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13. [新课标·探究题]请阅读下列材料：
问题:已知 $ x=\sqrt{5}+2 $，求代数式 $ x^2 - 4x - 7 $ 的值.
小敏的做法是:
根据 $ x=\sqrt{5}+2 $，得 $ (x-2)^2=5 $，
所以 $ x^2 - 4x + 4=5 $，得 $ x^2 - 4x=1 $.
把 $ x^2 - 4x $ 作为整体代入，得 $ x^2 - 4x - 7=1 - 7=-6 $，
即把已知条件进行适当的变形，再整体代入解决问题.
请你用上述方法解决下列问题:
(1)已知 $ x=\sqrt{5}-2 $，求代数式 $ x^2 + 4x - 10 $ 的值；
(2)已知 $ x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $，求代数式 $ x^3 + 2x^2 $ 的值.
问题:已知 $ x=\sqrt{5}+2 $，求代数式 $ x^2 - 4x - 7 $ 的值.
小敏的做法是:
根据 $ x=\sqrt{5}+2 $，得 $ (x-2)^2=5 $，
所以 $ x^2 - 4x + 4=5 $，得 $ x^2 - 4x=1 $.
把 $ x^2 - 4x $ 作为整体代入，得 $ x^2 - 4x - 7=1 - 7=-6 $，
即把已知条件进行适当的变形，再整体代入解决问题.
请你用上述方法解决下列问题:
(1)已知 $ x=\sqrt{5}-2 $，求代数式 $ x^2 + 4x - 10 $ 的值；
(2)已知 $ x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $，求代数式 $ x^3 + 2x^2 $ 的值.
答案
(1)$\because x=\sqrt{5}-2,\therefore (x+2)^2=5,\therefore x^2+4x+4=5,\therefore x^2+4x=1,\therefore x^2+4x-10=1-10=-9$.
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore 2x=\sqrt{5}-1,\therefore (2x+1)^2=5,\therefore 4x^2+4x+1=5$,得$4x^2+4x=4$,即$x^2+x=1$,$\therefore x^3+2x^2=x(x^2+x)+x^2=x+x^2=1$.
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore 2x=\sqrt{5}-1,\therefore (2x+1)^2=5,\therefore 4x^2+4x+1=5$,得$4x^2+4x=4$,即$x^2+x=1$,$\therefore x^3+2x^2=x(x^2+x)+x^2=x+x^2=1$.
解析
【分析】
本题可参照材料给出的整体代入法求解，避免直接代入含根号的x造成运算繁琐：
1. 解第(1)问时，先将已知$x=\sqrt{5}-2$移项得到$x+2=\sqrt{5}$，两边平方后整理可直接得到代数式中含有的$x^2+4x$的值，整体代入即可算出结果；
2. 解第(2)问时，先对已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$去分母、移项得到$2x+1=\sqrt{5}$，两边平方整理得到$x^2+x=1$，再将所求的三次式拆分为含$x^2+x$的形式，整体代入即可简化计算。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{5}-2$，移项得$x+2=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x+2)^2=(\sqrt{5})^2$，即$x^2+4x+4=5$，
整理得$x^2+4x=1$，
将$x^2+4x=1$代入$x^2+4x-10$得：$1-10=-9$。
(2) 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(2x+1)^2=(\sqrt{5})^2$，即$4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边除以4得$x^2+x=1$，
对所求代数式变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
将$x^2+x=1$代入得：$x×1 +x^2=x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次根式运算、整体代入求值、整式恒等变形
【点评】
本题重在考察对解题方法的类比迁移能力，通过对已知条件适当变形得到整式关系，再将所求代数式向已知整式关系转化，利用整体代入简化运算，避免了二次根式直接代入的复杂计算，是二次根式化简求值的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题可参照材料给出的整体代入法求解，避免直接代入含根号的x造成运算繁琐：
1. 解第(1)问时，先将已知$x=\sqrt{5}-2$移项得到$x+2=\sqrt{5}$，两边平方后整理可直接得到代数式中含有的$x^2+4x$的值，整体代入即可算出结果；
2. 解第(2)问时，先对已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$去分母、移项得到$2x+1=\sqrt{5}$，两边平方整理得到$x^2+x=1$，再将所求的三次式拆分为含$x^2+x$的形式，整体代入即可简化计算。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{5}-2$，移项得$x+2=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x+2)^2=(\sqrt{5})^2$，即$x^2+4x+4=5$，
整理得$x^2+4x=1$，
将$x^2+4x=1$代入$x^2+4x-10$得：$1-10=-9$。
(2) 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两边乘2得$2x=\sqrt{5}-1$，
移项得$2x+1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(2x+1)^2=(\sqrt{5})^2$，即$4x^2+4x+1=5$，
整理得$4x^2+4x=4$，两边除以4得$x^2+x=1$，
对所求代数式变形：$x^3+2x^2=x^3+x^2+x^2=x(x^2+x)+x^2$，
将$x^2+x=1$代入得：$x×1 +x^2=x+x^2=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次根式运算、整体代入求值、整式恒等变形
【点评】
本题重在考察对解题方法的类比迁移能力，通过对已知条件适当变形得到整式关系，再将所求代数式向已知整式关系转化，利用整体代入简化运算，避免了二次根式直接代入的复杂计算，是二次根式化简求值的常用技巧。
【难度系数】
0.7
