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18.如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,$△ ABC$ 的顶点都在方格纸格点上.将$△ ABC$向左平移2格,再向上平移4格.
(1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的$△ A'B'C'$；
(2)图中能使$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$的格点$P$的个数是________.(点$P$异于点$A$)
(1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的$△ A'B'C'$；
(2)图中能使$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$的格点$P$的个数是________.(点$P$异于点$A$)
答案
解:(1)将△ABC向左平移2格,再向上平移4格,画出平移后的△A'B'C',如图.
(2)如图,点P异于点A,则满足条件的点P的个数为4.
解析
【分析】
(1) 平移作图的核心是平移的性质：图形平移时所有顶点的平移方向和距离都一致。首先找到△ABC的三个顶点A、B、C，将三个顶点分别向左平移2格、再向上平移4格得到对应点A'、B'、C'，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的图形。
(2) 要使△PBC和△ABC面积相等，两个三角形有公共底边BC，根据三角形面积公式可知，只需两个三角形BC边上的高相等，即点P到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离。找到所有满足该距离条件的直线，数出直线上异于A的格点个数即可。
【解析】
(1) 作图步骤：① 按照平移规则，将点A、B、C分别向左移动2格，再向上移动4格，得到对应顶点A'、B'、C'；② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是平移后的图形，如图。
(2) 由于△ABC和△PBC同底BC，面积相等则高相等，即点P到BC的距离等于点A到BC的距离。过A作BC的平行线，同时在BC另一侧作到BC距离等于A到BC距离的平行线，两条直线上的格点都满足面积相等的条件，排除点A后可数出符合条件的格点共4个，如图。
【答案】
(1)将△ABC向左平移2格,再向上平移4格,画出平移后的△A'B'C',如图.
(2)如图,点P异于点A,则满足条件的点P的个数为4.
【知识点】
平移作图，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题结合方格纸考查平移操作和三角形等面积的判定，解题关键是熟练掌握平移的性质，理解同底等高的三角形面积相等的规律，数格点时要注意避免漏数、多数，同时注意排除点A本身。
【难度系数】
0.7
(1) 平移作图的核心是平移的性质：图形平移时所有顶点的平移方向和距离都一致。首先找到△ABC的三个顶点A、B、C，将三个顶点分别向左平移2格、再向上平移4格得到对应点A'、B'、C'，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的图形。
(2) 要使△PBC和△ABC面积相等，两个三角形有公共底边BC，根据三角形面积公式可知，只需两个三角形BC边上的高相等，即点P到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离。找到所有满足该距离条件的直线，数出直线上异于A的格点个数即可。
【解析】
(1) 作图步骤：① 按照平移规则，将点A、B、C分别向左移动2格，再向上移动4格，得到对应顶点A'、B'、C'；② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是平移后的图形，如图
。(2) 由于△ABC和△PBC同底BC，面积相等则高相等，即点P到BC的距离等于点A到BC的距离。过A作BC的平行线，同时在BC另一侧作到BC距离等于A到BC距离的平行线，两条直线上的格点都满足面积相等的条件，排除点A后可数出符合条件的格点共4个，如图
。【答案】
(1)将△ABC向左平移2格,再向上平移4格,画出平移后的△A'B'C',如图.
(2)如图,点P异于点A,则满足条件的点P的个数为4.
【知识点】
平移作图，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题结合方格纸考查平移操作和三角形等面积的判定，解题关键是熟练掌握平移的性质，理解同底等高的三角形面积相等的规律，数格点时要注意避免漏数、多数，同时注意排除点A本身。
【难度系数】
0.7
假期作业 9
年月日 星期
19. 对于平面直角坐标系中的任意一点 $ P(x,y) $，给出如下定义：点 $ P_1(x+1,2y-1) $ 为 $ P $ 的1号派生点，点 $ P_2(-y,-x) $ 为 $ P $ 的2号派生点，例如：$ P(2,3) $ 的1号派生点为 $ P_1(3,5) $，它的2号派生点为 $ P_2(-3,-2) $。
(1) 已知点 $ P(2,4) $，那么它的1号派生点为
(2) 若将点 $ P(x,y) $ 向上平移1个单位长度，分别直接写出 $ P_1,P_2 $ 的平移方向和距离；
(3) 已知点 $ P(-m,2m) $，连接它的1号派生点 $ P_1 $ 和2号派生点 $ P_2 $，若线段 $ P_1P_2 $ 平行于坐标轴，求 $ m $ 的值。
年月日 星期
19. 对于平面直角坐标系中的任意一点 $ P(x,y) $，给出如下定义：点 $ P_1(x+1,2y-1) $ 为 $ P $ 的1号派生点，点 $ P_2(-y,-x) $ 为 $ P $ 的2号派生点，例如：$ P(2,3) $ 的1号派生点为 $ P_1(3,5) $，它的2号派生点为 $ P_2(-3,-2) $。
(1) 已知点 $ P(2,4) $，那么它的1号派生点为
$P_1(3,7)$
，2号派生点为 $P_2(-4,-2)$
；(2) 若将点 $ P(x,y) $ 向上平移1个单位长度，分别直接写出 $ P_1,P_2 $ 的平移方向和距离；
(3) 已知点 $ P(-m,2m) $，连接它的1号派生点 $ P_1 $ 和2号派生点 $ P_2 $，若线段 $ P_1P_2 $ 平行于坐标轴，求 $ m $ 的值。
答案
解:(1)
∵P(2,4),
∴P₁(2+1,2×4-1),即P₁(3,7),P₂(-4,-2).故答案为P₁(3,7),P₂(-4,-2).
(2)
∵P(x,y),
∴P₁(x+1,2y-1),P₂(-y,-x).
将点P向上平移1个单位长度得到P'(x,y+1),
∴P'₁(x+1,2(y+1)-1),即P'₁(x+1,2y+1),P'₂(-y-1,-x),
(2y+1)-(2y-1)=2,(-y-1)-(-y)=-1,
∴P₁向上平移了2个单位长度,P₂向左平移了1个单位长度.
(3)
∵P(-m,2m),
∴P₁(-m+1,4m-1),P₂(-2m,m).
当P₁P₂//x轴时,4m-1=m,解得$ m=\frac{1}{3} $；
当P₁P₂//y轴时,-m+1=-2m,解得m=-1.
综上,m的值为$ \frac{1}{3} $或-1.
∵P(2,4),
∴P₁(2+1,2×4-1),即P₁(3,7),P₂(-4,-2).故答案为P₁(3,7),P₂(-4,-2).
(2)
∵P(x,y),
∴P₁(x+1,2y-1),P₂(-y,-x).
将点P向上平移1个单位长度得到P'(x,y+1),
∴P'₁(x+1,2(y+1)-1),即P'₁(x+1,2y+1),P'₂(-y-1,-x),
(2y+1)-(2y-1)=2,(-y-1)-(-y)=-1,
∴P₁向上平移了2个单位长度,P₂向左平移了1个单位长度.
(3)
∵P(-m,2m),
∴P₁(-m+1,4m-1),P₂(-2m,m).
当P₁P₂//x轴时,4m-1=m,解得$ m=\frac{1}{3} $；
当P₁P₂//y轴时,-m+1=-2m,解得m=-1.
综上,m的值为$ \frac{1}{3} $或-1.
解析
【分析】
本题围绕新定义的“派生点”展开，解题思路如下：
(1) 直接根据1号、2号派生点的定义，将P点的横纵坐标代入对应公式计算即可；
(2) 先写出点P向上平移1个单位后的坐标，再分别算出平移前后的两个派生点坐标，对比横、纵坐标的变化量即可得到平移的方向和距离：纵坐标增加为向上平移，减少为向下平移；横坐标增加为向右平移，减少为向左平移，变化量即为平移距离；
(3) 先写出P(-m,2m)对应的P₁、P₂的坐标，线段P₁P₂平行于坐标轴分两种情况：①平行于x轴时，两点纵坐标相等、横坐标不等；②平行于y轴时，两点横坐标相等、纵坐标不等，分别列方程求解即可，注意不要漏情况。
【解析】
(1) 已知点P(2,4)，根据派生点定义：
1号派生点$P_1$的横坐标为$2+1=3$，纵坐标为$2×4-1=7$，即$P_1(3,7)$；
2号派生点$P_2$的横坐标为$-4$，纵坐标为$-2$，即$P_2(-4,-2)$。
(2) 点$P(x,y)$向上平移1个单位长度后得到点$P'(x,y+1)$，
平移前的派生点：$P_1(x+1,2y-1)$，$P_2(-y,-x)$；
平移后的派生点：$P'_1(x+1,2(y+1)-1)=(x+1,2y+1)$，$P'_2(-(y+1),-x)=(-y-1,-x)$；
对比$P_1$和$P'_1$：横坐标不变，纵坐标增加了$(2y+1)-(2y-1)=2$，因此$P_1$向上平移了2个单位长度；
对比$P_2$和$P'_2$：纵坐标不变，横坐标减少了$(-y)-(-y-1)=1$，因此$P_2$向左平移了1个单位长度。
(3) 已知$P(-m,2m)$，则：
1号派生点$P_1$的横坐标为$-m+1$，纵坐标为$2×2m -1=4m-1$，即$P_1(-m+1,4m-1)$；
2号派生点$P_2$的横坐标为$-2m$，纵坐标为$-(-m)=m$，即$P_2(-2m,m)$；
分两种情况讨论：
① 当线段$P_1P_2$平行于x轴时，两点纵坐标相等，即$4m-1=m$，
解得$3m=1$，$m=\frac{1}{3}$，此时两点横坐标分别为$-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$、$-2×\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，横坐标不等，符合要求；
② 当线段$P_1P_2$平行于y轴时，两点横坐标相等，即$-m+1=-2m$，
解得$m=-1$，此时两点纵坐标分别为$4×(-1)-1=-5$、$-1$，纵坐标不等，符合要求；
综上，$m$的值为$\frac{1}{3}$或$-1$。
【答案】
(1) $(3,7)$；$(-4,-2)$
(2) $P_1$向上平移2个单位长度，$P_2$向左平移1个单位长度
(3) $m=\frac{1}{3}$或$m=-1$
【知识点】
新定义问题，坐标与平移，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题以“派生点”的新定义为载体，综合考查了坐标平移规律、平行于坐标轴的点的坐标性质，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，第三问需注意分两种情况讨论，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.65
本题围绕新定义的“派生点”展开，解题思路如下：
(1) 直接根据1号、2号派生点的定义，将P点的横纵坐标代入对应公式计算即可；
(2) 先写出点P向上平移1个单位后的坐标，再分别算出平移前后的两个派生点坐标，对比横、纵坐标的变化量即可得到平移的方向和距离：纵坐标增加为向上平移，减少为向下平移；横坐标增加为向右平移，减少为向左平移，变化量即为平移距离；
(3) 先写出P(-m,2m)对应的P₁、P₂的坐标，线段P₁P₂平行于坐标轴分两种情况：①平行于x轴时，两点纵坐标相等、横坐标不等；②平行于y轴时，两点横坐标相等、纵坐标不等，分别列方程求解即可，注意不要漏情况。
【解析】
(1) 已知点P(2,4)，根据派生点定义：
1号派生点$P_1$的横坐标为$2+1=3$，纵坐标为$2×4-1=7$，即$P_1(3,7)$；
2号派生点$P_2$的横坐标为$-4$，纵坐标为$-2$，即$P_2(-4,-2)$。
(2) 点$P(x,y)$向上平移1个单位长度后得到点$P'(x,y+1)$，
平移前的派生点：$P_1(x+1,2y-1)$，$P_2(-y,-x)$；
平移后的派生点：$P'_1(x+1,2(y+1)-1)=(x+1,2y+1)$，$P'_2(-(y+1),-x)=(-y-1,-x)$；
对比$P_1$和$P'_1$：横坐标不变，纵坐标增加了$(2y+1)-(2y-1)=2$，因此$P_1$向上平移了2个单位长度；
对比$P_2$和$P'_2$：纵坐标不变，横坐标减少了$(-y)-(-y-1)=1$，因此$P_2$向左平移了1个单位长度。
(3) 已知$P(-m,2m)$，则：
1号派生点$P_1$的横坐标为$-m+1$，纵坐标为$2×2m -1=4m-1$，即$P_1(-m+1,4m-1)$；
2号派生点$P_2$的横坐标为$-2m$，纵坐标为$-(-m)=m$，即$P_2(-2m,m)$；
分两种情况讨论：
① 当线段$P_1P_2$平行于x轴时，两点纵坐标相等，即$4m-1=m$，
解得$3m=1$，$m=\frac{1}{3}$，此时两点横坐标分别为$-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$、$-2×\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，横坐标不等，符合要求；
② 当线段$P_1P_2$平行于y轴时，两点横坐标相等，即$-m+1=-2m$，
解得$m=-1$，此时两点纵坐标分别为$4×(-1)-1=-5$、$-1$，纵坐标不等，符合要求；
综上，$m$的值为$\frac{1}{3}$或$-1$。
【答案】
(1) $(3,7)$；$(-4,-2)$
(2) $P_1$向上平移2个单位长度，$P_2$向左平移1个单位长度
(3) $m=\frac{1}{3}$或$m=-1$
【知识点】
新定义问题，坐标与平移，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题以“派生点”的新定义为载体，综合考查了坐标平移规律、平行于坐标轴的点的坐标性质，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，第三问需注意分两种情况讨论，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.65
