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13.【问题情境】已知$∠ 1=∠ 2$，$EG$平分$∠ AEC$交$BD$于点$G$.
【问题探究】(1)如图1，若$∠ MAE=45°$，$∠ FEG=15°$，$∠ NCE=75°$，试判断$EF$与$CD$的位置关系，并说明理由；
【问题解决】(2)如图2，若$∠ MAE=140°$，$∠ FEG=30°$，当$AB// CD$时，求$∠ NCE$的度数；
【问题拓展】(3)如图2，若$AB// CD$，试说明$∠ NCE=∠ MAE-2∠ FEG$.
【问题探究】(1)如图1，若$∠ MAE=45°$，$∠ FEG=15°$，$∠ NCE=75°$，试判断$EF$与$CD$的位置关系，并说明理由；
【问题解决】(2)如图2，若$∠ MAE=140°$，$∠ FEG=30°$，当$AB// CD$时，求$∠ NCE$的度数；
【问题拓展】(3)如图2，若$AB// CD$，试说明$∠ NCE=∠ MAE-2∠ FEG$.
答案
13.解:(1)$EF// CD$. 理由略.
(2)因为$∠1=∠2$,所以$AB// EF$,所以$∠FEA+∠MAE=180°$,所以$∠FEA=180°-∠MAE=40°$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=70°$. 因为 EG 平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=70°$,所以$∠FEC=∠FEG+∠CEG=100°$. 因为$AB// CD$,所以$EF// CD$,所以$∠NCE+∠FEC=180°$,所以$∠NCE=80°$.
(3)因为$∠1=∠2$,所以$AB// EF$,所以$∠MAE+∠FEA=180°$,所以$∠FEA=180°-∠MAE$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG$. 因为 EG 平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG$,所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°-∠MAE+2∠FEG$. 因为$AB// CD$,$AB// EF$,所以$EF// CD$,所以$∠FEC+∠NCE=180°$,所以$180°-∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°$,所以$∠NCE=∠MAE-2∠FEG$.
(2)因为$∠1=∠2$,所以$AB// EF$,所以$∠FEA+∠MAE=180°$,所以$∠FEA=180°-∠MAE=40°$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=70°$. 因为 EG 平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=70°$,所以$∠FEC=∠FEG+∠CEG=100°$. 因为$AB// CD$,所以$EF// CD$,所以$∠NCE+∠FEC=180°$,所以$∠NCE=80°$.
(3)因为$∠1=∠2$,所以$AB// EF$,所以$∠MAE+∠FEA=180°$,所以$∠FEA=180°-∠MAE$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG$. 因为 EG 平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG$,所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°-∠MAE+2∠FEG$. 因为$AB// CD$,$AB// EF$,所以$EF// CD$,所以$∠FEC+∠NCE=180°$,所以$180°-∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°$,所以$∠NCE=∠MAE-2∠FEG$.
解析
【分析】
(1) 首先由已知∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可判定AB//EF；再结合已知角度计算出相关角的度数，验证EF与CD满足平行的判定条件，即可判断二者位置关系。
(2) 第一步先由∠1=∠2推出AB//EF，利用平行线同旁内角互补求出∠FEA的度数，加上∠FEG得到∠AEG；再根据EG平分∠AEC，得到∠CEG=∠AEG，进而求出∠FEC的度数；最后由AB//CD推出EF//CD，再次利用同旁内角互补即可求出∠NCE的度数。
(3) 沿用第(2)问的推导逻辑，将具体角度替换为代数式，逐步推导∠FEC与∠MAE、∠FEG的数量关系，再结合EF//CD时∠FEC与∠NCE互补的性质，化简后即可证明给出的等式。
【解析】
(1) $EF// CD$，理由如下：
因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠MAE + ∠FEA = 180°$，已知$∠MAE=45°$，所以$∠FEA=180°-45°=135°$。
因为$∠FEG=15°$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=135°+15°=150°$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠CEG=∠AEG=150°$，所以$∠FEC=∠CEG - ∠FEG=150°-15°=135°$。
已知$∠NCE=75°$，可得$∠FEC + ∠NCE=135°+75°=180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，所以$EF// CD$。
(2) 因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠FEA+∠MAE=180°$，所以$∠FEA=180°-∠MAE=180°-140°=40°$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=40°+30°=70°$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠CEG=∠AEG=70°$，所以$∠FEC=∠FEG+∠CEG=30°+70°=100°$。
因为$AB// CD$，$AB// EF$，所以$EF// CD$，所以$∠NCE+∠FEC=180°$，所以$∠NCE=180°-100°=80°$。
(3) 因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠MAE+∠FEA=180°$，所以$∠FEA=180°-∠MAE$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠GEC=∠AEG$，所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°-∠MAE+2∠FEG$。
因为$AB// CD$，$AB// EF$，所以$EF// CD$，所以$∠FEC+∠NCE=180°$，所以$180°-∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°$，化简可得$∠NCE=∠MAE-2∠FEG$。
【答案】
(1) $EF// CD$；
(2) $∠ NCE=80°$；
(3) $∠ NCE=∠ MAE-2∠ FEG$成立。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线的综合应用题，需要熟练掌握平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义，解题核心是理清角与角之间的数量关系，通过逐步推导转化得到结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先由已知∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可判定AB//EF；再结合已知角度计算出相关角的度数，验证EF与CD满足平行的判定条件，即可判断二者位置关系。
(2) 第一步先由∠1=∠2推出AB//EF，利用平行线同旁内角互补求出∠FEA的度数，加上∠FEG得到∠AEG；再根据EG平分∠AEC，得到∠CEG=∠AEG，进而求出∠FEC的度数；最后由AB//CD推出EF//CD，再次利用同旁内角互补即可求出∠NCE的度数。
(3) 沿用第(2)问的推导逻辑，将具体角度替换为代数式，逐步推导∠FEC与∠MAE、∠FEG的数量关系，再结合EF//CD时∠FEC与∠NCE互补的性质，化简后即可证明给出的等式。
【解析】
(1) $EF// CD$，理由如下：
因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠MAE + ∠FEA = 180°$，已知$∠MAE=45°$，所以$∠FEA=180°-45°=135°$。
因为$∠FEG=15°$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=135°+15°=150°$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠CEG=∠AEG=150°$，所以$∠FEC=∠CEG - ∠FEG=150°-15°=135°$。
已知$∠NCE=75°$，可得$∠FEC + ∠NCE=135°+75°=180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，所以$EF// CD$。
(2) 因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠FEA+∠MAE=180°$，所以$∠FEA=180°-∠MAE=180°-140°=40°$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=40°+30°=70°$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠CEG=∠AEG=70°$，所以$∠FEC=∠FEG+∠CEG=30°+70°=100°$。
因为$AB// CD$，$AB// EF$，所以$EF// CD$，所以$∠NCE+∠FEC=180°$，所以$∠NCE=180°-100°=80°$。
(3) 因为$∠1=∠2$，所以$AB// EF$，所以$∠MAE+∠FEA=180°$，所以$∠FEA=180°-∠MAE$，所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG$。
因为$EG$平分$∠AEC$，所以$∠GEC=∠AEG$，所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°-∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°-∠MAE+2∠FEG$。
因为$AB// CD$，$AB// EF$，所以$EF// CD$，所以$∠FEC+∠NCE=180°$，所以$180°-∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°$，化简可得$∠NCE=∠MAE-2∠FEG$。
【答案】
(1) $EF// CD$；
(2) $∠ NCE=80°$；
(3) $∠ NCE=∠ MAE-2∠ FEG$成立。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线的综合应用题，需要熟练掌握平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义，解题核心是理清角与角之间的数量关系，通过逐步推导转化得到结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
