1. 如图，AC与BD交于点E，且$AC=DB$，$AB=DC$。求证：$∠ A=∠ D$。

1. 证明：如图，连接BC. 在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=DC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠A=∠D.

【分析】
要证明∠A=∠D，通常可通过证明两角所在的三角形全等来实现。题目已知两组对应边相等：AB=DC、AC=DB，观察图形特征，连接公共边BC，即可得到△ABC和△DCB的三组对应边全部相等，进而利用SSS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等的性质即可得证。
【解析】
证明：如图，连接BC。
在△ABC和△DCB中：
$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=DC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D。
【答案】
证明：如图，连接BC. 在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=DC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠A=∠D.

【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，通过添加公共边作为辅助线构造全等三角形是解题的突破口，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB=AE$，$BC=ED$，$∠ B=∠ E$，$F$为$CD$的中点. 求证：$AF⊥ CD$.

2. 证明:如图,连接AC、AD. 在△ABC和△AED中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
∵F为CD的中点,
∴CF=DF. 在△ACF和△ADF中,
$\begin{cases} AC=AD, \\ CF=DF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SSS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∴AF⊥CD.

【分析】
要证明$AF⊥CD$，可通过证明$∠ AFC=∠ AFD=90°$实现。首先观察已知条件：$AB=AE$、$∠ B=∠ E$、$BC=ED$，刚好满足SAS全等判定的条件，因此先连接$AC$、$AD$，证明$△ ABC≌△ AED$得到$AC=AD$，此时$△ ACD$为等腰三角形；再结合$F$是$CD$中点的条件，证明$△ ACF$和$△ ADF$全等，得到对应角相等，结合平角为$180°$即可推出两个角均为$90°$，进而得到垂直关系。
【解析】
证明：如图，连接$AC$、$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ B=∠ E, \\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$。
$\because F$为$CD$的中点，
$\therefore CF=DF$。
在$△ ACF$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} AC=AD, \\ CF=DF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore△ ACF≌△ ADF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ AFC=∠ AFD$。
$\because∠ AFC+∠ AFD=180°$，
$\therefore∠ AFC=∠ AFD=90°$，
$\therefore AF⊥CD$。
【答案】
证明:如图,连接AC、AD. 在△ABC和△AED中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
∵F为CD的中点,
∴CF=DF. 在△ACF和△ADF中,
$\begin{cases} AC=AD, \\ CF=DF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SSS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∴AF⊥CD.

【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将已知的边、角相等条件进行转化，再结合中点、平角的性质推导角度关系，进而证明垂直。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$∠ B=∠ C=90°$，$E$是$BC$的中点，$DE$平分$∠ ADC$.
(1)求证:$AE$是$∠ DAB$的平分线.
(2)探究线段$AE$、$DE$之间的位置关系，并证明你的结论.

3. (1)证明:如图,过点E作EF⊥AD于点F.
∵∠B=∠C=90°,
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°.
∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=∠EDF. 在△CDE和△FDE中,
$\begin{cases} ∠C=∠EFD, \\ ∠EDC=∠EDF, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△CDE≌△FDE(AAS),
∴CE=EF.
∵E是BC的中点,
∴CE=BE. 在Rt△AEB和Rt△AEF中,
$\begin{cases} AE=AB, \\ EB=EF, \end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△AEF(HL),
∴∠EAB=∠EAF,
∴AE是∠DAB的平分线.
(2)AE⊥DE. 证明如下:
∵Rt△AEB≌Rt△AEF,
∴∠BEA=∠FEA. 在Rt△DEC和Rt△DEF中,
$\begin{cases} CE=EF, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴Rt△DEC≌Rt△DEF(HL),
∴∠CED=∠FED.
∵∠BEA+∠FEA+∠CED+∠FED=180°,
∴∠AEF+∠FED=90°,
∴∠AED=90°,
∴AE⊥DE.

【分析】
(1) 要证明AE是∠DAB的平分线，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知∠B=90°，点E到AB的距离为EB，因此过E作EF⊥AD于F，只需证明EB=EF即可。结合DE平分∠ADC、∠C=90°，由角平分线的性质可得EC=EF，再结合E是BC中点的条件，即可推出EB=EF，完成证明。
(2) 观察图形可猜测AE与DE垂直，只需证明∠AED=90°即可。通过全等三角形的性质可得到对应角相等，结合平角为180°的性质，可推出∠AEF与∠FED的和为90°，即可得到∠AED=90°，证明垂直关系。
【解析】
(1) 证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F。
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°。
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDF。
在△CDE和△FDE中，
$\begin{cases} ∠C=∠EFD, \\ ∠EDC=∠EDF, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△CDE≌△FDE(AAS)，
∴CE=EF。
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，即BE=EF。
在Rt△AEB和Rt△AEF中，
$\begin{cases} AE=AE, \\ EB=EF, \end{cases}$
∴Rt△AEB≌Rt△AEF(HL)，
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分线。
(2) AE⊥DE，证明如下：
∵Rt△AEB≌Rt△AEF，
∴∠BEA=∠FEA。
在Rt△DEC和Rt△DEF中，
$\begin{cases} CE=EF, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴Rt△DEC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠CED=∠FED。
∵∠BEA+∠FEA+∠CED+∠FED=180°，
∴2(∠AEF+∠FED)=180°，即∠AEF+∠FED=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE。
【答案】
(1) AE是∠DAB的平分线，证明见解析；
(2) AE⊥DE，证明见解析。

【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型题型，解题核心是作EF⊥AD构造全等三角形，遇到角平分线时向角两边作垂线段是这类题型的常用辅助线技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

4. 已知,在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求证:AD=DC.

4. 证明:如图,过点D分别作DM⊥BA交BA的延长线于点M,DN⊥BC于点N,则∠DMA=∠DNC=∠DNB=90°.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAM=180°,
∴∠DAM=∠C.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBM=∠DBN. 在△DBM和△DBN中,
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNB, \\ ∠DBM=∠DBN, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△DBM≌△DBN(AAS),
∴DM=DN. 在△ADM和△CDN中,
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNC, \\ ∠DAM=∠C, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴△ADM≌△CDN(AAS),
∴AD=DC.

【分析】
要证明AD=DC，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先看到题目给出BD平分∠ABC，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D向∠ABC的两边作垂线段DM、DN，得到DM=DN；再结合已知∠A+∠C=180°，利用邻补角的性质可得∠DAM=∠C，此时即可证明△ADM和△CDN全等，从而推导出AD=DC。
【解析】
证明：如图，过点D分别作DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N，则∠DMA=∠DNC=∠DNB=90°。
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°，
∴∠DAM=∠C。
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBM=∠DBN。
在△DBM和△DBN中，
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNB, \\ ∠DBM=∠DBN, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△DBM≌△DBN(AAS)，
∴DM=DN。
在△ADM和△CDN中，
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNC, \\ ∠DAM=∠C, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴△ADM≌△CDN(AAS)，
∴AD=DC。
【答案】
证明:如图,过点D分别作DM⊥BA交BA的延长线于点M,DN⊥BC于点N,则∠DMA=∠DNC=∠DNB=90°.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAM=180°,
∴∠DAM=∠C.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBM=∠DBN. 在△DBM和△DBN中,
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNB, \\ ∠DBM=∠DBN, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△DBM≌△DBN(AAS),
∴DM=DN. 在△ADM和△CDN中,
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNC, \\ ∠DAM=∠C, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴△ADM≌△CDN(AAS),
∴AD=DC.

【知识点】
1.角平分线的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.补角的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题关键是掌握角平分线的常用辅助线做法：过角平分线上的点向角两边作垂线段，结合全等三角形的判定即可证明边相等，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.7