10. 等腰三角形一条腰上的高与腰之比为$1:\sqrt{2}$，则等腰三角形的顶角为。

10.45°或135°

设等腰三角形的顶角为$θ$，腰长为$a$，腰上的高为$h$。
由题意得$h:a = 1:\sqrt{2}$，即$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$。
情况一：当顶角$θ$为锐角时，腰上的高在三角形内部，$\sinθ=\frac{h}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$θ = 45°$。
情况二：当顶角$θ$为钝角时，腰上的高在三角形外部，$\sin(180° - θ)=\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$180° - θ = 45°$，$θ = 135°$。
综上，等腰三角形的顶角为$45°$或$135°$。

11. 如图，小岛$A$在港口$O$北偏东$30^{\circ}$的方向上，小岛$B$在小岛$A$的正南方，$OA = 60$海里，$OB = 20\sqrt{3}$海里。小岛$B$在港口$O$的方向上。

11.北偏东60°

北偏东$60^{\circ}$

12. 已知$\tan α = 1.237$，$\cos β = 0.9205$，$\sin \gamma = 0.6436$($α$，$β$，$\gamma$均为锐角)，则$α$，$β$，$\gamma$的大小顺序为。(提示：利用函数值的大小与特殊角的函数值的大小关系比较)

12.β＜γ＜α

13. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是边$AD$的中点，若$AC = 10$，$DC = 2\sqrt{5}$，求∠EBD的度数。（参考数据：$\tan 26^{\circ}34' \approx \dfrac{1}{2}$）

13.解:$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD=2\sqrt{5}$，$BD=AC=10$，$∠ BAD=90^{\circ}$。
在$Rt△ ABD$中，$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=4\sqrt{5}$。
$\because E$是边$AD$的中点，$\therefore AE=DE=2\sqrt{5}$，
$\therefore AB=AE$，$\therefore ∠ BEA=45^{\circ}$。
$\because \tan∠ ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ ADB\approx 26^{\circ}34'$。
$\because ∠ ADB+∠ EBD=∠ AEB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ AEB-∠ ADB\approx 45^{\circ}-26^{\circ}34'=18^{\circ}26'$。

14. 在△ABC中，$AD$是$BC$边上的高，$AD = 2$，$BD = 2$，$CD = 2\sqrt{3}$，求∠BAC的度数。

14.解:如答图. $\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore AD⊥ BC$。
在$Rt△ ABD$中，$\because ∠ ADB=90^{\circ}$，$AD=2$，$BD=2$，
$\therefore ∠ BAD=45^{\circ}$。
在$Rt△ ACD$中，$\because ∠ ADC=90^{\circ}$，$AD=2$，$CD=2\sqrt{3}$，
$\therefore \tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore ∠ CAD=60^{\circ}$。
当$AD$在$△ ABC$内部时，$∠ BAC=∠ CAD+∠ BAD=60^{\circ}+45^{\circ}=105^{\circ}$；
当$AD$在$△ ABC$外部时，$∠ BAC=∠ CAD-∠ BAD=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
$\therefore ∠ BAC$的度数为105°或15°。

15. 如图，△ABC内接于⊙O，$AB$为⊙O的直径，$BD ⊥ AB$，交$AC$的延长线于点$D$。
(1)若$E$为$BD$的中点，连接$CE$，求证：$CE$是⊙O的切线；
(2)若$AC = 3CD$，求∠A的度。

15.(1)证明:如答图，连接$OC$，$OE$。
$\because BD⊥ AB$，$\therefore ∠ OBE=90^{\circ}$。
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ A=∠ 1$。
$\because AO=OB$，$E$为$BD$的中点，
$\therefore OE// AD$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3$，$∠ A=∠ 2$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$。
在$△ COE$与$△ BOE$中，
$\begin{cases}OC=OB,\\∠ 3=∠ 2,\\OE=OE,\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ BOE$，$\therefore ∠ OCE=∠ OBE=90^{\circ}$。
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
(2)解:$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ DBC+∠ D=90^{\circ}$。
又$\because ∠ A+∠ D=90^{\circ}$，$\therefore ∠ A=∠ DBC$。
又$\because ∠ ACB=∠ BCD$，$\therefore △ ABC∽△ BDC$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$，$\therefore BC^{2}=AC· DC$。
$\because AC=3CD$，$\therefore BC^{2}=\frac{1}{3}AC^{2}$，$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30^{\circ}$。