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1. 下列实数为无理数的是 (
A.2 025
B.$\dfrac{22}{7}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt[3]{27}$
C
)A.2 025
B.$\dfrac{22}{7}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt[3]{27}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。接下来我们逐一分析每个选项，排除属于有理数的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A. 2025是正整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$\sqrt{8}$是无理数，符合题意；
D. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、有理数的概念、根式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的判别，解题的关键是区分有理数和无理数的范畴，尤其要注意开方运算需要先化简再判断是否为无理数，避免误判开方能开尽的根式为无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。接下来我们逐一分析每个选项，排除属于有理数的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A. 2025是正整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$\sqrt{8}$是无理数，符合题意；
D. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、有理数的概念、根式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的判别，解题的关键是区分有理数和无理数的范畴，尤其要注意开方运算需要先化简再判断是否为无理数，避免误判开方能开尽的根式为无理数。
【难度系数】
0.8
2. 若$ x $的值使不等式$ 3(1 - 2x) ＞ -3x $与$ 4x + 10 ＞ -14 $均成立，则$ x $的取值范围是 （
A.$ x ＜ -6 $
B.$ x ＞ -6 $
C.$ 1 ＜ x ＜ 6 $
D.$ -6 ＜ x ＜ 1 $
D
）A.$ x ＜ -6 $
B.$ x ＞ -6 $
C.$ 1 ＜ x ＜ 6 $
D.$ -6 ＜ x ＜ 1 $
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求同时满足两个不等式的x的取值范围，解题思路为：先分别求解每个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分即可。解不等式时要注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向需要改变，最后可借助解集判断口诀“大小小大中间找”快速确定公共范围。
【解析】
1. 解不等式$3(1 - 2x) ＞ -3x$：
去括号得：$3 - 6x ＞ -3x$
移项得：$-6x + 3x ＞ -3$
合并同类项得：$-3x ＞ -3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 1$
2. 解不等式$4x + 10 ＞ -14$：
移项得：$4x ＞ -14 -10$
合并同类项得：$4x ＞ -24$
系数化为1得：$x ＞ -6$
3. 取两个解集的公共部分，可得x的取值范围为$-6 ＜ x ＜ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元一次不等式的求解规则和公共解集的判断方法，只要熟练掌握解不等式的步骤，注意不等号方向的变化规律，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题要求同时满足两个不等式的x的取值范围，解题思路为：先分别求解每个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分即可。解不等式时要注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向需要改变，最后可借助解集判断口诀“大小小大中间找”快速确定公共范围。
【解析】
1. 解不等式$3(1 - 2x) ＞ -3x$：
去括号得：$3 - 6x ＞ -3x$
移项得：$-6x + 3x ＞ -3$
合并同类项得：$-3x ＞ -3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 1$
2. 解不等式$4x + 10 ＞ -14$：
移项得：$4x ＞ -14 -10$
合并同类项得：$4x ＞ -24$
系数化为1得：$x ＞ -6$
3. 取两个解集的公共部分，可得x的取值范围为$-6 ＜ x ＜ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元一次不等式的求解规则和公共解集的判断方法，只要熟练掌握解不等式的步骤，注意不等号方向的变化规律，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图,将一直角三角形放于一对平行线上,量得$∠1=63°$,则$∠2=$ （
A.$143°$
B.$147°$
C.$153°$
D.$157°$
C
）A.$143°$
B.$147°$
C.$153°$
D.$157°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，有一组平行线和直角三角形，首先利用平行线的同位角相等性质，将已知的∠1转化为直角三角形的一个锐角；再根据直角三角形两锐角互余，算出直角三角形的另一个锐角；最后利用邻补角的和为180°，即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 两条直线平行，同位角相等
∴ 与∠1是同位角的锐角等于∠1=63°
∵ 该三角形为直角三角形，两个锐角互余
∴ 直角三角形的另一个锐角为：$90°-63°=27°$
∵ ∠2和这个27°的角互为邻补角，两角和为$180°$
∴ $∠2=180°-27°=153°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质，邻补角定义
【点评】
本题是几何角度计算的基础常考题型，核心是通过平行线的性质实现已知角到三角形内的转化，结合直角三角形和邻补角的性质求解，解题时要准确识别同位角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，有一组平行线和直角三角形，首先利用平行线的同位角相等性质，将已知的∠1转化为直角三角形的一个锐角；再根据直角三角形两锐角互余，算出直角三角形的另一个锐角；最后利用邻补角的和为180°，即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 两条直线平行，同位角相等
∴ 与∠1是同位角的锐角等于∠1=63°
∵ 该三角形为直角三角形，两个锐角互余
∴ 直角三角形的另一个锐角为：$90°-63°=27°$
∵ ∠2和这个27°的角互为邻补角，两角和为$180°$
∴ $∠2=180°-27°=153°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质，邻补角定义
【点评】
本题是几何角度计算的基础常考题型，核心是通过平行线的性质实现已知角到三角形内的转化，结合直角三角形和邻补角的性质求解，解题时要准确识别同位角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
4. $\sqrt{81}$的平方根是________.
答案
4. $\pm 3$
解析
【分析】
解题时要注意不能直接求81的平方根，需分两步思考：第一步先明确$\sqrt{81}$表示的是81的算术平方根，先算出它的具体数值；第二步再对算出的结果求平方根，同时要牢记一个正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{81}$的数值，根据算术平方根的定义，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
第二步：求9的平方根，根据平方根的定义，因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的经典易错题，易错点是直接将题目理解为求81的平方根，得到错误答案$\pm9$。解题时要先化简$\sqrt{81}$得到具体数值后，再求该数值的平方根，同时注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.6
解题时要注意不能直接求81的平方根，需分两步思考：第一步先明确$\sqrt{81}$表示的是81的算术平方根，先算出它的具体数值；第二步再对算出的结果求平方根，同时要牢记一个正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{81}$的数值，根据算术平方根的定义，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
第二步：求9的平方根，根据平方根的定义，因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的经典易错题，易错点是直接将题目理解为求81的平方根，得到错误答案$\pm9$。解题时要先化简$\sqrt{81}$得到具体数值后，再求该数值的平方根，同时注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.6
5. 分解因式：$m(m+8)+9-2m=$______.
答案
5. $(m+3)^2$
解析
【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察原式含有括号和乘法运算，第一步需要先利用单项式乘多项式的法则展开括号，再合并同类项把原式整理为标准的多项式形式，之后观察整理后多项式的结构特征，判断是否符合完全平方公式的结构，进而完成因式分解。
【解析】
解：对原式逐步化简分解：
1. 展开括号：
$m(m+8)+9-2m = m^2 + 8m + 9 - 2m$
2. 合并同类项：
$m^2 + 8m + 9 - 2m = m^2 + 6m + 9$
3. 利用完全平方公式分解：
观察得$m^2 + 6m +9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=m$，$b=3$，因此：
$m^2 +6m +9=(m+3)^2$
【答案】
$(m+3)^2$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是先对原式做化简整理，再结合多项式特征选择对应的分解方法，需注意最终分解结果要为最简整式的乘积形式。
【难度系数】
0.8
拿到这道分解因式的题目，首先观察原式含有括号和乘法运算，第一步需要先利用单项式乘多项式的法则展开括号，再合并同类项把原式整理为标准的多项式形式，之后观察整理后多项式的结构特征，判断是否符合完全平方公式的结构，进而完成因式分解。
【解析】
解：对原式逐步化简分解：
1. 展开括号：
$m(m+8)+9-2m = m^2 + 8m + 9 - 2m$
2. 合并同类项：
$m^2 + 8m + 9 - 2m = m^2 + 6m + 9$
3. 利用完全平方公式分解：
观察得$m^2 + 6m +9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=m$，$b=3$，因此：
$m^2 +6m +9=(m+3)^2$
【答案】
$(m+3)^2$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是先对原式做化简整理，再结合多项式特征选择对应的分解方法，需注意最终分解结果要为最简整式的乘积形式。
【难度系数】
0.8
6. 如图,将大长方形的长缩短$a$,宽缩短$b$,则缩减后的长方形(阴影部分)面积为________.
答案
6. $24+ab-4a-6b$
解析
【分析】要计算阴影部分长方形的面积，首先需要确定它的长和宽：观察图形可得，大长方形的长为6，长缩短a后，阴影部分的长为(6-a)；大长方形的宽为4，宽缩短b后，阴影部分的宽为(4-b)。再结合长方形面积公式，将长和宽代入计算，最后化简代数式即可得到结果。
【解析】
第一步：求阴影长方形的长和宽
阴影部分的长 = 大长方形的长 - 缩短的长度a = $6-a$
阴影部分的宽 = 大长方形的宽 - 缩短的长度b = $4-b$
第二步：根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入得：
$S=(6-a)(4-b)$
第三步：展开并化简多项式：
$\begin{aligned}(6-a)(4-b)&=6×4 - 6× b - a×4 + a× b\\&=24 - 6b -4a +ab\\&=24+ab-4a-6b\end{aligned}$
【答案】$24+ab-4a-6b$
【知识点】列代数式；多项式乘法；整式化简
【点评】本题属于基础的代数式应用类题目，解题的核心是结合图形正确提取阴影部分的边长信息，再按照整式运算规则计算即可，计算时要注意多项式相乘时的符号问题。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：求阴影长方形的长和宽
阴影部分的长 = 大长方形的长 - 缩短的长度a = $6-a$
阴影部分的宽 = 大长方形的宽 - 缩短的长度b = $4-b$
第二步：根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入得：
$S=(6-a)(4-b)$
第三步：展开并化简多项式：
$\begin{aligned}(6-a)(4-b)&=6×4 - 6× b - a×4 + a× b\\&=24 - 6b -4a +ab\\&=24+ab-4a-6b\end{aligned}$
【答案】$24+ab-4a-6b$
【知识点】列代数式；多项式乘法；整式化简
【点评】本题属于基础的代数式应用类题目，解题的核心是结合图形正确提取阴影部分的边长信息，再按照整式运算规则计算即可，计算时要注意多项式相乘时的符号问题。
【难度系数】0.7
7. 小明的爸爸打算用如图所示的一块面积为$1600\ \mathrm{cm}^2$的正方形木板裁出一个面积为$1350\ \mathrm{cm}^2$的长方形桌面(只裁不拼).
(1)求正方形木板的边长.
(2)若要求裁出的桌面的长与宽之比为$3:2$,你认为小明的爸爸能做到吗?如果能,计算出桌面的长和宽;如果不能,请说明理由.
(1)求正方形木板的边长.
(2)若要求裁出的桌面的长与宽之比为$3:2$,你认为小明的爸爸能做到吗?如果能,计算出桌面的长和宽;如果不能,请说明理由.
答案
7.解:(1)正方形木板的边长为 40 cm.
(2)小明的爸爸不能做到. 理由:设裁出的长方形桌面的长与宽分别为 3k cm,2k cm. 根据题意,得 3k · 2k =1 350,整理,得 $k^2=225$,开平方,得 $k=15$(负值舍去),所以 $3k=3×15=45＞40$,所以不能裁出符合要求的长方形桌面.
(2)小明的爸爸不能做到. 理由:设裁出的长方形桌面的长与宽分别为 3k cm,2k cm. 根据题意,得 3k · 2k =1 350,整理,得 $k^2=225$,开平方,得 $k=15$(负值舍去),所以 $3k=3×15=45＞40$,所以不能裁出符合要求的长方形桌面.
解析
【分析】
(1) 已知正方形面积求边长，可利用正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长就是面积的算术平方根，结合边长为正数的实际意义，直接计算1600的算术平方根即可得到结果。
(2) 要判断能否裁出符合要求的长方形，首先根据长宽比3:2设长为3k cm、宽为2k cm（k为正数），再结合长方形面积公式列方程求出k的值，进而得到长方形的长，将长和正方形边长对比，若长不超过正方形边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
(1) 设正方形木板的边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=1600$
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{1600}=40$，即正方形木板的边长为40 cm。
(2) 设裁出的长方形桌面的长为$3k\ \mathrm{cm}$，宽为$2k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$），根据长方形面积公式列方程：
$3k·2k=1350$
整理得$6k^2=1350$，即$k^2=225$。
因为k为正数，所以$k=\sqrt{225}=15$，则长方形的长为$3×15=45\ \mathrm{cm}$。
对比可知$45＞40$，即长方形的长大于正方形木板的边长，因此无法裁出符合要求的长方形桌面。
【答案】
(1) 正方形木板的边长为 40 cm.
(2) 小明的爸爸不能做到. 理由:设裁出的长方形桌面的长与宽分别为 3k cm,2k cm. 根据题意,得 3k · 2k =1 350,整理,得 $k^2=225$,开平方,得 $k=15$(负值舍去),所以 $3k=3×15=45＞40$,所以不能裁出符合要求的长方形桌面.
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实际问题验证
【点评】
本题结合裁剪实际考察平方根的应用，解题时要注意结合实际意义舍去负数解，最后务必验证所求长方形的边长是否适配原有材料的尺寸，避免遗漏验证步骤导致失分。
【难度系数】
0.8
(1) 已知正方形面积求边长，可利用正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长就是面积的算术平方根，结合边长为正数的实际意义，直接计算1600的算术平方根即可得到结果。
(2) 要判断能否裁出符合要求的长方形，首先根据长宽比3:2设长为3k cm、宽为2k cm（k为正数），再结合长方形面积公式列方程求出k的值，进而得到长方形的长，将长和正方形边长对比，若长不超过正方形边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
(1) 设正方形木板的边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式可得：
$a^2=1600$
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{1600}=40$，即正方形木板的边长为40 cm。
(2) 设裁出的长方形桌面的长为$3k\ \mathrm{cm}$，宽为$2k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$），根据长方形面积公式列方程：
$3k·2k=1350$
整理得$6k^2=1350$，即$k^2=225$。
因为k为正数，所以$k=\sqrt{225}=15$，则长方形的长为$3×15=45\ \mathrm{cm}$。
对比可知$45＞40$，即长方形的长大于正方形木板的边长，因此无法裁出符合要求的长方形桌面。
【答案】
(1) 正方形木板的边长为 40 cm.
(2) 小明的爸爸不能做到. 理由:设裁出的长方形桌面的长与宽分别为 3k cm,2k cm. 根据题意,得 3k · 2k =1 350,整理,得 $k^2=225$,开平方,得 $k=15$(负值舍去),所以 $3k=3×15=45＞40$,所以不能裁出符合要求的长方形桌面.
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实际问题验证
【点评】
本题结合裁剪实际考察平方根的应用，解题时要注意结合实际意义舍去负数解，最后务必验证所求长方形的边长是否适配原有材料的尺寸，避免遗漏验证步骤导致失分。
【难度系数】
0.8
