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例6 某水果店销售20箱苹果，每箱苹果以10 kg为标准质量，超过10 kg的部分记为正数，不足10 kg的部分记为负数，20箱苹果实际质量记录如下：
（1）求这20箱苹果实际的总质量；
（2）若这些苹果的成本是7元/kg，售价是15元/kg，则销售完这20箱苹果能盈利多少元？
解（1）根据题意得 $10×20+(-0.01)×2+(-0.02)×1+(-0.014)×5+0×2+0.02×3+0.01×3+0.03×4=200-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12=200.1$（kg）.
答：这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg.
（2）根据题意得 $(15-7)×200.1=8×200.1=1600.8$（元）.
答：销售完这20箱苹果能盈利1600.8元.
解题要点
根据总利润＝每千克苹果的销售利润×销售质量，列式计算.
（1）求这20箱苹果实际的总质量；
（2）若这些苹果的成本是7元/kg，售价是15元/kg，则销售完这20箱苹果能盈利多少元？
解（1）根据题意得 $10×20+(-0.01)×2+(-0.02)×1+(-0.014)×5+0×2+0.02×3+0.01×3+0.03×4=200-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12=200.1$（kg）.
答：这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg.
（2）根据题意得 $(15-7)×200.1=8×200.1=1600.8$（元）.
答：销售完这20箱苹果能盈利1600.8元.
解题要点
根据总利润＝每千克苹果的销售利润×销售质量，列式计算.
答案
解：
（1）根据题意，20箱苹果的标准总质量为$10×20=200\ \mathrm{kg}$，
总质量与标准质量的差值和为：
$(-0.01)×2 + (-0.02)×1 + (-0.014)×5 + 0×2 + 0.02×3 + 0.01×3 + 0.03×4$
$=-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12$
$=0.1\ \mathrm{kg}$
所以这20箱苹果实际的总质量为$200+0.1=200.1\ \mathrm{kg}$。
答：这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg。
（2）每千克苹果的盈利为$15-7=8$元，
总盈利为$8×200.1=1600.8$元。
答：销售完这20箱苹果能盈利1600.8元。
（1）根据题意，20箱苹果的标准总质量为$10×20=200\ \mathrm{kg}$，
总质量与标准质量的差值和为：
$(-0.01)×2 + (-0.02)×1 + (-0.014)×5 + 0×2 + 0.02×3 + 0.01×3 + 0.03×4$
$=-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12$
$=0.1\ \mathrm{kg}$
所以这20箱苹果实际的总质量为$200+0.1=200.1\ \mathrm{kg}$。
答：这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg。
（2）每千克苹果的盈利为$15-7=8$元，
总盈利为$8×200.1=1600.8$元。
答：销售完这20箱苹果能盈利1600.8元。
解析
【分析】
（1）求解20箱苹果实际总质量时，先计算20箱按标准质量的总重量，再计算所有箱与标准质量的偏差总和，将标准总质量加上偏差总和即可得到实际总质量，计算偏差总和时要将每类偏差值乘对应箱数后再相加。（2）求解总盈利时，先算出每千克苹果的利润（售价减去成本），再用每千克利润乘实际总质量即可得到总盈利。
【解析】
（1）首先计算20箱苹果的标准总质量：
$10×20=200\ \mathrm{kg}$
再计算总质量与标准质量的差值和：
$\begin{aligned}&(-0.01)×2 + (-0.02)×1 + (-0.014)×5 + 0×2 + 0.02×3 + 0.01×3 + 0.03×4\\=&-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12\\=&0.1\ \mathrm{kg}\end{aligned}$
因此实际总质量为：
$200+0.1=200.1\ \mathrm{kg}$
（2）先计算每千克苹果的盈利：
$15-7=8$元
总盈利为单位盈利乘实际总质量：
$8×200.1=1600.8$元
【答案】
（1）这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg；（2）销售完这20箱苹果能盈利1600.8元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润计算
【点评】
本题结合生活场景设计题目，核心考察对正负数表示偏差的理解，以及有理数运算的掌握程度，解题时只要理清总质量、偏差、利润的计算逻辑，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
（1）求解20箱苹果实际总质量时，先计算20箱按标准质量的总重量，再计算所有箱与标准质量的偏差总和，将标准总质量加上偏差总和即可得到实际总质量，计算偏差总和时要将每类偏差值乘对应箱数后再相加。（2）求解总盈利时，先算出每千克苹果的利润（售价减去成本），再用每千克利润乘实际总质量即可得到总盈利。
【解析】
（1）首先计算20箱苹果的标准总质量：
$10×20=200\ \mathrm{kg}$
再计算总质量与标准质量的差值和：
$\begin{aligned}&(-0.01)×2 + (-0.02)×1 + (-0.014)×5 + 0×2 + 0.02×3 + 0.01×3 + 0.03×4\\=&-0.02-0.02-0.07+0+0.06+0.03+0.12\\=&0.1\ \mathrm{kg}\end{aligned}$
因此实际总质量为：
$200+0.1=200.1\ \mathrm{kg}$
（2）先计算每千克苹果的盈利：
$15-7=8$元
总盈利为单位盈利乘实际总质量：
$8×200.1=1600.8$元
【答案】
（1）这20箱苹果实际的总质量为200.1 kg；（2）销售完这20箱苹果能盈利1600.8元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润计算
【点评】
本题结合生活场景设计题目，核心考察对正负数表示偏差的理解，以及有理数运算的掌握程度，解题时只要理清总质量、偏差、利润的计算逻辑，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
1. 计算：$(-\dfrac{5}{2}) ÷ □ = -3$中，$□$中应填（
A.$-\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$-\dfrac{5}{6}$
D.$\dfrac{5}{6}$
D
）A.$-\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$-\dfrac{5}{6}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
1. D 解析 $(-\dfrac{5}{2}) ÷ (-3) = (-\dfrac{5}{2}) × (-\dfrac{1}{3})=\dfrac{5}{6}$，因此$□$中应填$\dfrac{5}{6}$。
解析
【分析】
已知除法算式中的被除数为$-\dfrac{5}{2}$，商为$-3$，要求除数，我们可以利用除法运算各部分之间的基本关系：除数=被除数÷商，先列出计算方框内数值的算式，再按照有理数除法的运算规则，先确定结果的符号，再将除法转化为乘法计算数值即可。
【解析】
设方框中的数为$x$，根据题意可得：
$(-\dfrac{5}{2}) ÷ x = -3$
根据“除数=被除数÷商”，代入数据得：
$x = (-\dfrac{5}{2}) ÷ (-3)$
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，计算得：
$x = (-\dfrac{5}{2}) × (-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{5}{2} × \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
因此方框中应填$\dfrac{5}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法运算，乘除互逆关系，倒数的应用
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，重点考察对除法各部分关系的理解和有理数除法规则的运用，解题时注意先确定运算结果的符号，再计算数值，可有效避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
已知除法算式中的被除数为$-\dfrac{5}{2}$，商为$-3$，要求除数，我们可以利用除法运算各部分之间的基本关系：除数=被除数÷商，先列出计算方框内数值的算式，再按照有理数除法的运算规则，先确定结果的符号，再将除法转化为乘法计算数值即可。
【解析】
设方框中的数为$x$，根据题意可得：
$(-\dfrac{5}{2}) ÷ x = -3$
根据“除数=被除数÷商”，代入数据得：
$x = (-\dfrac{5}{2}) ÷ (-3)$
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，且除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，计算得：
$x = (-\dfrac{5}{2}) × (-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{5}{2} × \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
因此方框中应填$\dfrac{5}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法运算，乘除互逆关系，倒数的应用
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，重点考察对除法各部分关系的理解和有理数除法规则的运用，解题时注意先确定运算结果的符号，再计算数值，可有效避免符号类错误。
【难度系数】
0.8
2. 化简下列分数：
(1) $\frac{-56}{14}$；
(2)
；
(3) $\frac{-52}{-8}$。
(1) $\frac{-56}{14}$；
(2)
；(3) $\frac{-52}{-8}$。
答案
解 (1) $\dfrac{-56}{14}=-56÷14=-4$。
(2) $\dfrac{2}{-12}=2÷(-12)=-\dfrac{1}{6}$。
(3) $\dfrac{-52}{-8}=(-52)÷(-8)=52÷8=\dfrac{13}{2}$。
(2) $\dfrac{2}{-12}=2÷(-12)=-\dfrac{1}{6}$。
(3) $\dfrac{-52}{-8}=(-52)÷(-8)=52÷8=\dfrac{13}{2}$。
解析
【分析】
化简这类分数可依据分数与除法的关系，先把分数转化为有理数除法运算：分子对应被除数，分母对应除数。解题时第一步先根据有理数除法的符号规则确定结果符号：同号相除得正，异号相除得负；第二步计算两个数绝对值的商，最后把结果约分为最简形式即可。
【解析】
(1) $\dfrac{-56}{14}=-56÷14$，异号相除结果为负，计算绝对值的商$56÷14=4$，因此结果为$-4$。
(2) $\dfrac{2}{-12}=2÷(-12)$，异号相除结果为负，计算绝对值的商$2÷12=\dfrac{1}{6}$，因此结果为$-\dfrac{1}{6}$。
(3) $\dfrac{-52}{-8}=(-52)÷(-8)$，同号相除结果为正，计算绝对值的商$52÷8=\dfrac{13}{2}$，因此结果为$\dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{6}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{13}{2}}$
【知识点】
有理数除法法则、分数化简、分数与除法的关系
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是先确定运算结果的符号，再计算绝对值的商，注意最终输出结果需要化为最简分数或整数，避免出现未约分的错误。
【难度系数】
0.9
化简这类分数可依据分数与除法的关系，先把分数转化为有理数除法运算：分子对应被除数，分母对应除数。解题时第一步先根据有理数除法的符号规则确定结果符号：同号相除得正，异号相除得负；第二步计算两个数绝对值的商，最后把结果约分为最简形式即可。
【解析】
(1) $\dfrac{-56}{14}=-56÷14$，异号相除结果为负，计算绝对值的商$56÷14=4$，因此结果为$-4$。
(2) $\dfrac{2}{-12}=2÷(-12)$，异号相除结果为负，计算绝对值的商$2÷12=\dfrac{1}{6}$，因此结果为$-\dfrac{1}{6}$。
(3) $\dfrac{-52}{-8}=(-52)÷(-8)$，同号相除结果为正，计算绝对值的商$52÷8=\dfrac{13}{2}$，因此结果为$\dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{6}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{13}{2}}$
【知识点】
有理数除法法则、分数化简、分数与除法的关系
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是先确定运算结果的符号，再计算绝对值的商，注意最终输出结果需要化为最简分数或整数，避免出现未约分的错误。
【难度系数】
0.9
3. 计算：
(1) $36÷(-5)$；
(2) $(-2)÷\frac{1}{2}$；
(3) $0÷(-5)$；
(4) $8÷(-0.2)$。
(1) $36÷(-5)$；
(2) $(-2)÷\frac{1}{2}$；
(3) $0÷(-5)$；
(4) $8÷(-0.2)$。
答案
3. 解 (1) $36÷(-5)=-(36÷5)=-\dfrac{36}{5}$。
(2) $(-2)÷\dfrac{1}{2}=(-2)×2=-4$。
(3) $0÷(-5)=0$。
(4) $8÷(-0.2)=-(8÷0.2)=-40$。
(2) $(-2)÷\dfrac{1}{2}=(-2)×2=-4$。
(3) $0÷(-5)=0$。
(4) $8÷(-0.2)=-(8÷0.2)=-40$。
解析
【分析】
本题考查有理数的除法运算，解题思路如下：首先牢记有理数除法的核心规则：①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；②除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；③0除以任何不为0的数都得0。解题时先判断每个算式中两个数的符号确定结果的符号，再计算绝对值部分的运算即可：（1）36和-5异号，先定负号，再算36÷5的结果；（2）除以$\frac{1}{2}$可转化为乘它的倒数2，再按异号乘法计算；（3）直接用0的除法性质求解；（4）8和-0.2异号，先定负号，再算8÷0.2的结果。
【解析】
(1) 两数异号结果为负，计算绝对值相除：
$36÷(-5)=-(36÷5)=-\dfrac{36}{5}$
(2) 除法转化为乘倒数，再计算：
$(-2)÷\dfrac{1}{2}=(-2)×2=-4$
(3) 0除以非0数结果为0：
$0÷(-5)=0$
(4) 两数异号结果为负，计算绝对值相除：
$8÷(-0.2)=-(8÷0.2)=-40$
【答案】
(1)$-\dfrac{36}{5}$；(2)$-4$；(3)$0$；(4)$-40$
【知识点】
1.有理数除法法则 2.倒数的定义 3.0的除法性质
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，重点考察运算过程中的符号判断、除法转乘法的变形规则，熟练掌握相关法则、注意符号不要出错就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数的除法运算，解题思路如下：首先牢记有理数除法的核心规则：①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；②除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；③0除以任何不为0的数都得0。解题时先判断每个算式中两个数的符号确定结果的符号，再计算绝对值部分的运算即可：（1）36和-5异号，先定负号，再算36÷5的结果；（2）除以$\frac{1}{2}$可转化为乘它的倒数2，再按异号乘法计算；（3）直接用0的除法性质求解；（4）8和-0.2异号，先定负号，再算8÷0.2的结果。
【解析】
(1) 两数异号结果为负，计算绝对值相除：
$36÷(-5)=-(36÷5)=-\dfrac{36}{5}$
(2) 除法转化为乘倒数，再计算：
$(-2)÷\dfrac{1}{2}=(-2)×2=-4$
(3) 0除以非0数结果为0：
$0÷(-5)=0$
(4) 两数异号结果为负，计算绝对值相除：
$8÷(-0.2)=-(8÷0.2)=-40$
【答案】
(1)$-\dfrac{36}{5}$；(2)$-4$；(3)$0$；(4)$-40$
【知识点】
1.有理数除法法则 2.倒数的定义 3.0的除法性质
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，重点考察运算过程中的符号判断、除法转乘法的变形规则，熟练掌握相关法则、注意符号不要出错就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
