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16.学完平行四边形对角线的性质后，李老师给同学们上了一堂探究课，请你阅读素材并完成下列任务.
素材:如图(1)所示，用大头针将一根细木条固定在四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O处，且木条可以绕点O转动，木条与AD交于点E，与BC交于点F.
任务一:试说明四边形ABFE与四边形CDEF的面积相等；
任务二:如图(2)所示，四边形ABCD和四边形BEFG上下叠放，请画出直线l，使其平分图(2)的面积；
任务三:如图(3)所示，在四边形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，四边形ABFE的周长为15，且EF平分四边形ABCD的面积，求EF的长.
素材:如图(1)所示，用大头针将一根细木条固定在四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O处，且木条可以绕点O转动，木条与AD交于点E，与BC交于点F.
任务一:试说明四边形ABFE与四边形CDEF的面积相等；
任务二:如图(2)所示，四边形ABCD和四边形BEFG上下叠放，请画出直线l，使其平分图(2)的面积；
任务三:如图(3)所示，在四边形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，四边形ABFE的周长为15，且EF平分四边形ABCD的面积，求EF的长.
答案
任务一:解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,$\therefore OA=OC$,$OB=OD$,$AD// BC$.
$\because ∠ AOB=∠ COD$,$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$.
$\because ∠ AOE=∠ COF$,$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$.
同理 $△ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore S_{△ AOE}+S_{△ AOB}+S_{△ BOF}=S_{△ COF}+S_{△ COD}+S_{△ DOE}$,即 $S_{\mathrm{四边形}ABFE}=S_{\mathrm{四边形}CDEF}$.
任务二:解:直线 $l$ 如图①所示.
任务三:解:如图②所示,连接 $AC$,$BD$,$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$,
$\because EF$ 平分平行四边形 $ABCD$ 的面积,$\therefore EF$ 过 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $O$.
由任务一可知 $△ AOE≌△ COF$,$\therefore AE=CF$.
$\therefore$ 四边形 $ABFE$ 的周长 $=AB+BF+EF+AE=AB+BF+EF+CF=AB+BC+EF=15$.
$\because AB=4$,$BC=6$,$\therefore EF=15-10=5$.
$\therefore EF$ 的长为 $5$.
解析
【分析】
任务一：平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心，要证明两个四边形面积相等，可先证明直线EF和对角线分成的对应三角形全等，得到对应面积相等，再将相等的面积分别相加即可得证。
任务二：过平行四边形对角线交点的直线可平分该平行四边形的面积，要平分两个叠放平行四边形的总面积，只需作出同时经过两个平行四边形对角线交点的直线即可。
任务三：EF平分平行四边形面积，说明EF过对角线交点，结合任务一的全等结论可得AE=CF，将四边形ABFE的周长转化为AB、BC与EF的和，代入已知数值即可求出EF的长。
【解析】
任务一
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$。
$\because ∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$，即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
又$\because ∠ AOE=∠ COF$，$OA=OC$，
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，即$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
同理可证$△ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$，即$S_{△ BOF}=S_{△ DOE}$。
$\therefore S_{△ AOE}+S_{△ AOB}+S_{△ BOF}=S_{△ COF}+S_{△ COD}+S_{△ DOE}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}ABFE}=S_{\mathrm{四边形}CDEF}$。
任务二
分别找到平行四边形ABCD、平行四边形BEFG的对角线交点，过两个交点作直线l，即为所求，作图如下：
任务三
连接 $AC$，$BD$，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，
$\because EF$ 平分平行四边形 $ABCD$ 的面积，
$\therefore EF$ 过平行四边形的对称中心$O$。
由任务一结论可知 $△ AOE≌△ COF$，$\therefore AE=CF$。
四边形 $ABFE$ 的周长 $=AB+BF+EF+AE=AB+BF+EF+CF=AB+BC+EF$，
已知$AB=4$，$BC=6$，周长为15，代入得：
$4+6+EF=15$，解得$EF=5$。
【答案】
任务一：四边形ABFE与四边形CDEF面积相等，证明见解析；
任务二：；
任务三：$\boxed{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；中心对称图形的性质
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性设置三类问题，层层递进，既考查了对平行四边形性质、全等三角形判定的基础掌握，也考查了知识迁移和灵活应用的能力，帮助学生理解过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积这一规律的应用方法。
【难度系数】
0.7
任务一：平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心，要证明两个四边形面积相等，可先证明直线EF和对角线分成的对应三角形全等，得到对应面积相等，再将相等的面积分别相加即可得证。
任务二：过平行四边形对角线交点的直线可平分该平行四边形的面积，要平分两个叠放平行四边形的总面积，只需作出同时经过两个平行四边形对角线交点的直线即可。
任务三：EF平分平行四边形面积，说明EF过对角线交点，结合任务一的全等结论可得AE=CF，将四边形ABFE的周长转化为AB、BC与EF的和，代入已知数值即可求出EF的长。
【解析】
任务一
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$。
$\because ∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$，即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
又$\because ∠ AOE=∠ COF$，$OA=OC$，
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，即$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
同理可证$△ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$，即$S_{△ BOF}=S_{△ DOE}$。
$\therefore S_{△ AOE}+S_{△ AOB}+S_{△ BOF}=S_{△ COF}+S_{△ COD}+S_{△ DOE}$，
即 $S_{\mathrm{四边形}ABFE}=S_{\mathrm{四边形}CDEF}$。
任务二
分别找到平行四边形ABCD、平行四边形BEFG的对角线交点，过两个交点作直线l，即为所求，作图如下：
任务三
连接 $AC$，$BD$，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，
$\because EF$ 平分平行四边形 $ABCD$ 的面积，
$\therefore EF$ 过平行四边形的对称中心$O$。
由任务一结论可知 $△ AOE≌△ COF$，$\therefore AE=CF$。
四边形 $ABFE$ 的周长 $=AB+BF+EF+AE=AB+BF+EF+CF=AB+BC+EF$，
已知$AB=4$，$BC=6$，周长为15，代入得：
$4+6+EF=15$，解得$EF=5$。
【答案】
任务一：四边形ABFE与四边形CDEF面积相等，证明见解析；
任务二：
；任务三：$\boxed{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；中心对称图形的性质
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性设置三类问题，层层递进，既考查了对平行四边形性质、全等三角形判定的基础掌握，也考查了知识迁移和灵活应用的能力，帮助学生理解过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积这一规律的应用方法。
【难度系数】
0.7
