9. 在平面直角坐标系中,已知点$M(-3,-2)$,$MN// y$轴,且$MN=2$,则点$N$的坐标是 （）

A.$(-3,0)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-3,0)$或$(-3,-4)$
D.$(-1,-2)$或$(-5,-2)$

9.C

【分析】
首先回忆平行于y轴的直线上的点的坐标规律：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此可以先确定点N的横坐标与点M相同。接下来，已知MN的长度为2，因为平行于y轴的两点间的距离等于纵坐标之差的绝对值，所以需要分点N在点M的上方、点N在点M的下方两种情况讨论，分别计算对应的纵坐标，即可得到点N的所有可能坐标。
【解析】
解：
∵ $MN// y$轴，点M的坐标为$(-3,-2)$
∴ 点N的横坐标与点M的横坐标相等，即点N的横坐标为$-3$，由此可排除横坐标不为$-3$的B、D选项。
又
∵ $MN=2$，分两种情况讨论：
① 当点N在点M的上方时，点N的纵坐标为$-2+2=0$，此时N点坐标为$(-3,0)$；
② 当点N在点M的下方时，点N的纵坐标为$-2-2=-4$，此时N点坐标为$(-3,-4)$。
综上，点N的坐标为$(-3,0)$或$(-3,-4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；两点间的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系中点的坐标规律的基础题型，解题关键是掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，做题时要注意分情况讨论，避免因遗漏其中一种位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.7

10.(2025·南通期末)在平面直角坐标系中,点$A(m,0),B(2m+3,0)$,点$C$在线段$AB$上(不包括端点),$CD⊥ x$轴,点$D(2m+1,m)$,$AB=2CD$,则$m$的值为 （）

A.$-1$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$2$或$4$

10.B

【分析】
解题时先利用x轴上两点的距离公式求出AB的长度，再根据CD垂直x轴的特点求出CD的长度，结合AB=2CD的等量关系列绝对值方程求解，最后根据点C在线段AB上（不含端点）的限制条件，对求得的解进行验证，排除不符合题意的解即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算AB的长度：
点$A(m,0)$、$B(2m+3,0)$都在x轴上，x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此：
$AB=|(2m+3)-m|=|m+3|$
2. 计算CD的长度：
因为$CD⊥x$轴，$D(2m+1,m)$，且C在x轴上，所以C点横坐标与D相同为$2m+1$，纵坐标为0，CD的长度为D点纵坐标的绝对值，因此：
$CD=|m|$
3. 根据$AB=2CD$列方程求解：
代入得$|m+3|=2|m|$，分情况解绝对值方程：
当$m≥0$时，方程为$m+3=2m$，解得$m=3$；
当$-3≤ m＜0$时，方程为$m+3=-2m$，解得$m=-1$；
当$m＜-3$时，方程为$-m-3=-2m$，解得$m=3$，不符合$m＜-3$的前提，舍去。
初步得到$m=3$或$m=-1$。
4. 验证点C的位置限制：
题中说明C在线段AB上且不包括端点，即C的横坐标需在A、B的横坐标之间：
当$m=-1$时，$A(-1,0)$，$B(1,0)$，C的横坐标为$2×(-1)+1=-1$，此时C与A重合，不符合要求，舍去；
当$m=3$时，$A(3,0)$，$B(9,0)$，C的横坐标为$2×3+1=7$，7在3和9之间，符合要求。
综上，$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
坐标轴上两点距离计算、绝对值方程求解、点与线段的位置判断
【点评】
本题是坐标系与方程结合的基础题，易错点是忽略题中“不包括端点”的限制条件，未对求解结果进行验证，导致错选。
【难度系数】
0.6

11. 如图，点 $ P(4m+7,2m+5) $ 在第一象限的角平分线上，点 $ A,B $ 分别在 $ x $ 轴正半轴和 $ y $ 轴正半轴上，$ ∠ BPA=90° $。
(1)求点 $ P $ 的坐标；
(2)若点 $ B $ 的坐标为 $ (0,2) $，求点 $ A $ 的坐标。

11.解:(1) $\because$ 点 $ P(4m+7,2m+5) $ 在第一象限的角平分线上，
$\therefore 4m+7=2m+5$,
$\therefore m=-1$,$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为$(3,3)$.
(2)如答图,过点 $ P $ 分别作 $ PD⊥ x $ 轴于点 $ D $,$PC⊥ y $ 轴于点 $ C $,

$\therefore PC=PD$,$∠ PCO=∠ PDO=∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ CPD=90°$,$\therefore ∠ CPB+∠ BPD=90°$.
$\because ∠ BPA=90°$,$\therefore ∠ BPD+∠ APD=90°$,
$\therefore ∠ APD=∠ CPB$. 又$\because CP=PD$,
$\therefore △ CPB≌△ DPA(\mathrm{ASA})$,$\therefore BC=DA$.
$\because B(0,2)$,$P(3,3)$,$\therefore OB=2$,$OC=3$,$\therefore BC=1=DA$,
$\therefore OA=1+3=4$,$\therefore$ 点 $ A $ 的坐标为$(4,0)$.

【分析】
(1) 求点P的坐标时，利用第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等的性质，列关于m的方程求解，再代入坐标表达式即可得到结果。
(2) 求点A的坐标时，先过点P向x轴、y轴作垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，再结合∠BPA=90°通过同角的余角相等推出对应角相等，证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等求出未知线段长度，进而得到点A的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点 $ P(4m+7,2m+5) $ 在第一象限的角平分线上，
$\therefore$ 第一象限角平分线上的点横纵坐标相等，即$4m+7=2m+5$,
解得$m=-1$,
代入坐标得横坐标为$4×(-1)+7=3$，纵坐标为$2×(-1)+5=3$，
$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为$(3,3)$.
(2) 如答图,过点 $ P $ 分别作 $ PD⊥ x $ 轴于点 $ D $,$PC⊥ y $ 轴于点 $ C $,

$\therefore PC=PD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）,$∠ PCO=∠ PDO=∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ CPD=90°$，即$∠ CPB+∠ BPD=90°$.
$\because ∠ BPA=90°$,
$\therefore ∠ BPD+∠ APD=90°$,
根据同角的余角相等可得$∠ APD=∠ CPB$.
在$△ CPB$和$△ DPA$中：
$\begin{cases}∠PCB=∠PDA=90° \\ CP=PD \\ ∠CPB=∠APD\end{cases}$
$\therefore △ CPB≌△ DPA(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BC=DA$.
$\because B(0,2)$,$P(3,3)$,
$\therefore OB=2$,$OC=OD=3$,
$\therefore BC=OC-OB=3-2=1$，即$DA=1$,
$\therefore OA=OD+DA=3+1=4$,
$\because$ 点A在x轴正半轴上，
$\therefore$ 点 $ A $ 的坐标为$(4,0)$.
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$；
(2) 点A的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$。

【知识点】
1. 角平分线的坐标特征
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础题型，解题核心是熟练运用角平分线的性质构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，属于常考的基础综合题。
【难度系数】
0.75

12. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知点 $ M $ 的坐标为 $ (2-t,2t) $,将点 $ M $ 到 $ x $ 轴的距离记为 $ d_1 $,到 $ y $ 轴的距离记为 $ d_2 $.
(1)若 $ t=3 $,则 $ d_1+d_2=\_\_\_\_\_\_ $;
(2)若 $ t＜0 $,$ d_1=d_2 $,求点 $ M $ 的坐标;
(3)若点 $ M $ 在第二象限,且 $ md_1 - 5d_2 = 10 $（$ m $ 为常数）,求 $ m $ 的值.

12.(1)7
(2)解:$\because t＜0$,$\therefore 2-t＞0$,$2t＜0$,
$\therefore d_1=|2t|=-2t$,$d_2=|2-t|=2-t$.
$\because d_1=d_2$,$\therefore -2t=2-t$,
$\therefore t=-2$,$\therefore 2-t=2-(-2)=4$,$2t=2×(-2)=-4$,
$\therefore$ 点 $ M $ 的坐标为$(4,-4)$.
(3)解:$\because$ 点 $ M $ 在第二象限,$\therefore 2-t＜0$,$2t＞0$,
$\therefore d_1=|2t|=2t$,$d_2=|2-t|=t-2$.
$\because md_1-5d_2=10$,$\therefore m×2t-5×(t-2)=10$,
解得 $ m=\frac{5}{2}$.

【分析】
（1）先将t=3代入点M的坐标表达式得到M的具体坐标，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，分别计算d₁、d₂后求和即可。
（2）已知t＜0，先判断点M的横坐标2-t、纵坐标2t的正负性，结合绝对值的性质用含t的式子表示d₁、d₂，再根据d₁=d₂列一元一次方程求解t，最后代入坐标表达式得到M的坐标。
（3）根据第二象限内点横坐标为负、纵坐标为正的特征，判断2-t和2t的正负，去绝对值后用含t的式子表示d₁、d₂，代入给定等式整理，结合t不为0的隐含条件消去t即可求出m的值。
【解析】
(1)当t=3时，2-t=2-3=-1，2t=2×3=6，即M点坐标为(-1,6)，
则d₁=|6|=6，d₂=|-1|=1，
∴d₁+d₂=6+1=7。
(2)
∵t＜0，
∴2-t＞0，2t＜0，
∴d₁=|2t|=-2t，d₂=|2-t|=2-t，
∵d₁=d₂，
∴-2t=2-t，
解得t=-2，
∴2-t=2-(-2)=4，2t=2×(-2)=-4，
∴点M的坐标为(4,-4)。
(3)
∵点M在第二象限，
∴2-t＜0，2t＞0，
∴d₁=|2t|=2t，d₂=|2-t|=t-2，
将d₁、d₂代入md₁ - 5d₂ = 10得：
$2mt - 5(t-2) = 10$，
整理得$(2m-5)t=0$，
∵点M在第二象限，2t＞0即t≠0，
∴2m-5=0，解得$m=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$7$；(2)$(4,-4)$；(3)$m=\frac{5}{2}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；象限内点的坐标特征；绝对值的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，解题关键是掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系、各象限内点的坐标符号特点，能够根据条件正确去绝对值列方程求解，第三问需注意挖掘t不为0的隐含条件完成消元。
【难度系数】
0.7

13.我们规定:若$a^2+b^2=nab$,就称$(a,b)$为“$n$倍理想坐标”.例如,因为$1^2+(-1)^2=(-2)×1×(-1)$,所以称$(1,-1)$为$-2$倍理想坐标;因为$1^2+2^2=2.5×1×2$,所以称$(1,2)$为$2.5$倍理想坐标.根据材料,解答下列问题:
(1)$(\sqrt{2},\sqrt{2})\_\_\_\_\_\_2$倍理想坐标(填“是”或“不是”);$(2,3)$是倍理想坐标.
(2)当$(a,b)$在坐标轴上时,若$(a,b)$为$n$倍理想坐标,求$(a,b)$,并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置.
(3)若$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),求$(a,b)$是几倍理想坐标.

13.(1)是 $\frac{13}{6}$
(2)解:当$(a,b)$在坐标轴上时,$a=0$ 或 $b=0$,$\therefore ab=0$,
$\because (a,b)$为 $n$ 倍理想坐标,$\therefore a^2+b^2=nab=0$,
$\therefore a=0$ 且 $b=0$,
$\therefore (a,b)$为$(0,0)$,它是平面直角坐标系中的原点.
(3)解:$\because (a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),
$\therefore a=\pm b≠0$.
分两种情况:
①当$(a,b)$是第一、三象限角平分线上的点(原点除外)时,$a=b$,
$\because a^2+b^2=2a^2=2a· a=2ab$,$\therefore (a,b)$是 2 倍理想坐标;
②当$(a,b)$是第二、四象限角平分线上的点(原点除外)时,$a=-b$,
$\because a^2+b^2=2a^2=2a· (-b)=-2ab$,
$\therefore (a,b)$是$-2$倍理想坐标.
综上所述,$(a,b)$是 2 倍或$-2$倍理想坐标.

【分析】
本题为新定义题型，核心是理解“n倍理想坐标”的判定规则：当a、b满足$a^2+b^2=nab$时，$(a,b)$就是n倍理想坐标，解题思路如下：
(1) 第一小问直接将对应坐标代入定义式，通过对比等号左右两边的数值判断是否符合定义；求$(2,3)$对应的n时，将a、b的值代入定义式解方程即可求出n。
(2) 第二小问先利用坐标轴上点的坐标特征：坐标轴上的点横坐标为0或纵坐标为0，可得$ab=0$，再代入定义式推导a、b的取值，即可确定点的位置。
(3) 第三小问先明确象限角平分线上（原点除外）的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，分两种情况代入定义式计算，即可求出对应的n值。
【解析】
(1) 对于$(\sqrt{2},\sqrt{2})$，计算左边：$a^2+b^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，右边：$2ab=2×\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$，左边=右边，因此$(\sqrt{2},\sqrt{2})$是2倍理想坐标。
对于$(2,3)$，代入定义式得$2^2+3^2=n×2×3$，即$4+9=6n$，解得$n=\frac{13}{6}$，因此$(2,3)$是$\frac{13}{6}$倍理想坐标。
(2) 当$(a,b)$在坐标轴上时，$a=0$或$b=0$，因此$ab=0$。
因为$(a,b)$为n倍理想坐标，所以$a^2+b^2=nab=0$，由此可得$a=0$且$b=0$，即$(a,b)$为$(0,0)$，它是平面直角坐标系的原点。
(3) 因为$(a,b)$是象限角平分线上的点（原点除外），所以$a=\pm b≠0$，分两种情况讨论：
①当$(a,b)$在第一、三象限角平分线上（原点除外）时，$a=b$，代入得$a^2+b^2=a^2+a^2=2a^2=2a· a=2ab$，因此对应n=2，即它是2倍理想坐标；
②当$(a,b)$在第二、四象限角平分线上（原点除外）时，$a=-b$，代入得$a^2+b^2=a^2+a^2=2a^2=2a·(-b)=-2ab$，因此对应n=-2，即它是-2倍理想坐标。
综上，$(a,b)$是2倍或-2倍理想坐标。
【答案】
(1) 是；$\frac{13}{6}$
(2) $(0,0)$，是平面直角坐标系的原点
(3) 2倍或-2倍
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的坐标特征，象限角平分线的点坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中特殊位置点的性质，解题关键是读懂新定义的运算规则，再结合不同位置点的坐标关系代入计算，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7