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12. 某家庭农场销售一种农产品，分为线上、线下两种方式，线上的售价比线下的便宜2元/件.在今年4月份，线上、线下的销售件数相同，且销售金额分别为4 500元、5 000元.
(1)求该种农产品线上的售价.
(2)预计今年8月份，线上的销售件数不多于205，两种方式的总销售件数达到500，总销售金额不多于9 600元.
①若线上、线下的售价都保持不变，则线上的销售件数可能有多少？
②若线上的售价上涨$ a $元/件，线下的售价下降$ a $元/件，在①中各种可能销售件数的情况下，总销售金额总为一个定值，求$ a $的值.
(1)求该种农产品线上的售价.
(2)预计今年8月份，线上的销售件数不多于205，两种方式的总销售件数达到500，总销售金额不多于9 600元.
①若线上、线下的售价都保持不变，则线上的销售件数可能有多少？
②若线上的售价上涨$ a $元/件，线下的售价下降$ a $元/件，在①中各种可能销售件数的情况下，总销售金额总为一个定值，求$ a $的值.
答案
12. 解:(1)设该种农产品线上的售价为 $ x $ 元/件. 由题意,得 $\dfrac{4\ 500}{x}=\dfrac{5\ 000}{x+2}$,解得 $ x=18 $. 经检验, $ x=18 $ 是原方程的根,且符合题意.
答:该种农产品线上的售价为 18 元/件.
(2)①设 8 月份线上的销售件数为 $ m $(其中 $ m ≤ 205 $),则线下的销售件数为 $ (500-m) $. 由题意,得 $ 18m+(18+2)·(500-m) ≤ 9\ 600 $,解得 $ m ≥ 200 $. 因为 $ m $ 是整数,所以 $ m=200,201,202,203,204,205 $,即线上的销售件数可能是 200 或 201 或 202 或 203 或 204 或 205.
②总销售金额是 $ (18+a)m+(20-a)(500-m)=2(a-1)m+10\ 000-500a $. 因为不管 $ m $ 的取值为多少,总销售金额总为一个定值,所以 $ a-1=0 $,所以 $ a=1 $.
答:该种农产品线上的售价为 18 元/件.
(2)①设 8 月份线上的销售件数为 $ m $(其中 $ m ≤ 205 $),则线下的销售件数为 $ (500-m) $. 由题意,得 $ 18m+(18+2)·(500-m) ≤ 9\ 600 $,解得 $ m ≥ 200 $. 因为 $ m $ 是整数,所以 $ m=200,201,202,203,204,205 $,即线上的销售件数可能是 200 或 201 或 202 或 203 或 204 或 205.
②总销售金额是 $ (18+a)m+(20-a)(500-m)=2(a-1)m+10\ 000-500a $. 因为不管 $ m $ 的取值为多少,总销售金额总为一个定值,所以 $ a-1=0 $,所以 $ a=1 $.
解析
【分析】
(1) 要求线上售价，可设线上售价为x元/件，由线上比线下便宜2元可得线下售价为(x+2)元/件；题目给出4月线上线下销售件数相同，根据“销售件数=销售金额÷售价”，可列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) ①设8月线上销售件数为m，已知总销售件数为500，则线下销售件数为(500-m)，结合限制条件“线上销售件数不多于205”“总销售金额不多于9600”列不等式，求解得到m的取值范围，再取整数解即可。
②先根据新的售价写出总销售金额的代数式，要让总金额和m的取值无关，只需让代数式中m的系数为0，即可求出a的值。
【解析】
(1) 设该种农产品线上的售价为$x$元/件，则线下售价为$(x+2)$元/件。
根据4月线上、线下销售件数相同，列方程：
$\dfrac{4\ 500}{x}=\dfrac{5\ 000}{x+2}$
交叉相乘得：$4500(x+2)=5000x$
展开计算得：$4500x + 9000 = 5000x$
移项合并同类项得：$500x=9000$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$x(x+2)=18×20=360≠0$，因此$x=18$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) ①设8月份线上的销售件数为$m$（$m$为正整数），则线下销售件数为$(500 - m)$。
根据题意列不等式：
$18m + 20(500 - m) ≤ 9\ 600$
展开得：$18m + 10000 - 20m ≤ 9600$
移项合并得：$-2m ≤ -400$
不等号两边同时除以-2，方向改变得：$m ≥ 200$
结合已知$m ≤ 205$，且$m$为正整数，可得$m$的取值为200、201、202、203、204、205。
②调整售价后，线上售价为$(18+a)$元/件，线下售价为$(20-a)$元/件，总销售金额为：
$(18+a)m + (20-a)(500 - m)$
展开合并同类项得：$2(a-1)m + 10000 - 500a$
因为总销售金额和$m$的取值无关，所以$m$的系数为0：
$a-1=0$
解得：$a=1$
【答案】
(1) 该种农产品线上的售价为18元/件；
(2) ①线上的销售件数可能为200件、201件、202件、203件、204件、205件；
②$a$的值为1。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、代数式定值
【点评】
本题以农产品销售为背景，结合生活实际考查方程与不等式的综合应用，解题核心是找准等量关系、不等关系列对应的方程或不等式，最后一问的定值问题需要理解代数式取值与变量无关的条件，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要求线上售价，可设线上售价为x元/件，由线上比线下便宜2元可得线下售价为(x+2)元/件；题目给出4月线上线下销售件数相同，根据“销售件数=销售金额÷售价”，可列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) ①设8月线上销售件数为m，已知总销售件数为500，则线下销售件数为(500-m)，结合限制条件“线上销售件数不多于205”“总销售金额不多于9600”列不等式，求解得到m的取值范围，再取整数解即可。
②先根据新的售价写出总销售金额的代数式，要让总金额和m的取值无关，只需让代数式中m的系数为0，即可求出a的值。
【解析】
(1) 设该种农产品线上的售价为$x$元/件，则线下售价为$(x+2)$元/件。
根据4月线上、线下销售件数相同，列方程：
$\dfrac{4\ 500}{x}=\dfrac{5\ 000}{x+2}$
交叉相乘得：$4500(x+2)=5000x$
展开计算得：$4500x + 9000 = 5000x$
移项合并同类项得：$500x=9000$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$x(x+2)=18×20=360≠0$，因此$x=18$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) ①设8月份线上的销售件数为$m$（$m$为正整数），则线下销售件数为$(500 - m)$。
根据题意列不等式：
$18m + 20(500 - m) ≤ 9\ 600$
展开得：$18m + 10000 - 20m ≤ 9600$
移项合并得：$-2m ≤ -400$
不等号两边同时除以-2，方向改变得：$m ≥ 200$
结合已知$m ≤ 205$，且$m$为正整数，可得$m$的取值为200、201、202、203、204、205。
②调整售价后，线上售价为$(18+a)$元/件，线下售价为$(20-a)$元/件，总销售金额为：
$(18+a)m + (20-a)(500 - m)$
展开合并同类项得：$2(a-1)m + 10000 - 500a$
因为总销售金额和$m$的取值无关，所以$m$的系数为0：
$a-1=0$
解得：$a=1$
【答案】
(1) 该种农产品线上的售价为18元/件；
(2) ①线上的销售件数可能为200件、201件、202件、203件、204件、205件；
②$a$的值为1。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、代数式定值
【点评】
本题以农产品销售为背景，结合生活实际考查方程与不等式的综合应用，解题核心是找准等量关系、不等关系列对应的方程或不等式，最后一问的定值问题需要理解代数式取值与变量无关的条件，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
13. 如图，$AB// CD$，试解答下列问题：
(1) 如图1，$∠ 1+∠ 2=\_\_\_\_\_\_$；
(2) 如图2，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=\_\_\_\_\_\_$；
(3) 如图3，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=\_\_\_\_\_\_$；
(4) 探究：在图$n$中，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+\dots+∠ (n+1)=\_\_\_\_\_\_$。
(1) 如图1，$∠ 1+∠ 2=\_\_\_\_\_\_$；
(2) 如图2，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=\_\_\_\_\_\_$；
(3) 如图3，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=\_\_\_\_\_\_$；
(4) 探究：在图$n$中，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+\dots+∠ (n+1)=\_\_\_\_\_\_$。
答案
13. (1)$180°$ (2)$360°$ (3)$540°$ (4)$180° n$
解析
【分析】
本题是平行线背景下的角度求和及规律探究题，解题核心是利用平行线的性质，通过作平行辅助线将多个角转化为多组同旁内角计算。(1)直接用两直线平行同旁内角互补求解；(2)(3)遇到折线时过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论得到多条平行线，再逐组计算同旁内角的和；(4)通过前3问的结果总结规律，找到角的数量与180°倍数的对应关系即可。
【解析】
(1)
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
∴∠1+∠2=180°。
(2) 过∠2的顶点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴∠1+∠AEF=180°，∠3+∠CEF=180°，
两式相加得：∠1+∠AEF+∠CEF+∠3=∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°。
(3) 分别过∠2、∠3的顶点作AB的平行线，由AB//CD可得所作直线均与CD平行，此时图中共有3组同旁内角，每组和为180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°=540°。
(4) 观察前3问结果：当有2个角时，和为1×180°；有3个角时，和为2×180°；有4个角时，和为3×180°。可得规律：当有(n+1)个角时，角度和为n×180°=180°n。
【答案】
(1)$180°$ (2)$360°$ (3)$540°$ (4)$180° n$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，规律归纳
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，重点考察折线类角度问题的处理方法，需要学生掌握通过作平行辅助线转化角度的技巧，同时具备从特殊到一般的规律归纳能力，对逻辑思维能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
本题是平行线背景下的角度求和及规律探究题，解题核心是利用平行线的性质，通过作平行辅助线将多个角转化为多组同旁内角计算。(1)直接用两直线平行同旁内角互补求解；(2)(3)遇到折线时过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论得到多条平行线，再逐组计算同旁内角的和；(4)通过前3问的结果总结规律，找到角的数量与180°倍数的对应关系即可。
【解析】
(1)
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
∴∠1+∠2=180°。
(2) 过∠2的顶点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴∠1+∠AEF=180°，∠3+∠CEF=180°，
两式相加得：∠1+∠AEF+∠CEF+∠3=∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°。
(3) 分别过∠2、∠3的顶点作AB的平行线，由AB//CD可得所作直线均与CD平行，此时图中共有3组同旁内角，每组和为180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°=540°。
(4) 观察前3问结果：当有2个角时，和为1×180°；有3个角时，和为2×180°；有4个角时，和为3×180°。可得规律：当有(n+1)个角时，角度和为n×180°=180°n。
【答案】
(1)$180°$ (2)$360°$ (3)$540°$ (4)$180° n$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，规律归纳
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，重点考察折线类角度问题的处理方法，需要学生掌握通过作平行辅助线转化角度的技巧，同时具备从特殊到一般的规律归纳能力，对逻辑思维能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
