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一、用定义求值
1. 已知 $ AE $，$ CF $ 是锐角三角形 $ ABC $ 的两条高，若 $ AE:CF = 3:2 $，则 $ \sin A:\sin C = $
1. 已知 $ AE $，$ CF $ 是锐角三角形 $ ABC $ 的两条高，若 $ AE:CF = 3:2 $，则 $ \sin A:\sin C = $
2:3
.答案
1. $2:3$
解析
在锐角三角形$ABC$中，$AE$，$CF$是两条高，所以$∠ AEB = ∠ CFB = 90°$。
在$Rt△ ABE$中，$\sin A=\frac{AE}{AB}$；在$Rt△ CBF$中，$\sin C = \frac{CF}{CB}$。
又因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CF=\frac{1}{2}CB· AE$，所以$AB· CF = CB· AE$，即$\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CB}$。
已知$AE:CF = 3:2$，设$AE = 3k$，$CF=2k$（$k≠0$），则$\frac{AB}{CB}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$，即$AB=\frac{3}{2}CB$。
所以$\sin A=\frac{AE}{AB}=\frac{3k}{\frac{3}{2}CB}=\frac{2k}{CB}$，$\sin C=\frac{CF}{CB}=\frac{2k}{CB}$。
因此$\sin A:\sin C=\frac{2k}{CB}:\frac{2k}{CB}=2:3$。
$2:3$
在$Rt△ ABE$中，$\sin A=\frac{AE}{AB}$；在$Rt△ CBF$中，$\sin C = \frac{CF}{CB}$。
又因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CF=\frac{1}{2}CB· AE$，所以$AB· CF = CB· AE$，即$\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CB}$。
已知$AE:CF = 3:2$，设$AE = 3k$，$CF=2k$（$k≠0$），则$\frac{AB}{CB}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$，即$AB=\frac{3}{2}CB$。
所以$\sin A=\frac{AE}{AB}=\frac{3k}{\frac{3}{2}CB}=\frac{2k}{CB}$，$\sin C=\frac{CF}{CB}=\frac{2k}{CB}$。
因此$\sin A:\sin C=\frac{2k}{CB}:\frac{2k}{CB}=2:3$。
$2:3$
2. 已知 $ \tan α = 2 $，求 $ \frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} $ 的值.
答案
2. 解:根据三角函数的定义，构造如答图所示的直角三角形，使$∠C = 90^{\circ},AC = a,BC = 2a(a ＞ 0)$，则$tanA = tanα = 2,AB = \sqrt{a^{2}+(2a)^{2}} = \sqrt{5}a$，
$\therefore sinα = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5},cosα = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \frac{sinα - cosα}{sinα + cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{1}{3}$。
二、利用等角或等线段代换求值
3. (2023·惠山区月考) 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，如果 $ BC = 3 $，$ AC = 4 $，那么 $ \sin ∠ BCD = $
3. (2023·惠山区月考) 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，如果 $ BC = 3 $，$ AC = 4 $，那么 $ \sin ∠ BCD = $
$\frac{3}{5}$
.答案
3. $\frac{3}{5}$
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
因为$CD⊥ AB$，所以$∠ CDB=90^{\circ}$，
则$∠ BCD+∠ B=90^{\circ}$，
又因为$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，所以$∠ BCD=∠ A$，
所以$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
因为$CD⊥ AB$，所以$∠ CDB=90^{\circ}$，
则$∠ BCD+∠ B=90^{\circ}$，
又因为$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，所以$∠ BCD=∠ A$，
所以$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，$ \odot O $ 是 $ △ ABC $ 的外接圆，点 $ A $，$ B $，$ O $ 在网格线的交点上，则 $ \sin ∠ ACB $ 的值是
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
4. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
解：连接 $OA$，$OB$。
由网格可知，$A$，$B$ 间横向距离为 4，纵向距离为 0，故 $AB = 4$。
设 $O$ 点坐标为 $(x,y)$，根据网格交点位置，可求得 $OA = OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
由圆周角定理，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
在 $△ AOB$ 中，$OA = OB = \sqrt{5}$，$AB = 4$，作 $OD ⊥ AB$ 于 $D$，则 $AD = 2$，$\cos ∠ AOD = \frac{AD}{OA} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin ∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\sin ∠ AOB = 2\sin ∠ AOD \cos ∠ AOD = 2 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$。
又 $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$，则 $\cos ∠ ACB = \sqrt{\frac{1 + \cos ∠ AOB}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍负），$\sin ∠ ACB = \sqrt{1 - \cos^2 ∠ ACB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
由网格可知，$A$，$B$ 间横向距离为 4，纵向距离为 0，故 $AB = 4$。
设 $O$ 点坐标为 $(x,y)$，根据网格交点位置，可求得 $OA = OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
由圆周角定理，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
在 $△ AOB$ 中，$OA = OB = \sqrt{5}$，$AB = 4$，作 $OD ⊥ AB$ 于 $D$，则 $AD = 2$，$\cos ∠ AOD = \frac{AD}{OA} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin ∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\sin ∠ AOB = 2\sin ∠ AOD \cos ∠ AOD = 2 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$。
又 $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$，则 $\cos ∠ ACB = \sqrt{\frac{1 + \cos ∠ AOB}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍负），$\sin ∠ ACB = \sqrt{1 - \cos^2 ∠ ACB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
5. (2024·泰州模拟) 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC = 10 $，将 $ △ ABC $ 折叠，使点 $ A $ 落在边 $ BC $ 上的点 $ D $ 处，$ EF $ 为折痕.若 $ AE = 8 $，则 $ \sin ∠ BFD $ 的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
5. $\frac{1}{4}$
三、根据特殊角的三角函数值求值
6. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ ∠ B = 2 ∠ A $，则 $ \tan B $ 的值为
7. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 60^{\circ} $，则 $ \tan A + \cos B = $
6. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ ∠ B = 2 ∠ A $，则 $ \tan B $ 的值为
$\sqrt{3}$
.7. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 60^{\circ} $，则 $ \tan A + \cos B = $
$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
.答案
6. $\sqrt{3}$ 7. $\frac{3}{2}\sqrt{3}$
解析
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，则$∠ A+∠ B=90^{\circ}$。
因为$∠ B=2∠ A$，所以$∠ A + 2∠ A=90^{\circ}$，$3∠ A=90^{\circ}$，$∠ A=30^{\circ}$，则$∠ B=60^{\circ}$。
$\tan B=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
7. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=60^{\circ}$，则$∠ B=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
$\tan A=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$\cos B=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\tan A+\cos B=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
因为$∠ B=2∠ A$，所以$∠ A + 2∠ A=90^{\circ}$，$3∠ A=90^{\circ}$，$∠ A=30^{\circ}$，则$∠ B=60^{\circ}$。
$\tan B=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
7. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=60^{\circ}$，则$∠ B=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
$\tan A=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$\cos B=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\tan A+\cos B=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
四、借助边的数量关系求值
8. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 是“好玩三角形”，且 $ ∠ A = 90^{\circ} $，则 $ \tan ∠ ABC = $
8. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 是“好玩三角形”，且 $ ∠ A = 90^{\circ} $，则 $ \tan ∠ ABC = $
$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
.答案
8. $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
设$AB=a$，$AC=b$，$BC=c$，$∠ABC=θ$。
情况一：斜边中线等于斜边
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$BC$的中线为$\frac{c}{2}$，由“好玩三角形”定义得$\frac{c}{2}=c$，矛盾，故不成立。
情况二：直角边$AB$上的中线等于$AB$
取$AB$中点$D$，则$CD=AB=a$。$AD=\frac{a}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$AD^2+AC^2=CD^2$，即$(\frac{a}{2})^2+b^2=a^2$，得$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
$\tanθ=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
情况三：直角边$AC$上的中线等于$AC$
取$AC$中点$E$，则$BE=AC=b$。$AE=\frac{b}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$AE^2+AB^2=BE^2$，即$(\frac{b}{2})^2+a^2=b^2$，得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
$\tanθ=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
综上，$\tan∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
情况一：斜边中线等于斜边
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$BC$的中线为$\frac{c}{2}$，由“好玩三角形”定义得$\frac{c}{2}=c$，矛盾，故不成立。
情况二：直角边$AB$上的中线等于$AB$
取$AB$中点$D$，则$CD=AB=a$。$AD=\frac{a}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$AD^2+AC^2=CD^2$，即$(\frac{a}{2})^2+b^2=a^2$，得$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
$\tanθ=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
情况三：直角边$AC$上的中线等于$AC$
取$AC$中点$E$，则$BE=AC=b$。$AE=\frac{b}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$AE^2+AB^2=BE^2$，即$(\frac{b}{2})^2+a^2=b^2$，得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
$\tanθ=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
综上，$\tan∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
9. 在 $ △ ABC $ 中，角 $ A $，$ B $，$ C $ 的对边长分别是 $ a $，$ b $，$ c $，且 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ b^{2} = (c + a)(c - a) $.若 $ 5b - 4c = 0 $，求 $ \sin A + \sin B $ 的值.
答案
9. 解:根据$b^{2} = (c + a)(c - a)$，得$b^{2} = c^{2} - a^{2}$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}, \therefore △ABC$为直角三角形，且$∠C = 90^{\circ}$。
$\because 5b - 4c = 0, \therefore$设$b = 4k(k ＞ 0)$，则$c = 5k$，根据勾股定理，得$a = 3k, \therefore sinA + sinB = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{3k}{5k} + \frac{4k}{5k} = \frac{7}{5}$。
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}, \therefore △ABC$为直角三角形，且$∠C = 90^{\circ}$。
$\because 5b - 4c = 0, \therefore$设$b = 4k(k ＞ 0)$，则$c = 5k$，根据勾股定理，得$a = 3k, \therefore sinA + sinB = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{3k}{5k} + \frac{4k}{5k} = \frac{7}{5}$。
五、利用方程思想求值
10. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC + BC = 7(AC ＞ BC) $，$ AB = 5 $，则 $ \tan B = $
10. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC + BC = 7(AC ＞ BC) $，$ AB = 5 $，则 $ \tan B = $
$\frac{4}{3}$
.答案
10. $\frac{4}{3}$
解析
解：设 $ AC = x $，$ BC = y $，由题意得：
$\begin{cases}x + y = 7 \\x^2 + y^2 = 5^2\end{cases}$
由 $ x + y = 7 $ 得 $ (x + y)^2 = 49 $，即 $ x^2 + 2xy + y^2 = 49 $，将 $ x^2 + y^2 = 25 $ 代入得 $ 25 + 2xy = 49 $，解得 $ xy = 12 $。
联立 $ x + y = 7 $ 和 $ xy = 12 $，解得 $ x = 4 $，$ y = 3 $（$ x ＞ y $）。
在 $ △ ABC $ 中，$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{y} = \frac{4}{3} $。
$\frac{4}{3}$
$\begin{cases}x + y = 7 \\x^2 + y^2 = 5^2\end{cases}$
由 $ x + y = 7 $ 得 $ (x + y)^2 = 49 $，即 $ x^2 + 2xy + y^2 = 49 $，将 $ x^2 + y^2 = 25 $ 代入得 $ 25 + 2xy = 49 $，解得 $ xy = 12 $。
联立 $ x + y = 7 $ 和 $ xy = 12 $，解得 $ x = 4 $，$ y = 3 $（$ x ＞ y $）。
在 $ △ ABC $ 中，$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{y} = \frac{4}{3} $。
$\frac{4}{3}$
