试一试

5. 已知二次函数 $y= f(x)$ 的图像是开口向上的抛物线,$f(-5)$、$f(-1)$、$f(4)$、$f(7)$ 这四个函数值中有且只有一个值不大于 0. 画草图分析这样的抛物线的位置特征,并写出满足已知条件的一个函数解析式,你还能写出其他的解析式吗？

解：抛物线开口向上，满足题意的抛物线的草图如图：

此时f(-5)、f
(4)、f
(7)都大于0，f(-1)小于0，
则抛物线与x轴有一个交点在-5和-1之间，另一个交点在0和4之间.
可设a=1，顶点坐标(0，-2)，
所以$y=x^2-2.$
还可以写出其他的解析式，如：$y=x^2-3.$

1. 指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1)$y= (2-x)(2x+1)$.
(2)$y= x^{2}+2kx+1$.

解：$(1)y=-2x^2+3x+2=-2(x^2-\frac {3}{2}x)+2=-2(x^2-\frac {3}{2}x+\frac {9}{16})+\frac {25}{8}$
$ =-2(x-\frac {3}{4})^2+\frac {25}{8}，$
∵二次项系数为-2＜0，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为$x=\frac {3}{4}，$顶点坐标为$(\frac {3}{4}，$$\frac {25}{8}).$
$ (2)y=x^2+2kx+1=x^2+2kx+k^2+1-k^2=(x+k)^2+1-k^2，$
∵二次项系数为1＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x=-k，顶点坐标为(-k，$1-k^2).$

2. 已知抛物线$y= x^{2}+mx+m的顶点在直线y= -x$上,求$m$的值.

解：$y=x^2+mx+m=(x+\frac {m}{2})^2+m-\frac { {\ \mathrm {m^2}}}{4}，$
∴顶点坐标为$(-\frac {m}{2}，$$m-\frac {\ \mathrm {{m}^2}}{4}).$
∵抛物线$y=x^2+mx+m$的顶点在直线y=-x上，
∴$-\frac {m}{2}+m-\frac {\ \mathrm {{m}^2}}{4}=0，$
∴$\ \mathrm {m^2}-2m=0，$
∴m(m-2)=0，
解得m=0或2.