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8. 如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为
1
.答案
8.1
解析
解：连接AC，设小正方形边长为1。
由图可知，$AC=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{5}$。
在$△ ABC$中，根据余弦定理：$\cos∠ ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2· AB· BC}=\frac{(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{2})^2-2^2}{2×2\sqrt{5}×2\sqrt{2}}=\frac{20+8-4}{8\sqrt{10}}=\frac{24}{8\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$。
则$\sin∠ ABC=\sqrt{1-\cos^2∠ ABC}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$。
所以$\tan∠ ABC=\frac{\sin∠ ABC}{\cos∠ ABC}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}$。
1
由图可知，$AC=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{5}$。
在$△ ABC$中，根据余弦定理：$\cos∠ ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2· AB· BC}=\frac{(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{2})^2-2^2}{2×2\sqrt{5}×2\sqrt{2}}=\frac{20+8-4}{8\sqrt{10}}=\frac{24}{8\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$。
则$\sin∠ ABC=\sqrt{1-\cos^2∠ ABC}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$。
所以$\tan∠ ABC=\frac{\sin∠ ABC}{\cos∠ ABC}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}$。
1
9. (2024·靖江月考)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-2x\cos α+\frac{3}{4}=0$有两个相等的实数根，则锐角α的度数为
30
°.答案
9.30
解析
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x\cosα+\frac{3}{4}=0$有两个相等的实数根，
$\therefore\Delta=(-2\cosα)^{2}-4×1×\frac{3}{4}=0$，
即$4\cos^{2}α - 3 = 0$，
$4\cos^{2}α=3$，
$\cos^{2}α=\frac{3}{4}$，
$\cosα=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$α$为锐角，
$\therefore\cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\thereforeα=30^{\circ}$。
10. 因为$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}$，所以$\cos 120^{\circ}=\cos (90^{\circ}+30^{\circ})=-\sin 30^{\circ}=-\frac{1}{2}$，
因为$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos 135^{\circ}=\cos (90^{\circ}+45^{\circ})=-\sin 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
猜想：一般地，当α为锐角时，有$\cos (90^{\circ}+α)=-\sin α$，由此可知$\cos 150^{\circ}=$
因为$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos 135^{\circ}=\cos (90^{\circ}+45^{\circ})=-\sin 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
猜想：一般地，当α为锐角时，有$\cos (90^{\circ}+α)=-\sin α$，由此可知$\cos 150^{\circ}=$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
10.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
11. 如图，直线 MN 与⊙O 相切于点 M，ME=EF 且 EF//MN，则 cosE 的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
11.$\frac{1}{2}$
解析
证明：连接 $OM$，$OE$，$MF$。
∵ 直线 $MN$ 与 $\odot O$ 相切于点 $M$，
∴ $OM ⊥ MN$。
∵ $EF // MN$，
∴ $OM ⊥ EF$，设垂足为 $H$，则 $EH = HF$（垂径定理）。
设 $ME = EF = 2a$，则 $EH = a$。
设 $OH = x$，$OM = OE = r$，则 $MH = r - x$。
在 $Rt△ MHE$ 中，$ME^2 = MH^2 + EH^2$，即 $(2a)^2 = (r - x)^2 + a^2$，化简得 $(r - x)^2 = 3a^2$，
∴ $r - x = \sqrt{3}a$（$r ＞ x$）。
在 $Rt△ OHE$ 中，$OE^2 = OH^2 + EH^2$，即 $r^2 = x^2 + a^2$。
联立 $\begin{cases} r - x = \sqrt{3}a \\ r^2 = x^2 + a^2 \end{cases}$，解得 $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$，$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}a$（负号表示 $H$ 在 $OM$ 延长线上）。
在 $△ MHE$ 中，$\cos E = \frac{EH}{ME} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
∵ 直线 $MN$ 与 $\odot O$ 相切于点 $M$，
∴ $OM ⊥ MN$。
∵ $EF // MN$，
∴ $OM ⊥ EF$，设垂足为 $H$，则 $EH = HF$（垂径定理）。
设 $ME = EF = 2a$，则 $EH = a$。
设 $OH = x$，$OM = OE = r$，则 $MH = r - x$。
在 $Rt△ MHE$ 中，$ME^2 = MH^2 + EH^2$，即 $(2a)^2 = (r - x)^2 + a^2$，化简得 $(r - x)^2 = 3a^2$，
∴ $r - x = \sqrt{3}a$（$r ＞ x$）。
在 $Rt△ OHE$ 中，$OE^2 = OH^2 + EH^2$，即 $r^2 = x^2 + a^2$。
联立 $\begin{cases} r - x = \sqrt{3}a \\ r^2 = x^2 + a^2 \end{cases}$，解得 $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$，$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}a$（负号表示 $H$ 在 $OM$ 延长线上）。
在 $△ MHE$ 中，$\cos E = \frac{EH}{ME} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
12. 定义一种运算：
$\sin (α+β)=\sin α \cos β+\cos α \sin β$，
$\sin (α-β)=\sin α \cos β-\cos α \sin β$.
例如：当α=45°，β=30°时，$\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin 15^{\circ}$的值为
$\sin (α+β)=\sin α \cos β+\cos α \sin β$，
$\sin (α-β)=\sin α \cos β-\cos α \sin β$.
例如：当α=45°，β=30°时，$\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin 15^{\circ}$的值为
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
.答案
12.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
解析
$\sin 15^{\circ}=\sin (45^{\circ}-30^{\circ})=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
13. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含 45°角的三角尺的斜边与含 30°角的三角尺的长直角边相等. 于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一条直线上，若 BC=2，求 AF 的长.
答案
13.解:在Rt△ABC中,BC = 2,∠A = 30°,AC = $\frac{BC}{\tan A} = 2\sqrt{3}$,则EF = AC = 2$\sqrt{3}$．
∵∠E = 45°,
∴FC = EF·sinE = $\sqrt{6}$,
∴AF = AC - FC = 2$\sqrt{3}$ - $\sqrt{6}$
∵∠E = 45°,
∴FC = EF·sinE = $\sqrt{6}$,
∴AF = AC - FC = 2$\sqrt{3}$ - $\sqrt{6}$
14. 在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，AB=10，求△ABC 的面积.
答案
14.解:
∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sinA = $\frac{1}{2}$,tanB = $\sqrt{3}$,
∴∠A = 30°,∠B = 60°,
∴∠C = 90°．
∵sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1}{2}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\sqrt{3}$,AB = 10,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB = 5,AC = $\sqrt{3}$BC = 5$\sqrt{3}$,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AC = $\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$ = $\frac{25\sqrt{3}}{2}$
∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sinA = $\frac{1}{2}$,tanB = $\sqrt{3}$,
∴∠A = 30°,∠B = 60°,
∴∠C = 90°．
∵sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1}{2}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\sqrt{3}$,AB = 10,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB = 5,AC = $\sqrt{3}$BC = 5$\sqrt{3}$,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AC = $\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$ = $\frac{25\sqrt{3}}{2}$
15. 如图，在△ABC 中，AC=BC，AB 是⊙C 的切线，切点为 D，直线 AC 交⊙C 于点 E，F，且$CF=\frac{1}{2}AC$.
(1)求∠ACB 的度数；
(2)若 AC=6，求 BF 的长.
(1)求∠ACB 的度数；
(2)若 AC=6，求 BF 的长.
答案
15.解:(1)如答图，连接CD．
∵AB是⊙C的切线,
∴CD⊥AB．
∵CA = CB,
∴AD = DB,CD平分∠ACB,即∠ACD = ∠BCD．
∵CF = $\frac{1}{2}$AC,CF = CD,
∴CD = $\frac{1}{2}$AC,
∴∠A = 30°,
∴∠ACD = 60°,
∴∠ACB = 2∠ACD = 120°．
(2)
∵∠BCF = 180° - ∠ACB = 60°,
∴∠BCF = ∠BCD．
在△BCD和△BCF中,$\{ \begin{array} { l } { CD = CF }, \\ { ∠ BCD = ∠ BCF }, \\ { BC = BC }, \end{array} $
∴△BCD≌△BCF,
∴∠BFC = ∠BDC = 90°,BF = BD,
∴BF = AD．
在Rt△ACD中,
∵∠A = 30°,AC = 6,
∴AD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AC = 3$\sqrt{3}$,
∴BF = 3$\sqrt{3}$
