆C的坐标$(-3,3)$，在已建立的坐标系中找到横坐标为-3、纵坐标为3的格点即为C点位置。观察$△ ABC$的特征，BC为竖直方向的线段，先计算BC的长度作为底，再计算点A到BC的水平距离作为高，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 以点A向左1个单位、向下2个单位的交点为坐标原点O，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
观察图书馆B的位置，其横坐标为-3，纵坐标为-2，因此B点坐标为$(-3,-2)$。
(2) 根据坐标$(-3,3)$，在坐标系中找到对应格点标注为C，顺次连接A、B、C得到$△ ABC$。
因为B、C两点横坐标均为-3，所以BC为竖直线段，长度为$3 - (-2) = 5$；
BC所在直线为$x=-3$，点A到该直线的水平距离为$1 - (-3) = 4$，即BC边上的高为4。
根据三角形面积公式计算：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×底×高 = \frac{1}{2}×5×4 = 10$
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系如答图所示，图书馆位置的坐标为$B(-3,-2)$。

(2) 标出体育馆C的位置如答图所示，$△ ABC$的面积为10。
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标表示；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系的基础应用，解题核心是先根据已知点坐标确定坐标系原点位置，再利用网格的线段特征快速计算三角形面积，是坐标与几何结合的基础题型，能有效考查学生的坐标系应用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在以点 O 为原点的平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为$(a,0),(a,b)$,点 C 在 y 轴上,且$BC// x$轴,a,b 满足$|a-3|+(b-4)^2=0$.点 P 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿着$O-A-B-C-O$的路线运动(回到点 O 为止).
(1)写出点 A,B,C 的坐标.
(2)当点 P 运动 4 秒时,求出点 P 的坐标.
(3)点 P 运动 t 秒后$(t≠0)$,是否存在点 P 到 x 轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

10.解:(1)$\because |a-3|+(b-4)^2=0$,
$\therefore a-3=0,b-4=0,\therefore a=3,b=4$,
$\therefore A(3,0),B(3,4)$.
$\because BC// x$轴,$\therefore$点$C,B$的纵坐标相等,$\therefore C(0,4)$.
(2)当点$P$运动4秒时,点$P$运动了$2×4=8$个单位长度,
$\because AO=3,AB=4$,
$\therefore$点$P$运动4秒时在线段$BC$上,
$\therefore BP=8-7=1,\therefore CP=3-1=2$,
$\therefore$点$P$的坐标是$(2,4)$.
(3)存在.如答图.

$\because t≠0$,
$\therefore$点$P$可能运动到$AB$或$BC$或$OC$上,
①当点$P$运动到$AB$上时,$3＜2t≤7$,即$\dfrac{3}{2}＜t≤\dfrac{7}{2}$,
$\therefore P_1A=2t-OA=2t-3$,
$\therefore 2t-3=\dfrac{1}{2}t$,解得$t=2$,
$\therefore P_1A=2×2-3=1$,
$\therefore$点$P_1$的坐标为$(3,1)$;
②当点$P$运动到$BC$上时,$7≤2t≤10$,即$\dfrac{7}{2}≤ t≤5$,
点$P_2$到$x$轴的距离为4,
$\therefore \dfrac{1}{2}t=4$,解得$t=8$.
$\because \dfrac{7}{2}≤ t≤5,\therefore$不符合题意.
③当点$P$运动到$OC$上时,$10≤2t≤14$,即$5≤ t≤7$,
$P_3O=OA+AB+BC+OC-2t=14-2t$,
$\therefore 14-2t=\dfrac{1}{2}t$,解得$t=\dfrac{28}{5}$,
$\therefore P_3O=14-2×\dfrac{28}{5}=\dfrac{14}{5}$,
$\therefore$点$P_3$的坐标为$(0,\dfrac{14}{5})$.
综上所述,点$P$运动$t$秒后,存在点$P$到$x$轴的距离为$\dfrac{1}{2}t$个单位长度的情况,点$P$的坐标为$(3,1)$或$(0,\dfrac{14}{5})$.

【分析】
(1) 利用绝对值和偶次方的非负性，两个非负数相加和为0时各自的值为0，即可求出a、b的取值，得到A、B的坐标；再结合BC平行于x轴、点C在y轴上的特征，推出C点坐标。
(2) 先根据运动速度和时间计算点P的总运动路程，对比OA+AB的总长度判断点P所处的线段，再计算得到P点坐标。
(3) 分三种情况讨论：点P在AB段、BC段、OC段运动，分别根据“点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$”列方程求解，结合对应阶段t的取值范围判断解是否符合要求，最终得到符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) $\because |a-3|+(b-4)^2=0$，且$|a-3|≥0$，$(b-4)^2≥0$，
$\therefore a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$，
$\therefore A(3,0)$，$B(3,4)$。
$\because BC// x$轴，$\therefore$点C与点B纵坐标相等，又点C在y轴上，横坐标为0，
$\therefore C(0,4)$。
(2) 点P的运动速度为每秒2个单位长度，运动4秒的总路程为$2×4=8$个单位长度，
$\because OA=3$，$AB=4$，$\therefore OA+AB=3+4=7＜8$，
$\therefore$点P运动4秒时在线段BC上，
$BP=8-7=1$，则点P的横坐标为$3-1=2$，纵坐标为4，
$\therefore$点P的坐标是$(2,4)$。
(3) 存在。如答图。

$\because t≠0$，分三种情况讨论：
① 当点P运动到AB上时，总路程满足$3＜2t≤3+4=7$，即$\frac{3}{2}＜t≤\frac{7}{2}$，
此时点P到x轴的距离为PA的长度，$PA=2t-OA=2t-3$，
由题意得$2t-3=\frac{1}{2}t$，解得$t=2$，符合取值范围，
此时$PA=2×2-3=1$，$\therefore$点$P_1$的坐标为$(3,1)$；
② 当点P运动到BC上时，总路程满足$7≤2t≤7+3=10$，即$\frac{7}{2}≤ t≤5$，
此时点P到x轴的距离恒为4，由题意得$\frac{1}{2}t=4$，解得$t=8$，
$\because 8＞5$，不符合该段t的取值范围，舍去；
③ 当点P运动到OC上时，总路程满足$10≤2t≤10+4=14$，即$5≤ t≤7$，
此时点P到x轴的距离为OP的长度，$OP=14-2t$，
由题意得$14-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合取值范围，
此时$OP=14-2×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$，$\therefore$点$P_3$的坐标为$(0,\frac{14}{5})$。
综上所述，存在符合条件的点P，坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$；
(2) $(2,4)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。

【知识点】
非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，动点分类讨论
【点评】
本题综合考查了非负数性质、平面直角坐标系点的特征以及动点问题的求解，解题关键是根据点的运动路径分段分析，结合不同阶段t的取值范围判断解的合理性，避免出现漏解或增解。
【难度系数】
0.6