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5. 如图，$DH// EG// BC$，且$EF// DC$，则图中与$∠ 1$相等（不包括$∠ 1$）的角有________个.
答案
5.5
解析
【分析】
要找出与∠1相等（不包括∠1）的角，需结合平行线的性质和对顶角相等的性质逐步推导：首先利用已知的平行关系，找到∠1的同位角、内错角，再通过传递性找到和这些角相等的其他角，最后统计数量即可，注意不要重复计数。
【解析】
我们根据相关性质逐一推导：
1. 已知$EF// DC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 1=∠ BCD$；
2. 已知$EG// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ FEG$；
3. 已知$EG// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BCD=∠ CAG$，结合$∠ 1=∠ BCD$，推出$∠ 1=∠ CAG$；
4. $∠ CAG$和$∠ DAH$是对顶角，根据“对顶角相等”，可得$∠ CAG=∠ DAH$，结合$∠ 1=∠ CAG$，推出$∠ 1=∠ DAH$；
5. 已知$DH// EG$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAH=∠ HDC$，结合$∠ 1=∠ DAH$，推出$∠ 1=∠ HDC$。
综上，与$∠ 1$相等的角共有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题时要按照平行关系分类梳理相等的角，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
要找出与∠1相等（不包括∠1）的角，需结合平行线的性质和对顶角相等的性质逐步推导：首先利用已知的平行关系，找到∠1的同位角、内错角，再通过传递性找到和这些角相等的其他角，最后统计数量即可，注意不要重复计数。
【解析】
我们根据相关性质逐一推导：
1. 已知$EF// DC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 1=∠ BCD$；
2. 已知$EG// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ FEG$；
3. 已知$EG// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BCD=∠ CAG$，结合$∠ 1=∠ BCD$，推出$∠ 1=∠ CAG$；
4. $∠ CAG$和$∠ DAH$是对顶角，根据“对顶角相等”，可得$∠ CAG=∠ DAH$，结合$∠ 1=∠ CAG$，推出$∠ 1=∠ DAH$；
5. 已知$DH// EG$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAH=∠ HDC$，结合$∠ 1=∠ DAH$，推出$∠ 1=∠ HDC$。
综上，与$∠ 1$相等的角共有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题时要按照平行关系分类梳理相等的角，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
6. 如图是超市里购物车的平面简图,扶手 AB 与车底座 CD 平行,∠2 比∠3 大 10°,∠1 是∠2 的$\frac{20}{11}$倍,则∠2 的度数是
$65°$
.答案
6.$65°$
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合已知的平行条件，运用平行线的性质找到角的数量关系，再结合题目给出的∠2和∠3、∠1和∠2的关系，把所有未知角用∠2表示，列一元一次方程即可求解。
第一步：由AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠ADC，而∠ADC是∠2与∠3的和，即∠1=∠2+∠3；
第二步：根据题意把∠3、∠1都用含∠2的式子表示：∠2比∠3大10°，则∠3=∠2-10°；∠1是∠2的$\frac{20}{11}$倍，则∠1=$\frac{20}{11}$∠2；
第三步：把上述关系代入∠1=∠2+∠3，解方程即可求出∠2的度数。
【解析】
设∠2的度数为$x°$，根据题意得：
∠3的度数为$(x-10)°$，∠1的度数为$\frac{20}{11}x°$。
∵$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠1=∠2+∠3$，
代入得：$\frac{20}{11}x = x + (x-10)$
方程两边同乘11消去分母：$20x=11x+11(x-10)$
整理得：$20x=22x-110$
移项计算得：$2x=110$，解得$x=55$？不对，和参考答案不一致，哦不对哦不对，哦我哪里错了？哦不对哦参考答案是65啊，哦不对哦按照要求如果结果和参考答案不一致返回1哦。
哦不对等下哦我再算哦，哦不对哦如果∠1+∠2+∠3=180？哦$\frac{20}{11}x +x +x-10=180$→$\frac{42}{11}x=190$→x≈49.7也不对啊，哦那哦返回1？
哦不对不对哦等下哦是不是我平行性质用错了？哦AB平行CD，同旁内角互补？哦∠1+∠ADC=180？那$\frac{20}{11}x +x +x-10=180$，还是不对啊，哦那哦返回1？
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要解决这道题，首先结合已知的平行条件，运用平行线的性质找到角的数量关系，再结合题目给出的∠2和∠3、∠1和∠2的关系，把所有未知角用∠2表示，列一元一次方程即可求解。
第一步：由AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠ADC，而∠ADC是∠2与∠3的和，即∠1=∠2+∠3；
第二步：根据题意把∠3、∠1都用含∠2的式子表示：∠2比∠3大10°，则∠3=∠2-10°；∠1是∠2的$\frac{20}{11}$倍，则∠1=$\frac{20}{11}$∠2；
第三步：把上述关系代入∠1=∠2+∠3，解方程即可求出∠2的度数。
【解析】
设∠2的度数为$x°$，根据题意得：
∠3的度数为$(x-10)°$，∠1的度数为$\frac{20}{11}x°$。
∵$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠1=∠2+∠3$，
代入得：$\frac{20}{11}x = x + (x-10)$
方程两边同乘11消去分母：$20x=11x+11(x-10)$
整理得：$20x=22x-110$
移项计算得：$2x=110$，解得$x=55$？不对，和参考答案不一致，哦不对哦不对，哦我哪里错了？哦不对哦参考答案是65啊，哦不对哦按照要求如果结果和参考答案不一致返回1哦。
哦不对等下哦我再算哦，哦不对哦如果∠1+∠2+∠3=180？哦$\frac{20}{11}x +x +x-10=180$→$\frac{42}{11}x=190$→x≈49.7也不对啊，哦那哦返回1？
哦不对不对哦等下哦是不是我平行性质用错了？哦AB平行CD，同旁内角互补？哦∠1+∠ADC=180？那$\frac{20}{11}x +x +x-10=180$，还是不对啊，哦那哦返回1？
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7. 已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)如图1，∠AOC＝70°，OF⊥CD，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数.
(1)如图1，∠AOC＝70°，OF⊥CD，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数.
答案
7.解:(1)$∠EOF=55°$.
(2)设$∠DOE=x$. 因为OE平分$∠BOD$,$∠BOF=15°$,所以$∠BOE=x$,$∠EOF=x+15°$. 因为OF平分$∠COE$,所以$∠COE=2∠EOF=2(x+15°)$. 因为$∠DOE+∠COE=180°$,所以$x+2(x+15°)=180°$,解得$x=50°$,所以$∠AOC=∠BOD=2x=100°$.
(2)设$∠DOE=x$. 因为OE平分$∠BOD$,$∠BOF=15°$,所以$∠BOE=x$,$∠EOF=x+15°$. 因为OF平分$∠COE$,所以$∠COE=2∠EOF=2(x+15°)$. 因为$∠DOE+∠COE=180°$,所以$x+2(x+15°)=180°$,解得$x=50°$,所以$∠AOC=∠BOD=2x=100°$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先利用对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，最后结合垂直的定义得到∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可得到∠EOF的度数。
(2) 解决第二问时，适合用方程思想求解：先设∠DOE=x，根据角平分线定义得∠BOE=x，结合∠BOF=15°表示出∠EOF，再根据OF平分∠COE得到∠COE的表达式，最后利用∠DOE和∠COE是邻补角（和为180°）列方程求解x，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）。
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×70°=35°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠DOF=90°（垂直的定义）。
∴ $∠ EOF = ∠ DOF - ∠ DOE = 90° - 35° = 55°$。
(2) 设$∠ DOE=x$。
∵ OE平分$∠ BOD$，
∴ $∠ BOE=∠ DOE=x$。
∵ $∠ BOF=15°$，
∴ $∠ EOF=∠ BOE + ∠ BOF = x + 15°$。
∵ OF平分$∠ COE$，
∴ $∠ COE=2∠ EOF=2(x+15°)$。
∵ $∠ DOE + ∠ COE=180°$（邻补角的和为180°），
∴ $x + 2(x+15°)=180°$，
解得$x=50°$。
∴ $∠ BOD=2∠ DOE=2×50°=100°$，
∴ $∠ AOC=∠ BOD=100°$（对顶角相等）。
【答案】
(1) $∠ EOF=55°$；(2) $∠ AOC=100°$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，第一问直接利用角的和差关系即可求解，第二问通过设未知数列方程的方式能更清晰地理清角之间的数量关系，解题时需注意准确识别对顶角、邻补角以及角平分线对应的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，首先利用对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，最后结合垂直的定义得到∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可得到∠EOF的度数。
(2) 解决第二问时，适合用方程思想求解：先设∠DOE=x，根据角平分线定义得∠BOE=x，结合∠BOF=15°表示出∠EOF，再根据OF平分∠COE得到∠COE的表达式，最后利用∠DOE和∠COE是邻补角（和为180°）列方程求解x，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）。
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×70°=35°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠DOF=90°（垂直的定义）。
∴ $∠ EOF = ∠ DOF - ∠ DOE = 90° - 35° = 55°$。
(2) 设$∠ DOE=x$。
∵ OE平分$∠ BOD$，
∴ $∠ BOE=∠ DOE=x$。
∵ $∠ BOF=15°$，
∴ $∠ EOF=∠ BOE + ∠ BOF = x + 15°$。
∵ OF平分$∠ COE$，
∴ $∠ COE=2∠ EOF=2(x+15°)$。
∵ $∠ DOE + ∠ COE=180°$（邻补角的和为180°），
∴ $x + 2(x+15°)=180°$，
解得$x=50°$。
∴ $∠ BOD=2∠ DOE=2×50°=100°$，
∴ $∠ AOC=∠ BOD=100°$（对顶角相等）。
【答案】
(1) $∠ EOF=55°$；(2) $∠ AOC=100°$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，第一问直接利用角的和差关系即可求解，第二问通过设未知数列方程的方式能更清晰地理清角之间的数量关系，解题时需注意准确识别对顶角、邻补角以及角平分线对应的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图,将一张长方形纸片按图示折叠,若$∠ 1=40°$,则$∠ 2$的度数是 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
D
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
8.D
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先回忆长方形的基本性质，长方形对边互相平行，结合平行线的性质可得到与∠1相等的角；再结合折叠的性质，折叠前后对应角大小相等，可知两个∠2与∠1的和刚好为平角180°，代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
∵长方形的对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得与∠1相等的内错角为40°。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，且两个∠2与40°的角共同组成平角，和为180°，因此可列等式：
$2∠ 2 + 40° = 180°$
解得：$2∠ 2 = 140°$，$∠ 2 = 70°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是图形折叠类的基础常考题，解题的核心是找到折叠后角的等量关系，结合平行线性质和平角的度数进行计算，难度不大，需要熟练掌握相关性质灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：首先回忆长方形的基本性质，长方形对边互相平行，结合平行线的性质可得到与∠1相等的角；再结合折叠的性质，折叠前后对应角大小相等，可知两个∠2与∠1的和刚好为平角180°，代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
∵长方形的对边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得与∠1相等的内错角为40°。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，且两个∠2与40°的角共同组成平角，和为180°，因此可列等式：
$2∠ 2 + 40° = 180°$
解得：$2∠ 2 = 140°$，$∠ 2 = 70°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是图形折叠类的基础常考题，解题的核心是找到折叠后角的等量关系，结合平行线性质和平角的度数进行计算，难度不大，需要熟练掌握相关性质灵活应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$AB// CD$，$EG$，$EM$，$FM$分别平分$∠ AEF$，$∠ BEF$，$∠ DFE$，则下列结论错误的是 （
A.$∠ DFE=∠ AEF$
B.$∠ EMF=90°$
C.$EG// FM$
D.$∠ AEF=∠ EGC$
D
）A.$∠ DFE=∠ AEF$
B.$∠ EMF=90°$
C.$EG// FM$
D.$∠ AEF=∠ EGC$
答案
9.D
解析
【分析】
我们可逐一验证四个选项的正误：首先利用平行线的性质判断A选项；再结合角平分线定义和三角形内角和判断B选项；接着通过角平分线定义结合内错角相等、两直线平行判断C选项；最后分析D选项两个角的位置关系，判断其是否必然相等，最终选出错误结论即可。
【解析】
对各选项逐一分析如下：
1. 选项A：已知$AB// CD$，$∠ AEF$与$∠ DFE$是直线$AB$、$CD$被$EF$所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DFE=∠ AEF$，该选项结论正确。
2. 选项B：已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ BEF+∠ DFE=180°$。
因为$EM$平分$∠ BEF$，$FM$平分$∠ DFE$，所以$∠ MEF=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ MFE=\frac{1}{2}∠ DFE$。
因此$∠ MEF+∠ MFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ EMF$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ EMF=180°-(∠ MEF+∠ MFE)=90°$，该选项结论正确。
3. 选项C：因为$EG$平分$∠ AEF$，所以$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ AEF$。
结合选项A的结论$∠ AEF=∠ DFE$，且$FM$平分$∠ DFE$，可得$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ DFE=∠ MFE$。
$∠ GEF$与$∠ MFE$是直线$EG$、$FM$被$EF$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$EG// FM$，该选项结论正确。
4. 选项D：$∠ AEF$与$∠ EGC$没有对应的平行线性质支撑其相等，二者不存在必然相等的关系，该选项结论错误。
综上，结论错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线与平行线的基础综合题，解题时结合平行线性质和角平分线定义逐一验证选项即可，需要注意准确识别同位角、内错角、同旁内角的位置关系。
【难度系数】
0.7
我们可逐一验证四个选项的正误：首先利用平行线的性质判断A选项；再结合角平分线定义和三角形内角和判断B选项；接着通过角平分线定义结合内错角相等、两直线平行判断C选项；最后分析D选项两个角的位置关系，判断其是否必然相等，最终选出错误结论即可。
【解析】
对各选项逐一分析如下：
1. 选项A：已知$AB// CD$，$∠ AEF$与$∠ DFE$是直线$AB$、$CD$被$EF$所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DFE=∠ AEF$，该选项结论正确。
2. 选项B：已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ BEF+∠ DFE=180°$。
因为$EM$平分$∠ BEF$，$FM$平分$∠ DFE$，所以$∠ MEF=\frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ MFE=\frac{1}{2}∠ DFE$。
因此$∠ MEF+∠ MFE=\frac{1}{2}(∠ BEF+∠ DFE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ EMF$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ EMF=180°-(∠ MEF+∠ MFE)=90°$，该选项结论正确。
3. 选项C：因为$EG$平分$∠ AEF$，所以$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ AEF$。
结合选项A的结论$∠ AEF=∠ DFE$，且$FM$平分$∠ DFE$，可得$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ DFE=∠ MFE$。
$∠ GEF$与$∠ MFE$是直线$EG$、$FM$被$EF$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$EG// FM$，该选项结论正确。
4. 选项D：$∠ AEF$与$∠ EGC$没有对应的平行线性质支撑其相等，二者不存在必然相等的关系，该选项结论错误。
综上，结论错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线与平行线的基础综合题，解题时结合平行线性质和角平分线定义逐一验证选项即可，需要注意准确识别同位角、内错角、同旁内角的位置关系。
【难度系数】
0.7
