登录
10. 如图,在$3×3$的正方形网格中标出了$∠1,∠2,∠3$,则$∠1+∠2+∠3=$
90
°.答案
10.90
解析
【分析】
解决本题可以结合网格的特点，借助勾股定理和全等三角形的知识推导角度和。首先设每个小正方形边长为1，先通过勾股定理判断∠3所在三角形的形状，得到∠3的度数，再利用全等三角形的性质推导∠1和∠2的和，最后将三个角相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠3的度数：连接∠1的顶点和∠2的顶点，得到包含∠3的三角形。用勾股定理计算三边的平方：两条较短边的平方均为$1^2+2^2=5$，最长边的平方为$3^2+1^2=10$。因为$5+5=10$，满足勾股定理，且两条短边长度相等，所以该三角形是等腰直角三角形，因此$∠3=45°$。
2. 求∠1+∠2的度数：观察∠1和∠2所在的直角三角形，根据SAS可证相关直角三角形全等，可推出$∠1+∠2=45°$。
3. 计算角度和：$∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°$。
【答案】
90
【知识点】
勾股定理，全等三角形判定，等腰直角三角形性质
【点评】
本题依托正方形网格考查角度和的计算，解题的关键是通过勾股定理识别出特殊的等腰直角三角形，再结合全等的性质推导角度关系，很好地考查了学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题可以结合网格的特点，借助勾股定理和全等三角形的知识推导角度和。首先设每个小正方形边长为1，先通过勾股定理判断∠3所在三角形的形状，得到∠3的度数，再利用全等三角形的性质推导∠1和∠2的和，最后将三个角相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠3的度数：连接∠1的顶点和∠2的顶点，得到包含∠3的三角形。用勾股定理计算三边的平方：两条较短边的平方均为$1^2+2^2=5$，最长边的平方为$3^2+1^2=10$。因为$5+5=10$，满足勾股定理，且两条短边长度相等，所以该三角形是等腰直角三角形，因此$∠3=45°$。
2. 求∠1+∠2的度数：观察∠1和∠2所在的直角三角形，根据SAS可证相关直角三角形全等，可推出$∠1+∠2=45°$。
3. 计算角度和：$∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°$。
【答案】
90
【知识点】
勾股定理，全等三角形判定，等腰直角三角形性质
【点评】
本题依托正方形网格考查角度和的计算，解题的关键是通过勾股定理识别出特殊的等腰直角三角形，再结合全等的性质推导角度关系，很好地考查了学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,三角形ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)确定一格点D,使直线$CD// AB$.
(2)画出将三角形ABC先向下平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的三角形$A_1B_1C_1$(点A的对应点为$A_1$,点B的对应点为$B_1$,点C的对应点为$C_1$).
(1)确定一格点D,使直线$CD// AB$.
(2)画出将三角形ABC先向下平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的三角形$A_1B_1C_1$(点A的对应点为$A_1$,点B的对应点为$B_1$,点C的对应点为$C_1$).
答案
11.解:(1)点 D 如图所示(点$D_1,D_2$选择其一即可).
(2)三角形$A_1B_1C_1$如图所示.
解析
【分析】
(1)要作直线CD平行于AB，可结合平移的性质：平移后的线段与原线段平行。先观察AB的平移规律：从点A到点B，水平向右移动2格，竖直向上移动3格，将AB平移使点A的对应点为点C，或点B的对应点为点C，得到的另一个端点就是符合要求的格点D。
(2)平移作图需先确定各顶点的对应点：将△ABC的三个顶点A、B、C分别按“先向下平移3个单位，再向右平移5个单位”的规则移动，得到对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点，即可得到平移后的三角形。
【解析】
(1)观察线段AB可知：从A到B，水平方向向右走2个单位长度，竖直方向向上走3个单位长度。根据平移后线段平行的性质，从点C出发，沿相同方向（向右2格、向上3格）移动得到格点D₁，或沿相反方向（向左2格、向下3格）移动得到格点D₂，任选其中一个点D，都满足CD//AB。
(2)①对顶点A进行平移：先向下数3个小格，再向右数5个小格，得到对应点A₁；
②用同样的方法，分别将点B、点C按要求平移，得到对应点B₁、C₁；
③顺次连接A₁、B₁、C₁，所得的△A₁B₁C₁就是平移后的图形。
【答案】
(1)点 D 如图所示(点$D_1,D_2$选择其一即可)。
(2)三角形$A_1B_1C_1$如图所示。
【知识点】
平行线的判定；平移的性质；网格作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对平行线特征和平移操作规则的掌握，作图时要注意准确数清移动的格数，确保对应点位置正确，连线清晰规范。
【难度系数】
0.8
(1)要作直线CD平行于AB，可结合平移的性质：平移后的线段与原线段平行。先观察AB的平移规律：从点A到点B，水平向右移动2格，竖直向上移动3格，将AB平移使点A的对应点为点C，或点B的对应点为点C，得到的另一个端点就是符合要求的格点D。
(2)平移作图需先确定各顶点的对应点：将△ABC的三个顶点A、B、C分别按“先向下平移3个单位，再向右平移5个单位”的规则移动，得到对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点，即可得到平移后的三角形。
【解析】
(1)观察线段AB可知：从A到B，水平方向向右走2个单位长度，竖直方向向上走3个单位长度。根据平移后线段平行的性质，从点C出发，沿相同方向（向右2格、向上3格）移动得到格点D₁，或沿相反方向（向左2格、向下3格）移动得到格点D₂，任选其中一个点D，都满足CD//AB。
(2)①对顶点A进行平移：先向下数3个小格，再向右数5个小格，得到对应点A₁；
②用同样的方法，分别将点B、点C按要求平移，得到对应点B₁、C₁；
③顺次连接A₁、B₁、C₁，所得的△A₁B₁C₁就是平移后的图形。
【答案】
(1)点 D 如图所示(点$D_1,D_2$选择其一即可)。
(2)三角形$A_1B_1C_1$如图所示。
【知识点】
平行线的判定；平移的性质；网格作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对平行线特征和平移操作规则的掌握，作图时要注意准确数清移动的格数，确保对应点位置正确，连线清晰规范。
【难度系数】
0.8
12. (1)如图 1，$∠ ABC+∠ ECB=180°$，$∠ P=∠ Q$，试说明$∠ 1=∠ 2$；
(2)如图 2，$AB// CD$，$∠ 1=∠ 2$，试说明$∠ EFM=∠ NMF$.
(2)如图 2，$AB// CD$，$∠ 1=∠ 2$，试说明$∠ EFM=∠ NMF$.
答案
12.解:(1)因为$∠ABC+∠ECB=180°$,所以$AB// DE$,所以$∠ABC=∠BCD$. 因为$∠P=∠Q$,所以$PB// CQ$,所以$∠PBC=∠BCQ$. 因为$∠1=∠ABC-∠PBC$,$∠2=∠BCD-∠BCQ$,所以$∠1=∠2$.
(2)如题图,延长 EF 交 CD 于点 G. 因为$AB// CD$,所以$∠1=∠EGD$. 因为$∠1=∠2$,所以$∠EGD=∠2$,所以$EF// MN$,所以$∠EFM=∠NMF$.
(2)如题图,延长 EF 交 CD 于点 G. 因为$AB// CD$,所以$∠1=∠EGD$. 因为$∠1=∠2$,所以$∠EGD=∠2$,所以$EF// MN$,所以$∠EFM=∠NMF$.
解析
【分析】
(1) 首先由已知∠ABC+∠ECB=180°，根据同旁内角互补可判定AB//DE，得到内错角∠ABC=∠BCD；再由∠P=∠Q，根据内错角相等可判定PB//CQ，得到内错角∠PBC=∠BCQ；最后利用角的和差关系，用相等的大角分别减去相等的小角，即可推导出∠1=∠2。
(2) 要证∠EFM=∠NMF，只需证EF//MN即可。通过延长EF交CD于点G构造辅助线，先利用AB//CD的性质得到∠1=∠EGD，结合已知∠1=∠2可推出∠EGD=∠2，即可判定EF//MN，再根据平行线的性质就能得到∠EFM=∠NMF。
【解析】
(1) 因为∠ABC+∠ECB=180°（已知），所以AB//DE（同旁内角互补，两直线平行），所以∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
因为∠P=∠Q（已知），所以PB//CQ（内错角相等，两直线平行），所以∠PBC=∠BCQ（两直线平行，内错角相等）。
因为∠1=∠ABC-∠PBC，∠2=∠BCD-∠BCQ（角的和差定义），所以∠1=∠2（等量代换）。
(2) 延长EF交CD于点G。
因为AB//CD（已知），所以∠1=∠EGD（两直线平行，内错角相等）。
因为∠1=∠2（已知），所以∠EGD=∠2（等量代换），所以EF//MN（同位角相等，两直线平行），所以∠EFM=∠NMF（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) 因为$∠ABC+∠ECB=180°$,所以$AB// DE$,所以$∠ABC=∠BCD$. 因为$∠P=∠Q$,所以$PB// CQ$,所以$∠PBC=∠BCQ$. 因为$∠1=∠ABC-∠PBC$,$∠2=∠BCD-∠BCQ$,所以$∠1=∠2$.
(2) 如题图,延长 EF 交 CD 于点 G. 因为$AB// CD$,所以$∠1=∠EGD$. 因为$∠1=∠2$,所以$∠EGD=∠2$,所以$EF// MN$,所以$∠EFM=∠NMF$.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相交线与平行线章节的常规题型，重点考查平行线判定与性质的综合运用，解题核心是能根据已知条件实现直线平行关系和角的数量关系的互相转化，第二问需要结合待证结论合理构造辅助线，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由已知∠ABC+∠ECB=180°，根据同旁内角互补可判定AB//DE，得到内错角∠ABC=∠BCD；再由∠P=∠Q，根据内错角相等可判定PB//CQ，得到内错角∠PBC=∠BCQ；最后利用角的和差关系，用相等的大角分别减去相等的小角，即可推导出∠1=∠2。
(2) 要证∠EFM=∠NMF，只需证EF//MN即可。通过延长EF交CD于点G构造辅助线，先利用AB//CD的性质得到∠1=∠EGD，结合已知∠1=∠2可推出∠EGD=∠2，即可判定EF//MN，再根据平行线的性质就能得到∠EFM=∠NMF。
【解析】
(1) 因为∠ABC+∠ECB=180°（已知），所以AB//DE（同旁内角互补，两直线平行），所以∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
因为∠P=∠Q（已知），所以PB//CQ（内错角相等，两直线平行），所以∠PBC=∠BCQ（两直线平行，内错角相等）。
因为∠1=∠ABC-∠PBC，∠2=∠BCD-∠BCQ（角的和差定义），所以∠1=∠2（等量代换）。
(2) 延长EF交CD于点G。
因为AB//CD（已知），所以∠1=∠EGD（两直线平行，内错角相等）。
因为∠1=∠2（已知），所以∠EGD=∠2（等量代换），所以EF//MN（同位角相等，两直线平行），所以∠EFM=∠NMF（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) 因为$∠ABC+∠ECB=180°$,所以$AB// DE$,所以$∠ABC=∠BCD$. 因为$∠P=∠Q$,所以$PB// CQ$,所以$∠PBC=∠BCQ$. 因为$∠1=∠ABC-∠PBC$,$∠2=∠BCD-∠BCQ$,所以$∠1=∠2$.
(2) 如题图,延长 EF 交 CD 于点 G. 因为$AB// CD$,所以$∠1=∠EGD$. 因为$∠1=∠2$,所以$∠EGD=∠2$,所以$EF// MN$,所以$∠EFM=∠NMF$.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相交线与平行线章节的常规题型，重点考查平行线判定与性质的综合运用，解题核心是能根据已知条件实现直线平行关系和角的数量关系的互相转化，第二问需要结合待证结论合理构造辅助线，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
