12. 如图,点 O 在直线 AB 上,$∠AOE:∠EOD=1:3$,OC 是$∠BOD$的平分线,且$∠EOC=115^{\circ }.$求$∠AOE$和$∠BOC$的度数.

设$∠AOE=x$,则$∠EOD=3x$.因为$∠EOC=115°$,所以$∠COD=115°-3x$.因为 OC 是$∠BOD$的平分线,所以$∠BOC=∠COD=115°-3x$.易知$∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC=180°$,所以$x+3x+115°-3x+115°-3x=180°$,解得$x=25°$,所以$∠AOE=25°$,$∠BOC=115°-3x=40°$.

【分析】
遇到角的比例关系时，我们可以先设参数表示各角，再结合已知条件逐步推导其他角的表达式，最后利用平角为180°的性质列方程求解。首先根据∠AOE和∠EOD的比例设未知数，再通过∠EOC的度数量出∠COD，结合角平分线的性质得到∠BOC的表达式，最后根据平角的和为180°列方程计算即可。
【解析】
设$∠ AOE=x$，则$∠ EOD=3x$。
因为$∠ EOC=115°$，所以$∠ COD=∠ EOC-∠ EOD=115°-3x$。
因为OC是$∠ BOD$的平分线，所以$∠ BOC=∠ COD=115°-3x$。
由于点O在直线AB上，$∠ AOB$是平角，度数为$180°$，因此$∠ AOE+∠ EOD+∠ COD+∠ BOC=180°$，代入得：
$x+3x+115°-3x+115°-3x=180°$
合并同类项得：$230°-2x=180°$
解得$x=25°$。
所以$∠ AOE=25°$，$∠ BOC=115°-3×25°=40°$。
【答案】
$∠ AOE=25°$，$∠ BOC=40°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将方程思想与几何中角的性质结合，解题关键是合理设参数，利用平角、角平分线的性质建立等量关系求解，熟练掌握该方法可快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7

13. [新课标·探究题]已知$∠ AOB=150°$，三角形纸板$COD(∠ COD=60°)$可以绕点$O$在$∠ AOB$内任意旋转，且始终保持$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOD$.
(1)如图1，当$OC$与$OB$重合时，求$∠ MON$的度数.
(2)如图2，当三角形纸板$COD$绕点$O$在$∠ AOB$内旋转时，请判断$∠ MON$的大小是否会随$∠ COD$的位置变化而发生改变，并说明理由.
(3)在三角形纸板$COD$旋转的过程中，当$∠ DOM=\dfrac{1}{5}∠ MON$时，请直接写出$∠ AOD$的度数.

(1)因为 OC 与 OB 重合,$∠COD=60°$,ON 平分$∠BOD$,所以$∠BON=\dfrac{1}{2}∠BOD=30°$.因为$∠AOB=150°$,OM 平分$∠AOC$,所以$∠BOM=\dfrac{1}{2}∠AOC=75°$,所以$∠MON=∠BOM-∠BON=45°$.
(2)$∠MON$的大小不会随$∠COD$的位置变化而发生改变. 理由:因为 OM 平分$∠AOC$,所以$∠AOM=\dfrac{1}{2}∠AOC=\dfrac{1}{2}(∠AOB-∠BOC)=75°-\dfrac{1}{2}∠BOC$.因为 ON 平分$∠BOD$,所以$∠BON=\dfrac{1}{2}∠BOD=\dfrac{1}{2}(∠BOC+∠COD)=\dfrac{1}{2}∠BOC+30°$,所以$∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=150°-(75°-\dfrac{1}{2}∠BOC)-(\dfrac{1}{2}∠BOC+30°)=45°$.
(3)$78°$或$42°$.

【分析】
(1) 当OC与OB重合时，先明确此时∠AOC等于∠AOB、∠BOD等于∠COD，再结合角平分线的性质分别求出∠BOM和∠BON的度数，最后通过角的差运算即可得到∠MON的度数。
(2) 判断∠MON是否为定值时，可将∠BOC设为中间量，根据角平分线定义用含∠BOC的式子分别表示∠AOM和∠BON，再代入∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON化简，若化简后不含变量，则∠MON为定值。
(3) 先由(2)的定值结论求出∠DOM的度数，再结合旋转过程中OM与OD的两种位置关系分类计算，避免漏解。
【解析】
(1) 当OC与OB重合时：
∵ $∠ COD=60°$，ON平分$∠ BOD$，
∴ $∠ BON=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}×60°=30°$，
∵ $∠ AOB=150°$，OM平分$∠ AOC$（此时$∠ AOC=∠ AOB$），
∴ $∠ BOM=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}×150°=75°$，
∴ $∠ MON=∠ BOM-∠ BON=75°-30°=45°$。
(2) $∠ MON$的大小不会随$∠ COD$的位置变化而发生改变，理由如下：
∵ OM平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOM=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOB-∠ BOC)=75°-\dfrac{1}{2}∠ BOC$，
∵ ON平分$∠ BOD$，
∴ $∠ BON=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}(∠ BOC+∠ COD)=\dfrac{1}{2}∠ BOC+30°$，
∴ $∠ MON=∠ AOB-∠ AOM-∠ BON=150°-(75°-\dfrac{1}{2}∠ BOC)-(\dfrac{1}{2}∠ BOC+30°)=45°$，
因此$∠ MON$恒为$45°$，不随$∠ COD$的位置变化而改变。
(3) 由(2)得$∠ MON=45°$，因此$∠ DOM=\dfrac{1}{5}×45°=9°$，分两种情况：
① 当OD在OM与OC之间时，$∠ BOD=2×(∠ MON-∠ DOM)=2×36°=72°$，则$∠ AOD=150°-72°=78°$；
② 当OM在OD与OC之间时，$∠ BOD=2×(∠ MON+∠ DOM)=2×54°=108°$，则$∠ AOD=150°-108°=42°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{∠ MON}$的大小不会发生改变，始终为$\boldsymbol{45°}$
(3) $\boldsymbol{78°}$或$\boldsymbol{42°}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是角的旋转综合探究题，核心考查角平分线性质与角的运算能力，解题关键是学会用参数表示未知角来推导定值，求解动态问题时要注意分析所有可能的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.5