9. (2025·鼓楼区三模)如图,点 $A(4,a)$ 在双曲线 $y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$ 上,作直线 $OA$ 交双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 于点 $B$,过点 $A$ 作 $AC ⊥ y$ 轴于点 $C$,连接 $BC$,已知 $△ ABC$ 的面积为 2,那么 $k=$.

9.18

三、解答题(共55分)
10. (25分) 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=2x+b$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A,B$,与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$,连接$OC$. 已知点$B(0,4)$,$△ BOC$的面积是2.
求:(1)$b,k$的值;
(2)$△ AOC$的面积.

10. 解:(1)
∵一次函数 $y=2x+b$ 的图象过点 $B(0,4)$,
∴$b=4$,
∴一次函数的表达式为 $y=2x+4$.
∵$OB=4$,$△BOC$ 的面积是 2,
∴$\frac{1}{2}OB · x_C=2$,即$\frac{1}{2}×4×x_C=2$,解得 $x_C=1$.
把 $x=1$ 代入 $y=2x+4$,得 $y=6$,
∴$C(1,6)$.
∵点 $C$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,
∴$k=1×6=6$.
(2)把 $y=0$ 代入 $y=2x+4$,得 $2x+4=0$,解得 $x=-2$,
∴$A(-2,0)$,
∴$OA=2$,
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×2×6=6$.

11. (30 分) 如图,一次函数 $y=k_1x+1$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k_2}{x}(k_2＞0)$ 的图象相交于 $A,B$ 两点,点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上,点 $D(1,-2)$,连接 $OA,OD,DC,AC$, 四边形 $OACD$ 为菱形.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出反比例函数值大于一次函数值时 $x$ 的取值范围;
(3)设 $P$ 是直线 $AB$ 上一个动点, 且 $S_{△ OAP}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}OACD}$, 求点 $P$ 的坐标.

11. 解:(1)如答图,连接 $AD$,交 $x$ 轴于点 $E$.

∵四边形 $AODC$ 是菱形,
∴$AD⊥OC$,$AE=DE$,$EC=OE$.
∵$D(1,-2)$,
∴$OE=1$,$ED=2$,
∴$AE=DE=2$,$EC=OE=1$,
∴$A(1,2)$.
将 $A(1,2)$ 代入直线 $y=k_1x+1$,得 $k_1+1=2$,
解得 $k_1=1$.
将 $A(1,2)$ 代入反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$,得 $2=\frac{k_2}{1}$,
解得 $k_2=2$.
∴一次函数的表达式为 $y=x+1$,反比例函数的表达式为 $y=\frac{2}{x}$.
(2)联立一次函数与反比例函数表达式,得$\begin{cases} y=x+1,\\ y=\dfrac{2}{x}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-2,\\ y=-1, \end{cases}$
则反比例函数值大于一次函数值时,$x$ 的取值范围为 $x＜-2$ 或 $0＜x＜1$.
(3)
∵$OC=2OE=2$,$AD=2DE=4$,
∴$S_{\mathrm{菱形}OACD}=\frac{1}{2}OC · AD=4$.
∵$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}OACD}$,
∴$S_{△ OAP}=2$.
设 $P(a,a+1)$,直线 $AB$ 与 $y$ 轴相交于点 $F$,
则 $F(0,1)$,
∴$OF=1$.
∵$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$,
当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧时,$S_{△ FOP}=\frac{1}{2}(-a) · OF=-\frac{1}{2}a=S_{△ OAP}-S_{△ OAF}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
解得 $a=-3$,$a+1=-2$,
∴$P(-3,-2)$;
当点 $P$ 在点 $A$ 的右侧时,$S_{△ FOP}=\frac{1}{2}a · OF=\frac{1}{2}a=S_{△ OAP}+S_{△ OAF}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$,
解得 $a=5$,$a+1=6$,
∴$P(5,6)$.
综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(-3,-2)$ 或 $(5,6)$.