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5. 如图，P是∠ABC的平分线与∠DEC的平分线的交点，求证：点P在∠ADE的平分线上.
答案
证明:如图,过点 P 分别作 PF⊥AB 于点 F,PH⊥BC 于点 H,PG⊥DE 于点 G.
∵P 是∠ABC 的平分线与∠DEC 的平分线的交点,
∴PF=PH,PH=PG,
∴PF=PG=PH,
∴点 P 在∠ADE 的平分线上.
解析
【分析】
要证明点P在∠ADE的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到∠ADE的两边AD、DE的距离相等即可。结合已知条件，P是两个角平分线的交点，我们可以过P向相关角的两边作垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，再通过等量代换得到P到AD、DE的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点P分别作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥DE于点G。
∵BP是∠ABC的平分线，点P在BP上，PF⊥AB，PH⊥BC，根据角平分线的性质可得PF=PH。
又
∵EP是∠DEC的平分线，点P在EP上，PH⊥BC，PG⊥DE，根据角平分线的性质可得PH=PG。
∴PF=PG，即点P到∠ADE的两边AD、DE的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可得点P在∠ADE的平分线上。
【答案】
证明:如图,过点 P 分别作 PF⊥AB 于点 F,PH⊥BC 于点 H,PG⊥DE 于点 G.
∵P 是∠ABC 的平分线与∠DEC 的平分线的交点,
∴PF=PH,PH=PG,
∴PF=PG=PH,
∴点 P 在∠ADE 的平分线上.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，核心是对角平分线的性质和判定定理的灵活运用，解题的关键是合理作出三条垂线段作为辅助线，通过等量代换得到待证角两边的垂线段相等，熟练掌握相关定理就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要证明点P在∠ADE的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到∠ADE的两边AD、DE的距离相等即可。结合已知条件，P是两个角平分线的交点，我们可以过P向相关角的两边作垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，再通过等量代换得到P到AD、DE的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点P分别作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥DE于点G。
∵BP是∠ABC的平分线，点P在BP上，PF⊥AB，PH⊥BC，根据角平分线的性质可得PF=PH。
又
∵EP是∠DEC的平分线，点P在EP上，PH⊥BC，PG⊥DE，根据角平分线的性质可得PH=PG。
∴PF=PG，即点P到∠ADE的两边AD、DE的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可得点P在∠ADE的平分线上。
【答案】
证明:如图,过点 P 分别作 PF⊥AB 于点 F,PH⊥BC 于点 H,PG⊥DE 于点 G.
∵P 是∠ABC 的平分线与∠DEC 的平分线的交点,
∴PF=PH,PH=PG,
∴PF=PG=PH,
∴点 P 在∠ADE 的平分线上.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，核心是对角平分线的性质和判定定理的灵活运用，解题的关键是合理作出三条垂线段作为辅助线，通过等量代换得到待证角两边的垂线段相等，熟练掌握相关定理就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$AD⊥ DC$，$BC⊥ DC$，$E$是$DC$上的一点，$AE$平分$∠ DAB$。
(1)如果$BE$平分$∠ ABC$，求证：$E$是$DC$的中点。
(2)如果$E$是$DC$的中点，求证：$BE$平分$∠ ABC$。
(1)如果$BE$平分$∠ ABC$，求证：$E$是$DC$的中点。
(2)如果$E$是$DC$的中点，求证：$BE$平分$∠ ABC$。
答案
(1)证明:如图,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F.
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC,
∴DE=EF,CE=EF,
∴CE=DE,
∴E 是 DC 的中点.
(2)
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,
∴DE=EF.
∵E 是 DC 的中点,
∴CE=DE,
∴CE=EF. 又
∵EF⊥AB,BC⊥CD,
∴BE 平分∠ABC.
解析
【分析】
看到题目中有角平分线、垂直的条件，首先联想到角平分线的性质与判定定理，解题的核心是构造辅助线：过E作EF⊥AB于F。
(1) 要证E是DC中点，即证DE=CE。利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，由AE平分∠DAB可得DE=EF，由BE平分∠ABC可得CE=EF，等量代换即可得到DE=CE。
(2) 要证BE平分∠ABC，需证点E到∠ABC两边的距离相等，即CE=EF。先由AE平分∠DAB得DE=EF，再结合E是DC中点得DE=CE，等量代换得CE=EF，最后根据角平分线的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：过点E作EF⊥AB于点F。
已知AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=EF，CE=EF，因此CE=DE，即E是DC的中点。
(2) 证明：过点E作EF⊥AB于点F。
已知AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，根据角平分线的性质得DE=EF。
因为E是DC的中点，所以CE=DE，因此CE=EF。
又因为EF⊥AB，BC⊥CD，根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得BE平分∠ABC。
【答案】
(1)证明:如图,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F.
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC,
∴DE=EF,CE=EF,
∴CE=DE,
∴E 是 DC 的中点.
(2)
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,
∴DE=EF.
∵E 是 DC 的中点,
∴CE=DE,
∴CE=EF. 又
∵EF⊥AB,BC⊥CD,
∴BE 平分∠ABC.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，解题的关键是正确作出垂线段类辅助线，要注意区分角平分线性质和判定的适用场景：性质是由角平分线推导距离相等，判定是由距离相等推导角平分线，二者不能混淆。
【难度系数】
0.7
看到题目中有角平分线、垂直的条件，首先联想到角平分线的性质与判定定理，解题的核心是构造辅助线：过E作EF⊥AB于F。
(1) 要证E是DC中点，即证DE=CE。利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，由AE平分∠DAB可得DE=EF，由BE平分∠ABC可得CE=EF，等量代换即可得到DE=CE。
(2) 要证BE平分∠ABC，需证点E到∠ABC两边的距离相等，即CE=EF。先由AE平分∠DAB得DE=EF，再结合E是DC中点得DE=CE，等量代换得CE=EF，最后根据角平分线的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：过点E作EF⊥AB于点F。
已知AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=EF，CE=EF，因此CE=DE，即E是DC的中点。
(2) 证明：过点E作EF⊥AB于点F。
已知AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，根据角平分线的性质得DE=EF。
因为E是DC的中点，所以CE=DE，因此CE=EF。
又因为EF⊥AB，BC⊥CD，根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得BE平分∠ABC。
【答案】
(1)证明:如图,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F.
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC,
∴DE=EF,CE=EF,
∴CE=DE,
∴E 是 DC 的中点.
(2)
∵AD⊥DC,BC⊥DC,AE 平分∠DAB,
∴DE=EF.
∵E 是 DC 的中点,
∴CE=DE,
∴CE=EF. 又
∵EF⊥AB,BC⊥CD,
∴BE 平分∠ABC.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，解题的关键是正确作出垂线段类辅助线，要注意区分角平分线性质和判定的适用场景：性质是由角平分线推导距离相等，判定是由距离相等推导角平分线，二者不能混淆。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在四边形 ABCD 中,OA、OB、OC、OD 分别是$∠A$、$∠B$、$∠C$、$∠D$的平分线.求证:
$AB+CD=AD+BC$.
$AB+CD=AD+BC$.
答案
证明:如图,过点 O 分别作 OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD,则∠AEO=∠AHO=90°.
∵OA 平分∠BAD,
∴∠OAE=∠OAH. 在△OAE 和△OAH 中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OAH,\\ ∠OEA=∠OHA,\\ OA=OA,\end{cases}$
∴△OAE≌△OAH(AAS),
∴AE=AH. 同理可得 BE=BF,CF=CG,DG=DH,
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH,即 AB+CD=AD+BC.
解析
【分析】
要证明线段和相等的结论$AB+CD=AD+BC$，可采用拆分长线段的思路：将四边形的4条边分别拆分为两段，只要证明拆分后左侧两组线段的和等于右侧两组线段的和即可。结合题目中OA、OB、OC、OD都是角平分线的条件，可过交点O向四边形的四条边作垂线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明拆分出的小线段对应相等，最后通过等量代换得到结论。
【解析】
过点O分别作$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，$OG⊥CD$，$OH⊥AD$，则$∠AEO=∠AHO=90°$。
∵OA平分$∠BAD$，
∴$∠OAE=∠OAH$。
在$△ OAE$和$△ OAH$中，
$\begin{cases}∠OAE=∠OAH,\\∠OEA=∠OHA,\\OA=OA,\end{cases}$
∴$△ OAE≌△ OAH(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=AH$。
同理可得$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
∴$AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH$，即$AB+CD=AD+BC$。
【答案】
过点O分别作$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，$OG⊥CD$，$OH⊥AD$，则$∠AEO=∠AHO=90°$。
∵OA平分$∠BAD$，
∴$∠OAE=∠OAH$。
在$△ OAE$和$△ OAH$中，
$\begin{cases}∠OAE=∠OAH,\\∠OEA=∠OHA,\\OA=OA,\end{cases}$
∴$△ OAE≌△ OAH(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=AH$。
同理可得$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
∴$AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH$，即$AB+CD=AD+BC$。
【知识点】
角平分线的定义，AAS证全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题关键是通过作四边的垂线构造全等三角形，将长线段拆分为多组相等的短线段，再利用等量代换推出结论，能够有效考查辅助线构造能力和等量代换思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明线段和相等的结论$AB+CD=AD+BC$，可采用拆分长线段的思路：将四边形的4条边分别拆分为两段，只要证明拆分后左侧两组线段的和等于右侧两组线段的和即可。结合题目中OA、OB、OC、OD都是角平分线的条件，可过交点O向四边形的四条边作垂线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明拆分出的小线段对应相等，最后通过等量代换得到结论。
【解析】
过点O分别作$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，$OG⊥CD$，$OH⊥AD$，则$∠AEO=∠AHO=90°$。
∵OA平分$∠BAD$，
∴$∠OAE=∠OAH$。
在$△ OAE$和$△ OAH$中，
$\begin{cases}∠OAE=∠OAH,\\∠OEA=∠OHA,\\OA=OA,\end{cases}$
∴$△ OAE≌△ OAH(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=AH$。
同理可得$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
∴$AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH$，即$AB+CD=AD+BC$。
【答案】
过点O分别作$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，$OG⊥CD$，$OH⊥AD$，则$∠AEO=∠AHO=90°$。
∵OA平分$∠BAD$，
∴$∠OAE=∠OAH$。
在$△ OAE$和$△ OAH$中，
$\begin{cases}∠OAE=∠OAH,\\∠OEA=∠OHA,\\OA=OA,\end{cases}$
∴$△ OAE≌△ OAH(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=AH$。
同理可得$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
∴$AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH$，即$AB+CD=AD+BC$。
【知识点】
角平分线的定义，AAS证全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题关键是通过作四边的垂线构造全等三角形，将长线段拆分为多组相等的短线段，再利用等量代换推出结论，能够有效考查辅助线构造能力和等量代换思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$,垂足为$F$,且$∠ AEF=50°$,连接$DE$.
(1)求证:$DE$平分$∠ ADC$.
(2)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
(1)求证:$DE$平分$∠ ADC$.
(2)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
答案
(1)证明:如图,过点 E 分别作 EG⊥AD 于点 G,EH⊥BC 于点 H.
∵EF⊥AB,∠AEF=50°,
∴∠FAE=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,
∴∠CAD=180°-100°-40°=40°,
∴∠FAE=∠CAD=40°,即 AC 为∠DAF 的平分线. 又
∵EF⊥AB,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE 是∠ABC 的平分线,
∴EF=EH,
∴EG=EH,
∴点 E 在∠ADC 的平分线上,
∴DE 平分∠ADC.
(2)设 EG=x,由(1)得,EF=EH=EG=x.
∵S△ACD=15,AD=4,CD=8,
∴$\frac{1}{2}AD·EG + \frac{1}{2}CD·EH =15$,即 4x+8x=30,解得 x=$\frac{5}{2}$,
∴EF=$\frac{5}{2}$,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.
解析
【分析】
(1)要证DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等即可。先过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，结合已知EF⊥AB，先利用直角三角形两锐角互余求出∠FAE的度数，再结合∠BAD的度数推出AC是∠DAF的平分线，根据角平分线的性质得EF=EG；再由BE是∠ABC的平分线，得EF=EH，等量代换得EG=EH，即可证得结论。
(2)要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需先求出AB边上的高EF的长度。由(1)可知EF=EG=EH，将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积之和，两个三角形的高分别为EG、EH，底分别为AD、CD，结合已知的△ACD的面积列方程求解，即可得到EF的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：过点E分别作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H。
∵EF⊥AB，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°。
∵∠BAD=100°，∠BAD+∠FAE+∠CAD=180°，
∴∠CAD=180°-100°-40°=40°，
∴∠FAE=∠CAD=40°，即AC平分∠DAF。
又
∵EF⊥AB，EG⊥AD，
∴根据角平分线的性质，得EF=EG。
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴根据角平分线的性质，得EF=EH，
∴EG=EH。
又
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴根据角平分线的判定，点E在∠ADC的平分线上，即DE平分∠ADC。
(2)解：设EG=x，由(1)的结论可知EF=EH=EG=x。
∵$S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$，AD=4，CD=8，
∴$\frac{1}{2}·AD·EG + \frac{1}{2}·CD·EH = 15$，
代入得$\frac{1}{2}×4x + \frac{1}{2}×8x = 15$，
化简得$2x+4x=15$，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴$EF=\frac{5}{2}$。
∵AB=7，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}·AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$。
【答案】
(1)DE平分∠ADC，证明成立；
(2)$△ ABE$的面积为$\boxed{\frac{35}{4}}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形面积计算；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造角平分线对应的距离，利用角平分线的性质实现线段等量代换；第二问通过分割法表示三角形面积，结合方程思想求解高，能很好地锻炼几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等即可。先过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，结合已知EF⊥AB，先利用直角三角形两锐角互余求出∠FAE的度数，再结合∠BAD的度数推出AC是∠DAF的平分线，根据角平分线的性质得EF=EG；再由BE是∠ABC的平分线，得EF=EH，等量代换得EG=EH，即可证得结论。
(2)要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需先求出AB边上的高EF的长度。由(1)可知EF=EG=EH，将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积之和，两个三角形的高分别为EG、EH，底分别为AD、CD，结合已知的△ACD的面积列方程求解，即可得到EF的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：过点E分别作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H。
∵EF⊥AB，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°。
∵∠BAD=100°，∠BAD+∠FAE+∠CAD=180°，
∴∠CAD=180°-100°-40°=40°，
∴∠FAE=∠CAD=40°，即AC平分∠DAF。
又
∵EF⊥AB，EG⊥AD，
∴根据角平分线的性质，得EF=EG。
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴根据角平分线的性质，得EF=EH，
∴EG=EH。
又
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴根据角平分线的判定，点E在∠ADC的平分线上，即DE平分∠ADC。
(2)解：设EG=x，由(1)的结论可知EF=EH=EG=x。
∵$S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$，AD=4，CD=8，
∴$\frac{1}{2}·AD·EG + \frac{1}{2}·CD·EH = 15$，
代入得$\frac{1}{2}×4x + \frac{1}{2}×8x = 15$，
化简得$2x+4x=15$，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴$EF=\frac{5}{2}$。
∵AB=7，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}·AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$。
【答案】
(1)DE平分∠ADC，证明成立；
(2)$△ ABE$的面积为$\boxed{\frac{35}{4}}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形面积计算；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造角平分线对应的距离，利用角平分线的性质实现线段等量代换；第二问通过分割法表示三角形面积，结合方程思想求解高，能很好地锻炼几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
