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1. (2023·江都区模拟)在△ABC中，若$\left|\sin A - \dfrac{1}{2}\right| + (\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B)^2 = 0$，则∠C的度数是(
A.$45^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
C
)A.$45^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案
1.C
解析
∵$\left|\sin A - \dfrac{1}{2}\right| + (\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B)^2 = 0$，
$\left|\sin A - \dfrac{1}{2}\right| ≥ 0$，$(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B)^2 ≥ 0$，
∴$\sin A - \dfrac{1}{2} = 0$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B = 0$，
∴$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∵在$△ ABC$中，$0^{\circ} ＜ ∠ A ＜ 180^{\circ}$，$0^{\circ} ＜ ∠ B ＜ 180^{\circ}$，
∴$∠ A = 30^{\circ}$或$150^{\circ}$，$∠ B = 45^{\circ}$，
∵$∠ A + ∠ B ＜ 180^{\circ}$，
当$∠ A = 150^{\circ}$时，$∠ A + ∠ B = 150^{\circ} + 45^{\circ} = 195^{\circ} ＞ 180^{\circ}$，舍去，
∴$∠ A = 30^{\circ}$，$∠ B = 45^{\circ}$，
∴$∠ C = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$。
C
2. (2024·通州区期末)在Rt△ABC中，$BC = 6$，$AC = 2\sqrt{3}$，$∠ C = 90^{\circ}$，则∠A的度数是(
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
D
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
2.D
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=2√3。
tanA=BC/AC=6/(2√3)=√3。
∠A=60°。
D
tanA=BC/AC=6/(2√3)=√3。
∠A=60°。
D
3. 已知$α$是锐角，$\tan(90^{\circ} - α) - \sqrt{3} = 0$，则$α =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
3.30
解析
解：由题意得，$\tan(90^{\circ} - α) = \sqrt{3}$
因为$\tan60^{\circ} = \sqrt{3}$，且$α$是锐角，所以$90^{\circ} - α = 60^{\circ}$
解得$α = 30^{\circ}$
30
因为$\tan60^{\circ} = \sqrt{3}$，且$α$是锐角，所以$90^{\circ} - α = 60^{\circ}$
解得$α = 30^{\circ}$
30
4. (2023·昆山期中)在Rt△ABC中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 2\sqrt{3}$，则$\cos \dfrac{A}{2} =$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
4.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2√3，
sinA=BC/AB=(2√3)/4=√3/2，
∠A=60°，
cos(A/2)=cos30°=√3/2。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
sinA=BC/AB=(2√3)/4=√3/2，
∠A=60°，
cos(A/2)=cos30°=√3/2。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
5. 已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比值为$1:\sqrt{3}$，则这个菱形中较小的内角为
60°
。答案
5.60°
解析
设菱形较短对角线长为$a$，较长对角线长为$\sqrt{3}a$。菱形对角线互相垂直平分，所以对角线一半分别为$\frac{a}{2}$和$\frac{\sqrt{3}a}{2}$。较小内角的一半的正切值为$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan30°$，则较小内角的一半为$30°$，较小内角为$60°$。
60°
60°
6. 如图，直线$y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$与两坐标轴分别交于点A，B。
(1)求∠ABO的度数；
(2)过点A的直线$l$交$x$轴正半轴于点C，$AB = AC$，求直线$l$的函数表达式。
(1)求∠ABO的度数；
(2)过点A的直线$l$交$x$轴正半轴于点C，$AB = AC$，求直线$l$的函数表达式。
答案
6.解:(1)对于直线$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
令$x=0$，则$y=\sqrt{3}$；令$y=0$，则$x=-1$。
故点$A$的坐标为$(0,\sqrt{3})$，点$B$的坐标为$(-1,0)$，
则$AO=\sqrt{3}$，$BO=1$。
在$Rt△ ABO$中，$\because \tan∠ ABO=\frac{AO}{BO}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ ABO=60^{\circ}$。
(2) $\because AB=AC$，$AO⊥ BC$，$\therefore AO$为$BC$的垂直平分线，即$BO=CO$，则点$C$的坐标为$(1,0)$。
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}\sqrt{3}=b,\\0=k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\sqrt{3},\\b=\sqrt{3},\end{cases}$
$\therefore$直线$l$的函数表达式为$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。
令$x=0$，则$y=\sqrt{3}$；令$y=0$，则$x=-1$。
故点$A$的坐标为$(0,\sqrt{3})$，点$B$的坐标为$(-1,0)$，
则$AO=\sqrt{3}$，$BO=1$。
在$Rt△ ABO$中，$\because \tan∠ ABO=\frac{AO}{BO}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ ABO=60^{\circ}$。
(2) $\because AB=AC$，$AO⊥ BC$，$\therefore AO$为$BC$的垂直平分线，即$BO=CO$，则点$C$的坐标为$(1,0)$。
设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}\sqrt{3}=b,\\0=k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\sqrt{3},\\b=\sqrt{3},\end{cases}$
$\therefore$直线$l$的函数表达式为$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。
7. 若锐角$α$满足$\sin α ＞ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$且$\tan α ＜ \sqrt{3}$，则$α$的取值范围是(
A.$30^{\circ} ＜ α ＜ 45^{\circ}$
B.$45^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ}$
C.$60^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ}$
D.$30^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ} ＜ α ＜ 45^{\circ}$
B.$45^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ}$
C.$60^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ}$
D.$30^{\circ} ＜ α ＜ 60^{\circ}$
答案
7.B
解析
解：
∵α为锐角，$\sinα＞\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，正弦函数在$0°＜α＜90°$单调递增，
∴$α＞45°$；
∵$\tanα＜\sqrt{3}$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，正切函数在$0°＜α＜90°$单调递增，
∴$α＜60°$；
综上，$45°＜α＜60°$。
B
∵α为锐角，$\sinα＞\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，正弦函数在$0°＜α＜90°$单调递增，
∴$α＞45°$；
∵$\tanα＜\sqrt{3}$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，正切函数在$0°＜α＜90°$单调递增，
∴$α＜60°$；
综上，$45°＜α＜60°$。
B
8. (2024·新吴区模拟)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”。下列各组数据中，能作为一个“智慧三角形”三边长的一组是(
A.$1$，$2$，$3$
B.$1$，$1$，$\sqrt{2}$
C.$1$，$1$，$\sqrt{3}$
D.$1$，$2$，$\sqrt{3}$
D
)A.$1$，$2$，$3$
B.$1$，$1$，$\sqrt{2}$
C.$1$，$1$，$\sqrt{3}$
D.$1$，$2$，$\sqrt{3}$
答案
8.D
解析
A. $1+2=3$，不能构成三角形。
B. $1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，为等腰直角三角形，角度为$45°,45°,90°$，不存在3倍角关系。
C. 设边长为1,1,$\sqrt{3}$，由余弦定理得$\cosθ=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{3})^2}{2×1×1}=-\frac{1}{2}$，$θ=120°$，另两角为$30°,30°$，不存在3倍角关系。
D. $1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，为直角三角形，角度为$30°,60°,90°$，$90°=3×30°$，满足“智慧三角形”定义。
D
B. $1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$，为等腰直角三角形，角度为$45°,45°,90°$，不存在3倍角关系。
C. 设边长为1,1,$\sqrt{3}$，由余弦定理得$\cosθ=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{3})^2}{2×1×1}=-\frac{1}{2}$，$θ=120°$，另两角为$30°,30°$，不存在3倍角关系。
D. $1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，为直角三角形，角度为$30°,60°,90°$，$90°=3×30°$，满足“智慧三角形”定义。
D
9. (2023·荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧($\overset{\frown}{AC}$)，点$O$是这段弧所在圆的圆心，$B$为$\overset{\frown}{AC}$上一点，$OB ⊥ AC$于点$D$。若$AC = 300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$BD = 150\ \mathrm{m}$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为(
A.$300 π\ \mathrm{m}$
B.$200 π\ \mathrm{m}$
C.$150 π\ \mathrm{m}$
D.$100\sqrt{3} π\ \mathrm{m}$
B
)A.$300 π\ \mathrm{m}$
B.$200 π\ \mathrm{m}$
C.$150 π\ \mathrm{m}$
D.$100\sqrt{3} π\ \mathrm{m}$
答案
9.B
解析
解：设圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OD = (r - 150)\ \mathrm{m}$。
因为$OB ⊥ AC$，$AC = 300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，所以$AD = \frac{1}{2}AC = 150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$(150\sqrt{3})^2 + (r - 150)^2 = r^2$。
解得$r = 300$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{300 - 150}{300} = \frac{1}{2}$，所以$∠ AOD = 60°$。
则$∠ AOC = 2∠ AOD = 120° = \frac{2π}{3}\ \mathrm{rad}$。
$\overset{\frown}{AC}$的长为$r · ∠ AOC = 300 × \frac{2π}{3} = 200π\ \mathrm{m}$。
答案：B
因为$OB ⊥ AC$，$AC = 300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，所以$AD = \frac{1}{2}AC = 150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得：$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$(150\sqrt{3})^2 + (r - 150)^2 = r^2$。
解得$r = 300$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{300 - 150}{300} = \frac{1}{2}$，所以$∠ AOD = 60°$。
则$∠ AOC = 2∠ AOD = 120° = \frac{2π}{3}\ \mathrm{rad}$。
$\overset{\frown}{AC}$的长为$r · ∠ AOC = 300 × \frac{2π}{3} = 200π\ \mathrm{m}$。
答案：B
