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8. 下表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.
下列判断正确的是（
A.小明设的未知数是高铁列车的平均行驶速度
B.小红设的未知数是乘坐特快列车从甲地到乙地的时间
C.高铁列车的平均行驶速度是 100 km/h
D.特快列车从甲地到乙地的时间是 14 h
下列判断正确的是（
D
）A.小明设的未知数是高铁列车的平均行驶速度
B.小红设的未知数是乘坐特快列车从甲地到乙地的时间
C.高铁列车的平均行驶速度是 100 km/h
D.特快列车从甲地到乙地的时间是 14 h
答案
8.D
解析
【分析】
本题是分式方程的行程类应用题，核心依据是“路程=速度×时间”的变形关系（时间=路程÷速度、速度=路程÷时间）。解题思路如下：第一步先根据两人所列方程的等量关系，判断出两人所设未知数的含义，对应判断A、B选项是否正确；第二步求解方程得到速度、时间的具体数值，再判断C、D选项的正误。
【解析】
1. 分析小明的方程：
小明所列方程为$\frac{1400}{x} - \frac{1400}{2.8x}=9$，其中9是乘坐特快列车比高铁多用的时间，因此$\frac{1400}{x}$是特快列车的行驶时间，$\frac{1400}{2.8x}$是高铁的行驶时间，可知x是特快列车的平均行驶速度，故A选项错误。
2. 分析小红的方程：
小红所列方程为$\frac{1400}{y}=2.8×\frac{1400}{y+9}$，等式左侧是高铁的平均速度，右侧是特快列车平均速度的2.8倍，因此y是高铁的行驶时间，$y+9$是特快列车的行驶时间，故B选项错误。
3. 计算具体数值：
解小明的方程：
化简得$\frac{1400}{x}-\frac{500}{x}=9$，即$\frac{900}{x}=9$，解得$x=100$（检验：x=100是原方程的解，符合实际）。
因此特快列车速度为100km/h，高铁速度为$2.8×100=280\mathrm{km/h}$，故C选项错误。
特快列车从甲地到乙地的时间为$1400÷100=14\mathrm{h}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题重点考查行程问题中等量关系的梳理，需要结合方程的结构准确判断未知数的实际意义，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程的行程类应用题，核心依据是“路程=速度×时间”的变形关系（时间=路程÷速度、速度=路程÷时间）。解题思路如下：第一步先根据两人所列方程的等量关系，判断出两人所设未知数的含义，对应判断A、B选项是否正确；第二步求解方程得到速度、时间的具体数值，再判断C、D选项的正误。
【解析】
1. 分析小明的方程：
小明所列方程为$\frac{1400}{x} - \frac{1400}{2.8x}=9$，其中9是乘坐特快列车比高铁多用的时间，因此$\frac{1400}{x}$是特快列车的行驶时间，$\frac{1400}{2.8x}$是高铁的行驶时间，可知x是特快列车的平均行驶速度，故A选项错误。
2. 分析小红的方程：
小红所列方程为$\frac{1400}{y}=2.8×\frac{1400}{y+9}$，等式左侧是高铁的平均速度，右侧是特快列车平均速度的2.8倍，因此y是高铁的行驶时间，$y+9$是特快列车的行驶时间，故B选项错误。
3. 计算具体数值：
解小明的方程：
化简得$\frac{1400}{x}-\frac{500}{x}=9$，即$\frac{900}{x}=9$，解得$x=100$（检验：x=100是原方程的解，符合实际）。
因此特快列车速度为100km/h，高铁速度为$2.8×100=280\mathrm{km/h}$，故C选项错误。
特快列车从甲地到乙地的时间为$1400÷100=14\mathrm{h}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题重点考查行程问题中等量关系的梳理，需要结合方程的结构准确判断未知数的实际意义，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
9. 若关于 $ x $ 的方程 $ 3 - 2x = 3(k - 2) $ 的解为非负整数，且关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - 2(x - 1) ＜ 3, \\ \dfrac{2k + x}{3} ≥ x\end{cases}$ 有解，则符合条件的整数 $ k $ 的值的和为 （ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
9.B
解析
【分析】
本题需要结合方程解的性质和不等式组有解的条件共同求解：首先先解关于x的一元一次方程，用含k的式子表示x，根据解为非负整数得到k的初步取值范围和满足的奇偶性要求；再解一元一次不等式组，根据不等式组有解的规则得到k的另一取值范围；最后综合两个条件筛选出符合要求的整数k，计算它们的和即可。
【解析】
1. 解方程$3 - 2x = 3(k - 2)$：
移项得：$-2x = 3k - 6 - 3$
合并同类项得：$-2x = 3k - 9$
系数化为1得：$x = \frac{9 - 3k}{2}$
∵方程的解为非负整数
∴$\frac{9 - 3k}{2} ≥ 0$，且$9-3k$是2的非负整数倍
解不等式$\frac{9 - 3k}{2} ≥ 0$得：$9-3k ≥ 0$，即$k ≤ 3$，且$3(3-k)$为偶数，即$3-k$为偶数，k为奇数。
2. 解不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1) ＜ 3, \\ \dfrac{2k + x}{3} ≥ x\end{cases}$
解第一个不等式：
去括号得：$x - 2x + 2 ＜ 3$
移项合并得：$-x ＜ 1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -1$
解第二个不等式：
两边同乘3得：$2k + x ≥ 3x$
移项合并得：$2x ≤ 2k$
系数化为1得：$x ≤ k$
∵不等式组有解，
∴两个解集有公共部分，即$k ＞ -1$
3. 综合条件得：$-1 ＜ k ≤ 3$，且k为整数，同时k为奇数
∴k的可能取值为1、3
它们的和为$1 + 3 = 4$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，不等式组有解的判定
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，解题的关键是分别根据方程解的限定条件和不等式组有解的要求缩小k的取值范围，筛选整数k时要注意不要漏解或多解，计算时要注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.6
本题需要结合方程解的性质和不等式组有解的条件共同求解：首先先解关于x的一元一次方程，用含k的式子表示x，根据解为非负整数得到k的初步取值范围和满足的奇偶性要求；再解一元一次不等式组，根据不等式组有解的规则得到k的另一取值范围；最后综合两个条件筛选出符合要求的整数k，计算它们的和即可。
【解析】
1. 解方程$3 - 2x = 3(k - 2)$：
移项得：$-2x = 3k - 6 - 3$
合并同类项得：$-2x = 3k - 9$
系数化为1得：$x = \frac{9 - 3k}{2}$
∵方程的解为非负整数
∴$\frac{9 - 3k}{2} ≥ 0$，且$9-3k$是2的非负整数倍
解不等式$\frac{9 - 3k}{2} ≥ 0$得：$9-3k ≥ 0$，即$k ≤ 3$，且$3(3-k)$为偶数，即$3-k$为偶数，k为奇数。
2. 解不等式组$\begin{cases}x - 2(x - 1) ＜ 3, \\ \dfrac{2k + x}{3} ≥ x\end{cases}$
解第一个不等式：
去括号得：$x - 2x + 2 ＜ 3$
移项合并得：$-x ＜ 1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -1$
解第二个不等式：
两边同乘3得：$2k + x ≥ 3x$
移项合并得：$2x ≤ 2k$
系数化为1得：$x ≤ k$
∵不等式组有解，
∴两个解集有公共部分，即$k ＞ -1$
3. 综合条件得：$-1 ＜ k ≤ 3$，且k为整数，同时k为奇数
∴k的可能取值为1、3
它们的和为$1 + 3 = 4$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，不等式组有解的判定
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，解题的关键是分别根据方程解的限定条件和不等式组有解的要求缩小k的取值范围，筛选整数k时要注意不要漏解或多解，计算时要注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.6
10. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式$ x^4 - \blacksquare = (x^2 + 9)(x + 3)(x - \blacktriangle) $中的两个数字弄污了，则式子中的$ \blacksquare $，$ \blacktriangle $对应的数字分别是\underline{\hspace{5cm}}。
答案
10. 81,3
解析
【分析】
我们可以利用因式分解和整式乘法互为逆运算的关系解题：首先观察等式右侧的因式，已知有因式$(x^2+9)$，要得到左侧的四次二项式，剩余两个一次因式的乘积应为平方差形式，才能和$(x^2+9)$再次用平方差公式得到四次式。首先根据$(x+3)(x-\blacktriangle)$的结构，结合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，可先推出$\blacktriangle$的值，再将右侧所有因式相乘，和左侧对比就能求出$\blacksquare$的值。
【解析】
解：因为因式分解和整式乘法是互逆运算：
1. 求$\blacktriangle$的值：
观察因式$(x+3)(x-\blacktriangle)$，符合平方差公式的两个一次因式结构，因此$\blacktriangle=3$，此时$(x+3)(x-3)=x^2-9$。
2. 求$\blacksquare$的值：
将右侧所有因式相乘：
$\begin{aligned}(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)&=(x^2 + 9)(x^2 - 9)\\&=x^4 - 81\end{aligned}$
对比左侧$x^4 - \blacksquare = x^4 - 81$，可得$\blacksquare=81$。
【答案】
81，3
【知识点】
平方差公式，因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题考查因式分解的概念和平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过逆推确定未知参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
我们可以利用因式分解和整式乘法互为逆运算的关系解题：首先观察等式右侧的因式，已知有因式$(x^2+9)$，要得到左侧的四次二项式，剩余两个一次因式的乘积应为平方差形式，才能和$(x^2+9)$再次用平方差公式得到四次式。首先根据$(x+3)(x-\blacktriangle)$的结构，结合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，可先推出$\blacktriangle$的值，再将右侧所有因式相乘，和左侧对比就能求出$\blacksquare$的值。
【解析】
解：因为因式分解和整式乘法是互逆运算：
1. 求$\blacktriangle$的值：
观察因式$(x+3)(x-\blacktriangle)$，符合平方差公式的两个一次因式结构，因此$\blacktriangle=3$，此时$(x+3)(x-3)=x^2-9$。
2. 求$\blacksquare$的值：
将右侧所有因式相乘：
$\begin{aligned}(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)&=(x^2 + 9)(x^2 - 9)\\&=x^4 - 81\end{aligned}$
对比左侧$x^4 - \blacksquare = x^4 - 81$，可得$\blacksquare=81$。
【答案】
81，3
【知识点】
平方差公式，因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题考查因式分解的概念和平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过逆推确定未知参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11.将直角三角形 ABC 沿直角边 AB 向右平移 2 个单位长度得到直角三角形 DEF，如图所示.若$AB=4,∠ABC=90^{\circ }$，且三角形 ABC 的面积为 6，求四边形 AEFC 的面积.
答案
11. 12
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质得到相关线段的长度关系，再结合已知的三角形面积求出直角边BC的长度，最后判断四边形AEFC为梯形，代入梯形面积公式计算即可。第一步，根据直角三角形ABC的面积和AB的长，先求出BC的长度；第二步，根据平移的性质得出平移距离即CF、BE的长度，进而求出AE的长度；第三步，明确四边形AEFC的上下底和高，代入面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°，$S_{△ ABC}=6$，$AB=4$，
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$得：
$\frac{1}{2} × AB × BC = 6$，即$\frac{1}{2} × 4 × BC = 6$，解得$BC=3$。
∵ △ABC沿AB向右平移2个单位得到△DEF，
根据平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，且对应线段平行，
∴ $CF=BE=2$，$CF // AE$，$BC ⊥ AE$，
∴ $AE = AB + BE = 4 + 2 = 6$，
四边形AEFC为梯形，上底$CF=2$，下底$AE=6$，高为$BC=3$，
由梯形面积公式得：
$S_{四边形AEFC}=\frac{1}{2} × (CF + AE) × BC = \frac{1}{2} × (2 + 6) × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，三角形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题属于平移性质的基础应用类题目，解题的核心是通过平移的性质确定所求四边形各相关边的长度，再结合面积公式求解，也可通过割补法，用矩形CBEF的面积加△ABC的面积得到结果，解题方法灵活，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平移的性质得到相关线段的长度关系，再结合已知的三角形面积求出直角边BC的长度，最后判断四边形AEFC为梯形，代入梯形面积公式计算即可。第一步，根据直角三角形ABC的面积和AB的长，先求出BC的长度；第二步，根据平移的性质得出平移距离即CF、BE的长度，进而求出AE的长度；第三步，明确四边形AEFC的上下底和高，代入面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°，$S_{△ ABC}=6$，$AB=4$，
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$得：
$\frac{1}{2} × AB × BC = 6$，即$\frac{1}{2} × 4 × BC = 6$，解得$BC=3$。
∵ △ABC沿AB向右平移2个单位得到△DEF，
根据平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，且对应线段平行，
∴ $CF=BE=2$，$CF // AE$，$BC ⊥ AE$，
∴ $AE = AB + BE = 4 + 2 = 6$，
四边形AEFC为梯形，上底$CF=2$，下底$AE=6$，高为$BC=3$，
由梯形面积公式得：
$S_{四边形AEFC}=\frac{1}{2} × (CF + AE) × BC = \frac{1}{2} × (2 + 6) × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平移的性质，三角形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题属于平移性质的基础应用类题目，解题的核心是通过平移的性质确定所求四边形各相关边的长度，再结合面积公式求解，也可通过割补法，用矩形CBEF的面积加△ABC的面积得到结果，解题方法灵活，难度不大。
【难度系数】
0.7
