1.（教材练习变式）(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，下列条件不能说明$AD⊥ BC$的是 （）



A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$

1. B

【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，本题要求选出不能推出AD⊥BC的选项，解题需结合等腰三角形的性质逐一验证各选项：先回忆等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，再结合平角的定义分别判断每个选项的条件能否推导得到AD垂直BC即可。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为底边。
对选项A：∠ADB与∠ADC互为邻补角，即∠ADB+∠ADC=180°，若∠ADB=∠ADC，则可算出∠ADB=∠ADC=90°，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项B：由AB=AC可直接推出等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C，这是△ABC本身固有的性质，添加该条件无法得到AD与BC的位置关系，不能说明AD⊥BC，符合题意；
对选项C：若BD=CD，说明AD是等腰△ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项D：若AD平分∠BAC，说明AD是等腰△ABC顶角的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形等边对等角 2.等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题时需注意审题，明确要求选“不能说明”的选项，同时要区分等腰三角形的固有性质和额外添加的判定条件，熟练掌握三线合一的三种表述及互推关系是解题关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40°$.以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧,与$AB$交于点$D$,连接$CD$,则$∠ ACD$的度数为 （）

A.$12°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$

2. B 解析:$\because AB=AC,∠A=40°,\therefore ∠B=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$. 由作图可知,$BD=BC,\therefore ∠BCD=∠BDC=55°,\therefore ∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°$,即$∠ACD$的度数为$15°$.

【分析】
解题时首先观察已知条件，△ABC是AB=AC的等腰三角形，已知顶角∠A的度数，第一步可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理算出两个底角∠ABC和∠ACB的度数；再根据作图描述“以B为圆心、BC长为半径画弧交AB于D”，可得到BD=BC，即△BCD也是等腰三角形，已知它的顶角∠ABC的度数，再次用等腰三角形性质即可算出底角∠BCD的度数；最后所求∠ACD是∠ACB与∠BCD的差，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠A=40°$，
∴ $∠B=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
由作图可知$BD=BC$，
∴ $∠BCD=∠BDC=\frac{1}{2}×(180°-∠B)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$，
∴ $∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°$。
【答案】B
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是从作图条件中提取出相等的线段，再结合已知角度逐步推导所求角的度数，属于等腰三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8

3. (1)若等腰三角形的一个内角为$100°$,则这个等腰三角形的底角为.

3. (1)$40°$

【分析】
解题时结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理思考：首先回忆等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的核心性质；其次判断已知100°内角的类型，由于底角如果为100°，两个底角之和会超过180°，不符合内角和要求，因此100°只能是顶角；最后根据性质计算底角度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 假设100°的角为等腰三角形的底角，
则两个底角的和为$100° + 100° = 200° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立；
② 假设100°的角为等腰三角形的顶角，
因为等腰三角形的两个底角相等，
所以底角的度数为$(180° - 100°) ÷ 2 = 40°$。
综上，这个等腰三角形的底角为$40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题，解题的核心是先根据三角形内角和的限制判断已知钝角只能为顶角，避免未经分类讨论直接计算出现错误。
【难度系数】
0.8

(2)若等腰三角形的一个内角为$50°$,则这个等腰三角形的底角为.

(2)$50°$或$65°$

【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目只给出一个内角为50°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①当50°角为底角时，可直接得到底角度数；②当50°角为顶角时，结合内角和定理计算底角度数。最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求，排除错误结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若50°的内角是等腰三角形的底角，则底角直接为50°，此时顶角为$180°-50°×2=80°$，符合三角形内角和定理；
2. 若50°的内角是等腰三角形的顶角，则底角的度数为$(180°-50°)÷2=65°$，此时两个底角均为65°，也符合三角形内角和定理。
综上，这个等腰三角形的底角为$50°$或$65°$。
【答案】
$50°$或$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，易错点是忽略已知内角的类型，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯，得出结果后可结合三角形内角和验证是否成立。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$AB$交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$，$∠ B=30°$，$∠ ACE=50°$，则$∠ EAC$的度数为________.

4. $70°$

【分析】
解题时首先根据已知的DE是AB的垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质，得到EA=EB，再利用等边对等角求出∠EAB的度数；接着结合三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的总度数，最后通过角的和差关系即可求出∠EAC的度数。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠EAB=∠B=30°（等边对等角），
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB，
∵E在BC上，
∴∠ACB=∠ACE=50°，
代入得∠BAC=180°-30°-50°=100°，
∴∠EAC=∠BAC-∠EAB=100°-30°=70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，侧重考查核心性质的直接应用，只要熟练掌握相关几何定理，通过简单的角的运算就能得出结果。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,D、E为边BC上的两点,$AB=AC,AD=AE$.求证:$BD=CE$.

5. 证明:如图,过点A作$AF⊥BC$,垂足为F.$\because AB=AC$,$AF⊥BC$,$\therefore BF=CF$.$\because AD=AE$,$AF⊥BC$,$\therefore DF=EF$,$\therefore BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$.

【分析】
要证明BD=CE，观察题目条件可知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且二者共顶点A，底边都在直线BC上。结合等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过点A作BC边上的高AF，此时AF同时是两个等腰三角形底边上的中线，可分别得到BF=CF、DF=EF，再对两组相等线段作差，即可推导出BD=CE。
【解析】
证明：过点A作$AF⊥BC$，垂足为F。
∵ $AB=AC$，$AF⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BF=CF$。
∵ $AD=AE$，$AF⊥BC$，同理可得$DF=EF$。
根据等式的性质，将两式相减可得：$BF-DF=CF-EF$，即$BD=CE$。
【答案】
证明:如图,过点A作$AF⊥BC$,垂足为F.$\because AB=AC$,$AF⊥BC$,$\therefore BF=CF$.$\because AD=AE$,$AF⊥BC$,$\therefore DF=EF$,$\therefore BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$.

【知识点】
等腰三角形三线合一；线段和差运算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是结合等腰三角形的特征作出底边上的高作为辅助线，利用三线合一得到线段等量关系，再通过简单的线段差运算完成证明，能够帮助学生巩固等腰三角形的核心性质。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线$EF$交$BC$于点$E$,交$AB$于点$F$,$D$为线段$CE$的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD⊥ BC$.
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.

6. (1)证明:如图,连接AE.$\because EF$垂直平分AB,$\therefore AE=BE$.
$\because BE=AC$,$\therefore AE=AC$.$\because D$是EC的中点,$\therefore AD⊥BC$.
(2)设$∠B=x°$.$\because AE=BE$,$\therefore ∠BAE=∠B=x°$,由三角形的外角的性质,得$∠AEC=2x°$.$\because AE=AC$,$\therefore ∠C=∠AEC=2x°$.在$△ABC$中,$3x+75=180$,解得$x=35$,$\therefore ∠B=35°$.

【分析】
(1) 要证$AD⊥BC$，已知$D$是$CE$中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$△ AEC$是等腰三角形即可。首先观察到$EF$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接辅助线$AE$可得$AE=BE$，结合已知$BE=AC$，即可推出$AE=AC$，得到等腰$△ AEC$，再利用三线合一即可完成证明。
(2) 求$∠ B$的度数时，可设$∠ B$为未知数，利用等腰三角形等边对等角的性质，将$△ ABC$的其余内角用含未知数的式子表示，再结合三角形内角和为$180°$列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$AE$。
$\because EF$垂直平分$AB$，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，$\therefore AE=BE$。
$\because BE=AC$，$\therefore AE=AC$，即$△ AEC$为等腰三角形。
$\because D$是$EC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AD⊥BC$。
(2) 解：设$∠ B=x°$。
$\because AE=BE$，$\therefore ∠ BAE=∠ B=x°$。
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ AEC=∠ BAE+∠ B=2x°$。
$\because AE=AC$，$\therefore ∠ C=∠ AEC=2x°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，即$x+2x+75=180$，
解得$x=35$，$\therefore ∠ B=35°$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD⊥BC$；
(2) $∠ B=35°$。

【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是合理添加辅助线构造等腰三角形，既考查了对基础几何性质的掌握，也引导学生学会用方程思想解决几何角度计算问题。
【难度系数】
0.7