1.（教材习题变式）如图，已知$∠ C=∠ D=90°$，添加一个条件，可使用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$全等. 下列给出的条件符合要求的是 （）




A.$∠ ABC=∠ ABD$
B.$AC=AD$
C.$∠ BAC=∠ BAD$
D.$AC=BC$

1. B

【分析】
首先明确“HL”判定直角三角形全等的要求：仅适用于直角三角形，需要满足两个三角形的斜边对应相等，且任意一组直角边对应相等。先观察两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$，二者有公共斜边AB，因此斜边已经天然相等，只需再添加一组对应直角边相等即可满足HL判定条件。接下来逐一分析选项，排除对应角相等（属于AAS/ASA判定，不符合HL要求）、非对应边相等的选项，选出符合要求的答案。
【解析】
“HL”判定定理内容为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$中，公共斜边$AB=AB$，已满足斜边相等的条件，要使用HL判定全等，只需添加一组对应直角边相等即可。
对各选项分析如下：
选项A：$∠ ABC=∠ ABD$，结合$∠C=∠D=90°$、$AB=AB$，可通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项B：$AC=AD$，是两个三角形的对应直角边相等，结合斜边$AB=AB$，可通过HL判定全等，符合要求；
选项C：$∠ BAC=∠ BAD$，结合$∠C=∠D=90°$、$AB=AB$，可通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项D：$AC=BC$是$\mathrm{Rt}△ ABC$内部两条直角边的等量关系，无法证明两个三角形全等，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且要和其他一般三角形全等的判定定理区分开，明确题目要求的判定依据是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB\bot BD$，$CD\bot BD$，$AD=BC$，则能直接判定$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB$的理由是（）

A.HL
B.ASA
C.SAS
D.SSS

2. A

【分析】
要判定两个直角三角形全等，首先梳理已知条件：由AB⊥BD、CD⊥BD可先确定两个三角形都是直角三角形，已知斜边AD=BC，同时BD是两个三角形共有的直角边，结合直角三角形特有的全等判定定理即可得出结论。
【解析】
∵$AB\bot BD$，$CD\bot BD$，
∴$∠ ABD=∠ CDB=90°$，即$△ ABD$和$△ CDB$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中：
$\begin{cases} AD=BC(\mathrm{已知}) \\ BD=DB(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
HL定理，直角的定义，公共边性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时要先确认三角形为直角三角形，再结合已知边的对应关系选择匹配的判定定理，注意HL是仅适用于直角三角形的全等判定方法。
【难度系数】
0.9

3. 如图，已知$△ ABC$的两条高$AD$、$BE$交于点$F$，$AE=BE$，要证明$△ AEF ≌ △ BEC$。
(1)若要运用“HL”，还需添加条件：______。
(2)若要运用“SAS”，还需添加条件：______。

3. (1)AF=BC (2)EF=EC

【分析】
解题前先梳理题目给出的已知条件：①AD、BE是△ABC的高，可得∠AEF=∠BEC=90°，即△AEF和△BEC都是直角三角形；②已知AE=BE，这是两组三角形已有的一组等边。接下来对应两个判定要求推导缺项：
1. 若用HL判定：HL是直角三角形专属判定规则，要求“斜边和一条直角边对应相等”，现在已有一组直角边AE=BE相等，仅需补充斜边相等的条件即可。
2. 若用SAS判定：SAS要求“两边及其夹角对应相等”，现在已有一边AE=BE、夹角∠AEF=∠BEC=90°，仅需补充夹角对应的另一组等边即可。
【解析】
首先由已知条件可得：
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠AEF=∠BEC=90°，即△AEF和△BEC均为直角三角形，又已知AE=BE。
(1) 要使用HL证明全等：直角三角形全等的HL判定要求斜边和一条直角边对应相等，已有的直角边AE=BE，因此添加斜边AF=BC时，即可满足HL的判定条件。
(2) 要使用SAS证明全等：SAS判定要求两边夹一角对应相等，已有边AE=BE、夹角∠AEF=∠BEC=90°，因此添加另一组夹边EF=EC时，即可满足SAS的判定条件。
【答案】
(1)$AF=BC$ (2)$EF=EC$
【知识点】
HL判定定理，SAS判定定理，三角形高的性质
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题核心是先梳理已有的全等条件，再结合不同判定定理的要求补充缺失的要素，能有效帮助学生区分各全等判定的适用条件。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$D$在$BC$上,且$CD=CA$,$DE⊥ BC$.若$AB=5\ \mathrm{cm}$,$DE=2\ \mathrm{cm}$,则$BE=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

4. 3 解析:连接$CE.∵DE⊥BC,∴∠CDE=90°$.在$\mathrm{Rt}△CAE$和$\mathrm{Rt}△CDE$中,$\begin{cases}CA=CD,\\CE=CE,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△CAE≌\mathrm{Rt}△CDE(\mathrm{HL}),∴AE=DE=2\ \mathrm{cm},∴BE=AB-AE=5-2=3(\mathrm{cm}).$

【分析】
首先观察题目条件，已知∠A=90°，DE⊥BC，可得△CAE和△CDE均为直角三角形；又已知CA=CD，两个三角形有公共斜边CE，因此可通过连接CE构造全等三角形，利用直角三角形全等的HL判定定理证明两三角形全等，得到AE与DE的等量关系，最后结合AB的长度，通过线段和差计算即可求出BE的长度。
【解析】
连接CE，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=90°=∠A，
在$\mathrm{Rt}△CAE$和$\mathrm{Rt}△CDE$中：
$\begin{cases}CA=CD\\CE=CE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△CAE≌\mathrm{Rt}△CDE(\mathrm{HL})$，
∴AE=DE=2 cm，
又
∵AB=5 cm，
∴BE=AB - AE=5 - 2=3 cm。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过添加辅助线构造出符合HL判定条件的全等直角三角形，将已知线段长度与待求线段建立关联，对基础辅助线构造意识有一定考察。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABE$与$△ BCD$中,$AE\bot BD$于点$E$,$CD\bot BD$于点$D$,$AB=BC$,$BE=CD$.求证:$\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ BCD$.

5. 证明:$∵AE⊥BD,CD⊥BD,∴∠AEB=∠BDC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△BCD$中,$\begin{cases}AB=BC,\\BE=CD,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△BCD(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先根据题目给出的垂直条件，先确定两个三角形都是直角三角形，再结合已知的边相等的条件判断适用的全等判定定理：题目给出了斜边AB=BC，还有一组直角边BE=CD，刚好符合HL定理的使用条件，按照先证直角、再列对应边相等条件、最后用判定定理推导结论的步骤求解即可。
【解析】
证明：$\because AE\bot BD$，$CD\bot BD$，
$\therefore ∠ AEB=∠ BDC=90°$，即$△ ABE$和$△ BCD$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中，
$\begin{cases}AB=BC,\\BE=CD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ BCD(\mathrm{HL})$。
【答案】
证明:$\because AE\bot BD,CD\bot BD,\therefore ∠ AEB=∠ BDC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$\begin{cases}AB=BC,\\BE=CD,\end{cases}\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ BCD(\mathrm{HL}).$
【知识点】
垂直的定义；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题，解题的关键是先通过垂直条件明确两个三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件选用HL定理完成证明，要注意HL定理仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.85

6. 如图,已知点 C、E、B、F 在同一条直线上,$AB⊥CF$ 于点 B,$DE⊥CF$ 于点 E,$AC=DF$,
$AB=DE.$
(1)求证:$AC// DF.$
(2)求证:$CE=BF.$

6. 证明:(1)$∵AB⊥CF,DE⊥CF,∴∠ABC=∠DEF=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$中,$\begin{cases}AC=DF,\\AB=DE,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}),∴∠C=∠F,∴AC// DF.$
(2)由(1)得,$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF,∴BC=EF,∴BC-BE=EF-BE$,即$CE=BF.$

【分析】
(1)要证$AC// DF$，根据平行线判定规则，只需证同位角$∠ C=∠ F$即可。观察图形可知$∠ C$和$∠ F$分别属于$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$，已知两个三角形都是直角三角形，且给出斜边$AC=DF$、直角边$AB=DE$，可通过HL定理证明两三角形全等，得到对应角相等，进而推出平行。
(2)要证$CE=BF$，由(1)的全等结论可得对应边$BC=EF$，观察线段关系可知$BC$和$EF$有公共线段$BE$，根据等式性质，两边同时减去公共线段$BE$，即可得到$CE=BF$。
【解析】
(1) 证明：$\because AB⊥ CF$，$DE⊥ CF$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AC=DF\\AB=DE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ C=∠ F$，
$\therefore AC// DF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)得$\mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF$，
$\therefore$ 对应边$BC=EF$，
根据等式性质，两边同时减去公共线段$BE$得：
$BC-BE=EF-BE$，即$CE=BF$。
【答案】
(1)$∵AB⊥CF,DE⊥CF,∴∠ABC=∠DEF=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$中,$\begin{cases}AC=DF,\\AB=DE,\end{cases}∴\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}),∴∠C=∠F,∴AC// DF.$
(2)由(1)得,$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF,∴BC=EF,∴BC-BE=EF-BE$,即$CE=BF.$
【知识点】
直角三角形全等判定，平行线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先利用HL定理证明直角三角形全等，再结合全等的性质推导角、边的关系，配合平行线判定和线段和差即可完成证明，解题时需注意步骤的逻辑连贯性。
【难度系数】
0.8