7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD=AC$,$DE ⊥ AB$交$BC$于点$E$.若$∠ B=28°$,则$∠ AEC$的度数为 （）



A.$28°$
B.$59°$
C.$60°$
D.$62°$

7. B 解析:$∵∠C=90°,∠B=28°,∴∠CAB=62°.∵DE⊥AB,∴∠C=∠ADE=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ACE$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases}AE=AE,\\AC=AD,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ACE≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}),∴∠CAE=∠DAE=\frac{1}{2}∠CAB=31°,∴∠AEC=59°.$

【分析】
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出△ABC中∠CAB的度数；再结合已知条件AC=AD、公共边AE，以及∠C和∠ADE均为直角，可证明Rt△ACE和Rt△ADE全等；由全等性质可得AE平分∠CAB，求出∠CAE的度数后，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，就能算出∠AEC的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=180°-90°-28°=62°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在$\mathrm{Rt}△ACE$和$\mathrm{Rt}△ADE$中：
$\begin{cases}AE=AE\\AC=AD\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACE≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$∠CAE=∠DAE=\frac{1}{2}∠CAB=\frac{1}{2}×62°=31°$，
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$∠AEC=90°-∠CAE=90°-31°=59°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形全等判定的常规应用题目，解题关键是结合已知条件找到全等的直角三角形，借助全等性质得到角的数量关系后求解角度，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,已知$CD⊥AB,BE⊥AC$,垂足分别为 D、E,BE、CD 相交于点 O.若$AB=AC$,则图中全等的直角三角形的对数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

8. C 解析:$∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ADC=∠AEB=90°$. 在$△ADC$和$△AEB$中,$\begin{cases}∠ADC=∠AEB,\\∠DAC=∠EAB,\\AC=AB,\end{cases}∴△ADC≌△AEB(\mathrm{AAS}),∴AD=AE,∠C=∠B,∴AB-AD=AC-AE$,即$BD=CE$.
在$△BOD$和$△COE$中,$\begin{cases}∠B=∠C,\\∠BOD=∠COE,\\BD=CE,\end{cases}∴△BOD≌△COE(\mathrm{AAS}),∴OD=OE$. 在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中,$\begin{cases}OA=OA,\\OD=OE,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL})$. 综上所述,共有3对全等直角三角形.

【分析】
解题时首先先找出图中所有的直角三角形，再结合已知条件逐步推导全等关系：第一步，已知CD⊥AB、BE⊥AC可得两个直角相等，加上公共角∠A、已知AB=AC，可先证最大的两个直角三角形全等；第二步，利用第一对全等得到的对应边相等、对应角相等，推导得到BD=CE，结合对顶角相等可证交点O处的两个小直角三角形全等；第三步，利用第二对全等得到的边相等，结合公共斜边OA，用HL判定剩余的两个直角三角形全等，最后统计全等对数即可。
【解析】
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°。
在△ADC和△AEB中，
$\begin{cases}∠ADC=∠AEB,\\∠DAC=∠EAB,\\AC=AB,\end{cases}$
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD=AE，∠C=∠B，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。
在△BOD和△COE中，
$\begin{cases}∠B=∠C,\\∠BOD=∠COE,\\BD=CE,\end{cases}$
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD=OE。
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\begin{cases}OA=OA,\\OD=OE,\end{cases}$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）。
综上所述，共有3对全等直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题时需要循序渐进，利用前一组全等得到的边角相等结论作为后一组全等的判定条件，易错点是容易漏数全等的对数，要逐一验证所有直角三角形的关系。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,$P$、$Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP=$时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.

9. 5或10 解析:$∵∠C=90°,AO⊥AC,∴∠C=∠PAQ=90°$. 又$∵AB=PQ,∴$①若$AP=BC=5$,则$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△QPA$;②若$AP=AC=10$,则$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△PQA$. 综上所述,当$AP=5$或10时,$△ABC$和$△PQA$全等.

【分析】
首先判断两个三角形的形状：△ABC中∠C=90°，AO垂直AC，所以△PQA的∠PAQ也为90°，二者都是直角三角形。已知斜边PQ=AB，根据直角三角形全等的HL判定规则，只需再有一组直角边对应相等即可判定全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分类讨论两种对应情况，分别计算AP的长度，避免漏解。
【解析】
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△PQA均为直角三角形。
又
∵AB=PQ，分两种情况讨论：
①若AP=BC=5，在Rt△ABC和Rt△QPA中：
$\{\begin{array}{l}AB=QP\\ BC=PA\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②若AP=AC=10，在Rt△ABC和Rt△PQA中：
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ AC=PA\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）。
综上，当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等。
【答案】
5或10
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题核心是注意无明确对应顶点的全等问题需分类梳理对应关系，避免忽略其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7

10. 如图，AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，$BD=CD$。
(1)求证:$BE=CF$。
(2)若$AC=15$，$AB=10$，求$BE$的长。

10. (1)证明:$∵AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△BED$和$\mathrm{Rt}△CFD$中,$\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△BED≌\mathrm{Rt}△CFD(\mathrm{HL}),∴BE=CF.$
(2)$∵AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF$. 在$\mathrm{Rt}△AED$和$\mathrm{Rt}△AFD$中,$\begin{cases}AD=AD,\\DE=DF,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AFD(\mathrm{HL}),∴AE=AF,∴AB+BE=AC-CF.∵AC=15,AB=10,BE=CF,∴10+BE=15-BE,∴BE=2.5.$

【分析】
（1）要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导。首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DF$，结合已知$BD=CD$，且$△ BED$和$△ CFD$均为直角三角形，即可用HL定理证明两三角形全等，从而得到$BE=CF$。
（2）要求$BE$的长，先通过HL证明$\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AFD$，得到$AE=AF$，再将$AE$拆为$AB+BE$，$AF$拆为$AC-CF$，结合（1）中$BE=CF$的结论，代入已知$AC$、$AB$的长度列方程即可求解$BE$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ E=∠ DFC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△BED$和$\mathrm{Rt}△CFD$中，
$\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BED≌\mathrm{Rt}△CFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=CF$。
(2) 解：$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△AED$和$\mathrm{Rt}△AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=AF$，
即$AB+BE=AC-CF$。
$\because AC=15$，$AB=10$，且由(1)知$BE=CF$，
$\therefore 10+BE=15-BE$，
解得$BE=2.5$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=CF$；
(2) $BE=2.5$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题核心考查角平分线性质、直角三角形全等的判定与性质的综合应用，解题的关键是合理利用全等三角形实现线段的等量转化，第二问通过列方程求解线段长度的方法是几何中求线段长的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$DE$是过点$A$的直线,$BD⊥ DE$于点$D$,$CE⊥ DE$于点$E$.
(1)若点$B$、$C$在直线$DE$的同侧(如图1),且$AD=CE$.
①求证:$AB⊥ AC$;
②求证:$DE=CE+BD$.
(2)若点$B$、$C$在直线$DE$的两侧(如图2),且$AD=CE$,其他条件不变,$AB$与$AC$垂直吗?
若垂直,给出证明;若不垂直,请说明理由.

11. (1)证明: ①$∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CAE$中,$\begin{cases}AB=CA,\\AD=CE,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CAE(\mathrm{HL}),∴∠ABD=∠CAE,AE=BD.∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠BAC = 180°-(∠BAD +∠CAE)=180°-90°=90°,∴AB⊥AC.$
②$∵AD=CE,AE=BD,∴DE=AD+AE=CE+BD.$
(2)$AB⊥AC$. 证明如下:同理(1)可得,$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CAE,∴∠DAB=∠ECA.∵CE⊥DE,∴∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠DAB=90°$,即$∠BAC=90°,∴AB⊥AC.$

【分析】
要解决本题，首先从已知条件入手：题目给出两个直角三角形，且斜边AB=AC、直角边AD=CE，首先考虑用HL判定两个直角三角形全等，再利用全等的性质推导角和边的关系。①要证AB⊥AC，即证∠BAC=90°，可通过全等得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，推导∠BAD与∠CAE的和为90°即可；②要证DE=CE+BD，可将DE拆分为AD+AE，结合全等对应边相等，把AD、AE替换为CE、BD即可；第(2)问点在DE两侧时，解题思路和同侧一致，先证全等再做角的等量代换即可证明垂直。
【解析】
(1)①证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CAE$中，$\begin{cases}AB=CA,\\AD=CE,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CAE(\mathrm{HL})$，
∴∠ABD=∠CAE。
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴$∠ BAC = 180°-(∠ BAD +∠ CAE)=180°-90°=90°$，
∴AB⊥AC。
②证明：
由①的全等结论可得$AE=BD$，
又已知$AD=CE$，
∴$DE=AD+AE=CE+BD$。
(2)$AB⊥AC$，证明如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CAE$中，$\begin{cases}AB=CA,\\AD=CE,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CAE(\mathrm{HL})$，
∴∠DAB=∠ECA。
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠DAB=90°，即$∠ BAC=90°$，
∴AB⊥AC。
【答案】
(1)①$AB⊥ AC$得证；②$DE=CE+BD$得证；(2)$AB⊥ AC$，证明见解析。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础综合题，核心解题思路是通过HL证明三角形全等，再利用全等的性质实现边角的等量代换，两种位置下的证明逻辑一致，需要学生熟练掌握全等判定定理和性质，学会结合图形分析边角的数量关系。
【难度系数】
0.7