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7. 计算:
(1)$153°29'42'' + 26°40'32'' = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_' \_\_\_\_\_\_''$;
(2)$34°26' - 25°33' = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$;
(3)$19°12' ÷ 6 = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$;
(4)$42°16' - 18°23' × 2 = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$.
(1)$153°29'42'' + 26°40'32'' = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_' \_\_\_\_\_\_''$;
(2)$34°26' - 25°33' = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$;
(3)$19°12' ÷ 6 = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$;
(4)$42°16' - 18°23' × 2 = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_'$.
答案
(1)180 10 14 (2)8 53 (3)3 12 (4)5 30
解析
【分析】
度分秒的运算遵循60进制规则，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题时按如下思路计算：
1. 加法：同单位相加，满60就向上一级进1；
2. 减法：同单位相减，不够减时向上一级借1当60再减；
3. 乘除：先按单位分别计算，余数统一转成低一级单位再继续运算；
4. 混合运算：先算乘除，后算加减。
【解析】
(1) 加法计算：
秒位相加：$42''+32''=74''=1'14''$，秒位留14''，向分位进1'；
分位相加：$29'+40'+1'=70'=1°10'$，分位留10'，向度位进1°；
度位相加：$153°+26°+1°=180°$，结果为$180°10'14''$。
(2) 减法计算：
分位26'小于33'，向度位借1°当60'，$34°26'$转化为$33°86'$；
度位相减：$33°-25°=8°$，分位相减：$86'-33'=53'$，结果为$8°53'$。
(3) 除法计算：
度位计算：$19°÷6=3°$余1°，将余下的1°转化为60'，与原有12'相加得$60'+12'=72'$；
分位计算：$72'÷6=12'$，结果为$3°12'$。
(4) 混合运算：
先算乘法：$18°23'×2=36°46'$；
再算减法：分位16'小于46'，向度位借1°当60'，$42°16'$转化为$41°76'$，$41°76'-36°46'=5°30'$。
【答案】
(1)180 10 14 (2)8 53 (3)3 12 (4)5 30
【知识点】
度分秒的换算、度分秒的运算
【点评】
本题是度分秒运算的基础题型，核心是掌握度分秒60进制的进位、借位规则，计算时注意运算顺序，细心即可得分。
【难度系数】
0.7
度分秒的运算遵循60进制规则，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题时按如下思路计算：
1. 加法：同单位相加，满60就向上一级进1；
2. 减法：同单位相减，不够减时向上一级借1当60再减；
3. 乘除：先按单位分别计算，余数统一转成低一级单位再继续运算；
4. 混合运算：先算乘除，后算加减。
【解析】
(1) 加法计算：
秒位相加：$42''+32''=74''=1'14''$，秒位留14''，向分位进1'；
分位相加：$29'+40'+1'=70'=1°10'$，分位留10'，向度位进1°；
度位相加：$153°+26°+1°=180°$，结果为$180°10'14''$。
(2) 减法计算：
分位26'小于33'，向度位借1°当60'，$34°26'$转化为$33°86'$；
度位相减：$33°-25°=8°$，分位相减：$86'-33'=53'$，结果为$8°53'$。
(3) 除法计算：
度位计算：$19°÷6=3°$余1°，将余下的1°转化为60'，与原有12'相加得$60'+12'=72'$；
分位计算：$72'÷6=12'$，结果为$3°12'$。
(4) 混合运算：
先算乘法：$18°23'×2=36°46'$；
再算减法：分位16'小于46'，向度位借1°当60'，$42°16'$转化为$41°76'$，$41°76'-36°46'=5°30'$。
【答案】
(1)180 10 14 (2)8 53 (3)3 12 (4)5 30
【知识点】
度分秒的换算、度分秒的运算
【点评】
本题是度分秒运算的基础题型，核心是掌握度分秒60进制的进位、借位规则，计算时注意运算顺序，细心即可得分。
【难度系数】
0.7
8. 如图，O 是直线 AB 上一点，$∠ AOE = ∠ FOD = 90°$，OB 平分$∠ COD$.
(1)写出图中与$∠ DOE$互补的角，并说明理由；
(2)写出图中与$∠ EOF$相等的角，并说明理由.
(1)写出图中与$∠ DOE$互补的角，并说明理由；
(2)写出图中与$∠ EOF$相等的角，并说明理由.
答案
(1)与$∠DOE$互补的角为$∠BOF$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,所以$∠AOF=∠DOE=90°-∠EOF$.因为$∠AOF+∠BOF=180°$,所以$∠DOE+∠BOF=180°$,所以$∠DOE$与$∠BOF$互补.
(2)与$∠EOF$相等的角为$∠BOD,∠BOC$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,$∠AOE+∠BOE=180°$,所以$∠BOE=∠FOD=90°$,所以$∠EOF=∠BOD=90°-∠DOE$.因为 OB 平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=∠EOF$.
(2)与$∠EOF$相等的角为$∠BOD,∠BOC$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,$∠AOE+∠BOE=180°$,所以$∠BOE=∠FOD=90°$,所以$∠EOF=∠BOD=90°-∠DOE$.因为 OB 平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=∠EOF$.
解析
【分析】
(1) 找与∠DOE互补的角，首先明确互补的定义：两个角的和为180°则两角互补。先利用已知的两个直角，通过同角的余角相等找到与∠DOE相等的角，再结合AB是直线存在平角180°的条件，即可推出与∠DOE互补的角。
(2) 找与∠EOF相等的角，先根据平角定义推出∠BOE为直角，再利用同角的余角相等得到与∠EOF相等的角，最后结合角平分线的性质，即可找出所有相等的角。
【解析】
(1) 先推导∠AOF和∠DOE的关系：
已知∠AOE=∠FOD=90°，可得∠AOF = 90°-∠EOF，∠DOE = 90°-∠EOF，因此∠AOF=∠DOE。
又因为O在直线AB上，∠AOF+∠BOF=180°，等量代换得∠DOE+∠BOF=180°，所以∠BOF和∠DOE互补。
(2) 先推导∠BOE的度数：
已知∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=180°，所以∠BOE=90°=∠FOD。
可得∠EOF=90°-∠DOE，∠BOD=90°-∠DOE，因此∠EOF=∠BOD。
又因为OB平分∠COD，根据角平分线定义得∠BOC=∠BOD，所以∠BOC=∠EOF。
【答案】
(1)与$∠DOE$互补的角为$∠BOF$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,所以$∠AOF=∠DOE=90°-∠EOF$.因为$∠AOF+∠BOF=180°$,所以$∠DOE+∠BOF=180°$,所以$∠DOE$与$∠BOF$互补.
(2)与$∠EOF$相等的角为$∠BOD,∠BOC$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,$∠AOE+∠BOE=180°$,所以$∠BOE=∠FOD=90°$,所以$∠EOF=∠BOD=90°-∠DOE$.因为 OB 平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=∠EOF$.
【知识点】
补角的定义，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】
本题是几何入门的基础题型，主要考查角的关系推导，解题的关键是结合已知的直角、平角条件，梳理清楚不同角之间的和差关系，灵活运用余角、补角性质和角平分线的定义求解。
【难度系数】
0.7
(1) 找与∠DOE互补的角，首先明确互补的定义：两个角的和为180°则两角互补。先利用已知的两个直角，通过同角的余角相等找到与∠DOE相等的角，再结合AB是直线存在平角180°的条件，即可推出与∠DOE互补的角。
(2) 找与∠EOF相等的角，先根据平角定义推出∠BOE为直角，再利用同角的余角相等得到与∠EOF相等的角，最后结合角平分线的性质，即可找出所有相等的角。
【解析】
(1) 先推导∠AOF和∠DOE的关系：
已知∠AOE=∠FOD=90°，可得∠AOF = 90°-∠EOF，∠DOE = 90°-∠EOF，因此∠AOF=∠DOE。
又因为O在直线AB上，∠AOF+∠BOF=180°，等量代换得∠DOE+∠BOF=180°，所以∠BOF和∠DOE互补。
(2) 先推导∠BOE的度数：
已知∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=180°，所以∠BOE=90°=∠FOD。
可得∠EOF=90°-∠DOE，∠BOD=90°-∠DOE，因此∠EOF=∠BOD。
又因为OB平分∠COD，根据角平分线定义得∠BOC=∠BOD，所以∠BOC=∠EOF。
【答案】
(1)与$∠DOE$互补的角为$∠BOF$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,所以$∠AOF=∠DOE=90°-∠EOF$.因为$∠AOF+∠BOF=180°$,所以$∠DOE+∠BOF=180°$,所以$∠DOE$与$∠BOF$互补.
(2)与$∠EOF$相等的角为$∠BOD,∠BOC$.理由:因为$∠AOE=∠FOD=90°$,$∠AOE+∠BOE=180°$,所以$∠BOE=∠FOD=90°$,所以$∠EOF=∠BOD=90°-∠DOE$.因为 OB 平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=∠EOF$.
【知识点】
补角的定义，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】
本题是几何入门的基础题型，主要考查角的关系推导，解题的关键是结合已知的直角、平角条件，梳理清楚不同角之间的和差关系，灵活运用余角、补角性质和角平分线的定义求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是
(
A
B
C
D
(
D
)A
B
C
D
答案
D
解析
【分析】
解这道题我们要用到“面动成体”的原理，首先观察左侧图形：是一个和竖直旋转轴平行的长方形，且长方形和旋转轴之间有间隔。我们可以分步思考旋转后的形状：1.长方形的四条边旋转时，靠近轴的竖直边旋转会得到一个小圆柱的侧面；2.远离轴的竖直边旋转会得到一个更大的圆柱的侧面；3.上下两条水平边旋转会得到上下两个环形面。组合起来就是一个大圆柱内部挖去一个同轴的小圆柱，也就是空心圆筒，接下来对比选项排除不符合的即可。
【解析】
根据面动成体的规律，长方形绕与它平行的竖直轴旋转一周时：
①距离旋转轴较近的长方形竖直边旋转形成小圆柱的侧面，距离旋转轴较远的长方形竖直边旋转形成大圆柱的侧面；
②长方形的上下两条水平边旋转形成上下两个环形的底面。
因此最终得到的几何体是大圆柱内部挖去一个同轴的小圆柱（空心圆柱）。
分析选项：
A选项是实心圆柱，不符合旋转结果；
B选项是正方体挖去长方体，不符合旋转结果；
C选项是正方体挖去圆柱，不符合旋转结果；
D选项是同轴空心圆柱，符合旋转结果。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；旋转体的形成；圆柱的特征
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解题核心是明确平面图形旋转过程中各部分运动后形成的立体形状，通过排除法可以快速锁定答案，是几何图形初步的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解这道题我们要用到“面动成体”的原理，首先观察左侧图形：是一个和竖直旋转轴平行的长方形，且长方形和旋转轴之间有间隔。我们可以分步思考旋转后的形状：1.长方形的四条边旋转时，靠近轴的竖直边旋转会得到一个小圆柱的侧面；2.远离轴的竖直边旋转会得到一个更大的圆柱的侧面；3.上下两条水平边旋转会得到上下两个环形面。组合起来就是一个大圆柱内部挖去一个同轴的小圆柱，也就是空心圆筒，接下来对比选项排除不符合的即可。
【解析】
根据面动成体的规律，长方形绕与它平行的竖直轴旋转一周时：
①距离旋转轴较近的长方形竖直边旋转形成小圆柱的侧面，距离旋转轴较远的长方形竖直边旋转形成大圆柱的侧面；
②长方形的上下两条水平边旋转形成上下两个环形的底面。
因此最终得到的几何体是大圆柱内部挖去一个同轴的小圆柱（空心圆柱）。
分析选项：
A选项是实心圆柱，不符合旋转结果；
B选项是正方体挖去长方体，不符合旋转结果；
C选项是正方体挖去圆柱，不符合旋转结果；
D选项是同轴空心圆柱，符合旋转结果。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；旋转体的形成；圆柱的特征
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解题核心是明确平面图形旋转过程中各部分运动后形成的立体形状，通过排除法可以快速锁定答案，是几何图形初步的典型基础题。
【难度系数】
0.8
10.如图，C，D 是线段 AB 上的两点，已知 $ AC:CD:DB = 1:2:3 $，M，N 分别为 AC，DB 的中点.
(1)若 $ AM = 2 $，则 AB 的长为 ______；
(2)若 $ AD = 6 $，则 CN 的长为 ______.
(1)若 $ AM = 2 $，则 AB 的长为 ______；
(2)若 $ AD = 6 $，则 CN 的长为 ______.
答案
(1)24 (2)7
解析
【分析】
本题是线段长度计算类题目，解题核心是结合线段比例关系和中点性质推导各段长度关系。遇到线段比例为1:2:3这类条件时，可先设每份长度为k，用含k的式子表示各段线段长度，再结合已知条件求出k的值，最后代入求解目标线段长度即可。
(1)已知M是AC中点，先由AM的长度求出AC的长度，再根据AC占AB的比例求出AB总长度；
(2)AD是AC与CD的和，先由AD的长度求出k的值，再分别计算CD、DN的长度，求和即可得到CN的长度。
【解析】
根据$AC:CD:DB = 1:2:3$，设$AC=k$，$CD=2k$，$DB=3k$，则$AB=AC+CD+DB=6k$。
(1)
∵M是AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC$，
已知$AM=2$，则$AC=2AM=4$，即$k=4$，
∴$AB=6k=6×4=24$。
(2)
∵$AD=AC+CD=k+2k=3k$，已知$AD=6$，
∴$3k=6$，解得$k=2$，
则$CD=2k=4$，$DB=3k=6$，
∵N是DB的中点，
∴$DN=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$CN=CD+DN=4+3=7$。
【答案】
(1)24；(2)7
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题关键是灵活运用线段中点性质和比例关系表示各线段长度，通过设参数的方法可以让计算过程更清晰，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
本题是线段长度计算类题目，解题核心是结合线段比例关系和中点性质推导各段长度关系。遇到线段比例为1:2:3这类条件时，可先设每份长度为k，用含k的式子表示各段线段长度，再结合已知条件求出k的值，最后代入求解目标线段长度即可。
(1)已知M是AC中点，先由AM的长度求出AC的长度，再根据AC占AB的比例求出AB总长度；
(2)AD是AC与CD的和，先由AD的长度求出k的值，再分别计算CD、DN的长度，求和即可得到CN的长度。
【解析】
根据$AC:CD:DB = 1:2:3$，设$AC=k$，$CD=2k$，$DB=3k$，则$AB=AC+CD+DB=6k$。
(1)
∵M是AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC$，
已知$AM=2$，则$AC=2AM=4$，即$k=4$，
∴$AB=6k=6×4=24$。
(2)
∵$AD=AC+CD=k+2k=3k$，已知$AD=6$，
∴$3k=6$，解得$k=2$，
则$CD=2k=4$，$DB=3k=6$，
∵N是DB的中点，
∴$DN=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$CN=CD+DN=4+3=7$。
【答案】
(1)24；(2)7
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题关键是灵活运用线段中点性质和比例关系表示各线段长度，通过设参数的方法可以让计算过程更清晰，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
11. 如图,已知$∠ 1$与线段$a$,用尺规按下列步骤作图.(保留作图痕迹,不写作法)
①作$∠ A=∠ 1$;
②在$∠ A$的两边分别作$AB=a$,$AC=2a$;
③连接$BC$.
①作$∠ A=∠ 1$;
②在$∠ A$的两边分别作$AB=a$,$AC=2a$;
③连接$BC$.
答案
如图所示.
解析
【分析】
这是一道基础尺规作图题，解题思路清晰：第一步先使用尺规作一个角等于已知角的方法作出∠A=∠1；第二步用圆规量取线段a的长度，在∠A的一条边上截取AB=a，在∠A的另一条边上连续截取两次长度为a的线段，即可得到AC=2a；第三步用直尺连接B、C两点即可，作图全程需要保留所有作图痕迹。
【解析】
1. 依据尺规作相等角的操作步骤，作出与已知∠1大小相等的∠A；
2. 调整圆规两脚间距等于线段a的长度，以A为端点，在∠A的其中一条边上截取得AB=a，在∠A的另一条边上连续截取两段长度为a的线段，得到AC=2a；
3. 用直尺连接点B和点C，保留所有作图弧线痕迹，即完成作图。
【答案】
如图所示.
【知识点】
尺规作等角，尺规作线段
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查基本尺规作图的操作能力，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不能擦去辅助弧线。
【难度系数】
0.8
这是一道基础尺规作图题，解题思路清晰：第一步先使用尺规作一个角等于已知角的方法作出∠A=∠1；第二步用圆规量取线段a的长度，在∠A的一条边上截取AB=a，在∠A的另一条边上连续截取两次长度为a的线段，即可得到AC=2a；第三步用直尺连接B、C两点即可，作图全程需要保留所有作图痕迹。
【解析】
1. 依据尺规作相等角的操作步骤，作出与已知∠1大小相等的∠A；
2. 调整圆规两脚间距等于线段a的长度，以A为端点，在∠A的其中一条边上截取得AB=a，在∠A的另一条边上连续截取两段长度为a的线段，得到AC=2a；
3. 用直尺连接点B和点C，保留所有作图弧线痕迹，即完成作图。
【答案】
如图所示.
【知识点】
尺规作等角，尺规作线段
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查基本尺规作图的操作能力，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不能擦去辅助弧线。
【难度系数】
0.8
