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14. 如图所示,在四边形ABCD中,AB//CD,∠BCD=90°,BC=8 cm,AB=AD=10 cm.点P从点A出发,以3 cm/s的速度沿A—B—C的路径运动;点Q从点D出发,以2 cm/s的速度沿线段DC向点C运动.已知动点P,Q同时出发,当点Q运动到点C时,P,Q停止运动.设运动时间为t s.
(1)当t=
(2)在点P、点Q的运动过程中,当t=
(1)当t=
2
时,四边形PBQD为平行四边形;(2)在点P、点Q的运动过程中,当t=
$\dfrac{25}{12}$或5
时,△BPQ的面积为15 cm².答案
14.(1)2 (2)$\dfrac{25}{12}$或5
解析
【分析】
(1) 要使四边形PBQD为平行四边形，已知AB//CD即PB//DQ，只需满足PB=DQ即可。首先通过作辅助线求出DC的长度，再用含t的代数式分别表示PB和DQ，列方程求解，注意验证t的取值范围符合运动状态。
(2) 求△BPQ面积为15时的t，需分两种情况讨论：①点P在AB边上运动时，△BPQ的高为BC的长度，结合三角形面积公式列方程求解；②点P在BC边上运动时，BP为竖直方向的底，CQ为水平方向的高，列面积方程求解，舍去不符合取值范围的解。
【解析】
先求DC的长度：过点A作AE⊥DC于点E，
∵AB//CD，∠BCD=90°，AE⊥DC，
∴四边形AECB是矩形，
∴EC=AB=10cm，AE=BC=8cm，
在Rt△ADE中，AD=10cm，AE=8cm，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm，
∴DC=DE+EC=6+10=16cm。
点Q到C的总运动时间为$16÷2=8$s，点P到C的总运动时间为$(10+8)÷3=6$s，故t的取值范围为$0\le t\le6$。
(1) 四边形PBQD为平行四边形时，P需在AB边上（$0\le t\le\frac{10}{3}$），此时$PB=10-3t$，$DQ=2t$，
由PB=DQ列方程：$10-3t=2t$，解得$t=2$，符合取值范围。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0\le t\le\frac{10}{3}$时，点P在AB边上，
$△ BPQ$的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BC=\frac{1}{2}×(10-3t)×8=15$，
化简得$4(10-3t)=15$，解得$t=\frac{25}{12}$，符合取值范围；
② 当$\frac{10}{3}＜ t\le6$时，点P在BC边上，
$BP=3t-10$，$CQ=16-2t$，
$△ BPQ$的面积$S=\frac{1}{2}× BP× CQ=\frac{1}{2}×(3t-10)(16-2t)=15$，
整理得$3t^2-34t+95=0$，因式分解得$(t-5)(3t-19)=0$，
解得$t_1=5$，$t_2=\frac{19}{3}$（$\frac{19}{3}＞6$，舍去），故$t=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{25}{12}}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平行四边形的判定，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于四边形动点综合题，解题核心是根据点的运动状态分段讨论，结合几何图形的性质列方程求解，要注意验证解是否符合对应时段的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
(1) 要使四边形PBQD为平行四边形，已知AB//CD即PB//DQ，只需满足PB=DQ即可。首先通过作辅助线求出DC的长度，再用含t的代数式分别表示PB和DQ，列方程求解，注意验证t的取值范围符合运动状态。
(2) 求△BPQ面积为15时的t，需分两种情况讨论：①点P在AB边上运动时，△BPQ的高为BC的长度，结合三角形面积公式列方程求解；②点P在BC边上运动时，BP为竖直方向的底，CQ为水平方向的高，列面积方程求解，舍去不符合取值范围的解。
【解析】
先求DC的长度：过点A作AE⊥DC于点E，
∵AB//CD，∠BCD=90°，AE⊥DC，
∴四边形AECB是矩形，
∴EC=AB=10cm，AE=BC=8cm，
在Rt△ADE中，AD=10cm，AE=8cm，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm，
∴DC=DE+EC=6+10=16cm。
点Q到C的总运动时间为$16÷2=8$s，点P到C的总运动时间为$(10+8)÷3=6$s，故t的取值范围为$0\le t\le6$。
(1) 四边形PBQD为平行四边形时，P需在AB边上（$0\le t\le\frac{10}{3}$），此时$PB=10-3t$，$DQ=2t$，
由PB=DQ列方程：$10-3t=2t$，解得$t=2$，符合取值范围。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0\le t\le\frac{10}{3}$时，点P在AB边上，
$△ BPQ$的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BC=\frac{1}{2}×(10-3t)×8=15$，
化简得$4(10-3t)=15$，解得$t=\frac{25}{12}$，符合取值范围；
② 当$\frac{10}{3}＜ t\le6$时，点P在BC边上，
$BP=3t-10$，$CQ=16-2t$，
$△ BPQ$的面积$S=\frac{1}{2}× BP× CQ=\frac{1}{2}×(3t-10)(16-2t)=15$，
整理得$3t^2-34t+95=0$，因式分解得$(t-5)(3t-19)=0$，
解得$t_1=5$，$t_2=\frac{19}{3}$（$\frac{19}{3}＞6$，舍去），故$t=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{25}{12}}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平行四边形的判定，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于四边形动点综合题，解题核心是根据点的运动状态分段讨论，结合几何图形的性质列方程求解，要注意验证解是否符合对应时段的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
15. 如图所示的是某小区倾斜式停车位示意图，工人在绘制时保证 $ AD = BC $，$ ∠ A = 60° $，$ ∠ B = 120° $.
(1)请判断四边形 $ ABCD $ 的形状，并说明理由；
(2)若 $ AD = 6 \ \mathrm{m} $，$ AB = 2.8 \ \mathrm{m} $，求停车位 $ ABCD $ 的面积.
(1)请判断四边形 $ ABCD $ 的形状，并说明理由；
(2)若 $ AD = 6 \ \mathrm{m} $，$ AB = 2.8 \ \mathrm{m} $，求停车位 $ ABCD $ 的面积.
答案
解:(1)四边形 $ABCD$ 是平行四边形. 理由如下:
$\because ∠ A=60°$,$∠ B=120°$,$\therefore ∠ A+∠ B=180°$.$\therefore AD// BC$.
又 $AD=BC$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2)如图所示,过点 $C$ 作 $CE⊥ AB$,交 $AB$ 的延长线于点 $E$.
由(1)可知,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore BC=AD=6\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ ABC=120°$,$\therefore ∠ CBE=180°-120°=60°$.$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,由勾股定理,得 $CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=AB· CE=2.8×3\sqrt{3}=\dfrac{42\sqrt{3}}{5}(\mathrm{m}^2)$.
答:停车位 $ABCD$ 的面积为 $\dfrac{42\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1)判断四边形形状的思路：先从已知的∠A、∠B的度数入手，计算两角之和，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AD与BC平行，再结合已知AD=BC的条件，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论。
(2)求面积的思路：平行四边形面积公式为底×高，因此需要先求AB边上的高。过点C作CE垂直AB的延长线构造直角三角形，先利用平行四边形对边相等得到BC的长度，再根据∠ABC的度数求出其邻补角∠CBE的度数，在直角三角形BCE中先利用含30°角的直角三角形性质求出BE，再用勾股定理求出高CE，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)四边形$ABCD$是平行四边形，理由如下：
$\because ∠ A=60°$，$∠ B=120°$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$
$\therefore AD// BC$
又$\because AD=BC$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)如图所示，过点$C$作$CE⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$。
由(1)可知，四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore BC=AD=6\ \mathrm{m}$
$\because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=180°-120°=60°$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$
由勾股定理，得 $CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$
$\therefore S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=AB· CE=2.8×3\sqrt{3}=\dfrac{42\sqrt{3}}{5}(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1)四边形$ABCD$是平行四边形，理由见上述解析；
(2)停车位$ABCD$的面积为$\dfrac{42\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了平行四边形相关基础知识点的应用，也考查了构造直角三角形求解线段长度的能力，解题的核心是正确作出辅助线求出平行四边形的高，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1)判断四边形形状的思路：先从已知的∠A、∠B的度数入手，计算两角之和，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AD与BC平行，再结合已知AD=BC的条件，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论。
(2)求面积的思路：平行四边形面积公式为底×高，因此需要先求AB边上的高。过点C作CE垂直AB的延长线构造直角三角形，先利用平行四边形对边相等得到BC的长度，再根据∠ABC的度数求出其邻补角∠CBE的度数，在直角三角形BCE中先利用含30°角的直角三角形性质求出BE，再用勾股定理求出高CE，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)四边形$ABCD$是平行四边形，理由如下：
$\because ∠ A=60°$，$∠ B=120°$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$
$\therefore AD// BC$
又$\because AD=BC$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)如图所示，过点$C$作$CE⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$。
由(1)可知，四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore BC=AD=6\ \mathrm{m}$
$\because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ CBE=180°-120°=60°$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$
由勾股定理，得 $CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$
$\therefore S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=AB· CE=2.8×3\sqrt{3}=\dfrac{42\sqrt{3}}{5}(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1)四边形$ABCD$是平行四边形，理由见上述解析；
(2)停车位$ABCD$的面积为$\dfrac{42\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了平行四边形相关基础知识点的应用，也考查了构造直角三角形求解线段长度的能力，解题的核心是正确作出辅助线求出平行四边形的高，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
