登录
例2 计算：
(1) $(-15)÷(-3)$； (2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})$；
(3) $(-0.75)÷0.25$； (4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})$.
解 (1) $(-15)÷(-3)=15÷3=5$.
(2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$.
(3) $(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$.
(4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$.
(1) $(-15)÷(-3)$； (2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})$；
(3) $(-0.75)÷0.25$； (4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})$.
解 (1) $(-15)÷(-3)=15÷3=5$.
(2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$.
(3) $(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$.
(4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$.
答案
解：
(1) $(-15)÷(-3)=15÷3=5$.
(2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$.
(3) $(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$.
(4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$.
(1) $(-15)÷(-3)=15÷3=5$.
(2) $(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$.
(3) $(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$.
(4) $\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$.
解析
【分析】
解答这类有理数除法计算题可分两步思考：第一步先定符号，根据有理数除法的符号规律：同号两数相除得正，异号两数相除得负，先确定最终结果的符号；第二步计算绝对值部分，若除数是分数，可依据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法计算，小数除法可直接计算绝对值的商，最后结合确定好的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 两个负数相除结果为正，计算绝对值的商：
$(-15)÷(-3)=15÷3=5$
(2) 两个负数相除结果为正，将除法转化为乘除数的倒数计算：
$(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$
(3) 异号两数相除结果为负，计算绝对值的商：
$(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$
(4) 异号两数相除结果为负，将除法转化为乘除数的倒数后约分计算：
$\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{48}$；(3) $\boxed{-3}$；(4) $\boxed{-\dfrac{3}{10}}$
【知识点】
有理数除法法则、倒数的定义、分数乘法运算
【点评】
本题属于有理数除法的基础运算题，重点考查除法运算的符号判断规则以及除法转乘法的转换方法，是有理数运算的核心基础内容，熟练掌握该类运算可为后续复杂的有理数混合运算筑牢基础。
【难度系数】
0.8
解答这类有理数除法计算题可分两步思考：第一步先定符号，根据有理数除法的符号规律：同号两数相除得正，异号两数相除得负，先确定最终结果的符号；第二步计算绝对值部分，若除数是分数，可依据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法计算，小数除法可直接计算绝对值的商，最后结合确定好的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 两个负数相除结果为正，计算绝对值的商：
$(-15)÷(-3)=15÷3=5$
(2) 两个负数相除结果为正，将除法转化为乘除数的倒数计算：
$(-12)÷(-\frac{1}{4})=(-12)×(-4)=48$
(3) 异号两数相除结果为负，计算绝对值的商：
$(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3$
(4) 异号两数相除结果为负，将除法转化为乘除数的倒数后约分计算：
$\frac{6}{25}÷(-\frac{4}{5})=\frac{6}{25}×(-\frac{5}{4})=-\frac{3}{10}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{48}$；(3) $\boxed{-3}$；(4) $\boxed{-\dfrac{3}{10}}$
【知识点】
有理数除法法则、倒数的定义、分数乘法运算
【点评】
本题属于有理数除法的基础运算题，重点考查除法运算的符号判断规则以及除法转乘法的转换方法，是有理数运算的核心基础内容，熟练掌握该类运算可为后续复杂的有理数混合运算筑牢基础。
【难度系数】
0.8
例3 化简下列分数：
（1）$\frac{-12}{3}$；
（2）$\frac{-24}{-16}$。
解（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3=-(12÷3)=-4$。
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)=24÷16=\frac{3}{2}$。
（1）$\frac{-12}{3}$；
（2）$\frac{-24}{-16}$。
解（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3=-(12÷3)=-4$。
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)=24÷16=\frac{3}{2}$。
答案
解：
（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3=-(12÷3)=-4$
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)=24÷16=\frac{3}{2}$
（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3=-(12÷3)=-4$
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)=24÷16=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
化简含正负号的分数时，首先利用分数与除法的对应关系（分子为被除数，分母为除数），将分数转化为有理数除法运算；再依据有理数除法的符号法则：同号得正，异号得负，先确定结果的符号；最后计算两数绝对值的商，约分为最简形式即可。
【解析】
（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3$，根据异号两数相除得负，可得$-(12÷3)=-4$；
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)$，根据同号两数相除得正，可得$24÷16=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-4}$；（2）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
1. 分数与除法的关系
2. 有理数除法法则
3. 分数约分
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题核心是优先确定结果的符号，再进行绝对值的运算，最后将结果化为最简，做题时要注意避免符号判断错误。
【难度系数】
0.9
化简含正负号的分数时，首先利用分数与除法的对应关系（分子为被除数，分母为除数），将分数转化为有理数除法运算；再依据有理数除法的符号法则：同号得正，异号得负，先确定结果的符号；最后计算两数绝对值的商，约分为最简形式即可。
【解析】
（1）$\frac{-12}{3}=(-12)÷3$，根据异号两数相除得负，可得$-(12÷3)=-4$；
（2）$\frac{-24}{-16}=(-24)÷(-16)$，根据同号两数相除得正，可得$24÷16=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-4}$；（2）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
1. 分数与除法的关系
2. 有理数除法法则
3. 分数约分
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题核心是优先确定结果的符号，再进行绝对值的运算，最后将结果化为最简，做题时要注意避免符号判断错误。
【难度系数】
0.9
知识点二 有理数的加、减、乘、除混合运算
有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先
有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先
乘除
，后加减
”的顺序进行。答案
先乘除，后加减
解析
【分析】
这道题考查无括号情况下的有理数加减乘除混合运算顺序，解题时先回忆课本中的运算顺序规定：加减属于同一级运算，乘除属于比加减更高一级的运算，当没有括号指定运算顺序时，需先完成级别更高的乘除运算，再进行加减运算，据此就能得出答案。
【解析】
根据有理数四则混合运算的顺序规则，若没有括号指明运算的先后顺序，需按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算，因此两个空依次填入乘除、加减。
【答案】
先乘除，后加减
【知识点】
有理数混合运算顺序
【点评】
本题是基础概念类题目，所考查的运算顺序规则是进行有理数混合运算的核心基础，需要熟练记忆，避免后续计算时出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查无括号情况下的有理数加减乘除混合运算顺序，解题时先回忆课本中的运算顺序规定：加减属于同一级运算，乘除属于比加减更高一级的运算，当没有括号指定运算顺序时，需先完成级别更高的乘除运算，再进行加减运算，据此就能得出答案。
【解析】
根据有理数四则混合运算的顺序规则，若没有括号指明运算的先后顺序，需按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算，因此两个空依次填入乘除、加减。
【答案】
先乘除，后加减
【知识点】
有理数混合运算顺序
【点评】
本题是基础概念类题目，所考查的运算顺序规则是进行有理数混合运算的核心基础，需要熟练记忆，避免后续计算时出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
例4 计算：(1) $\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) ÷ (-\frac{3}{4})$；
(2) $(-1.25) × \frac{5}{4} × (-8) ÷ (-\frac{3}{4})$。
解 (1) 原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})=\frac{16}{9}$。
(2) 原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})=-\frac{50}{3}$。
(2) $(-1.25) × \frac{5}{4} × (-8) ÷ (-\frac{3}{4})$。
解 (1) 原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})=\frac{16}{9}$。
(2) 原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})=-\frac{50}{3}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})$
$=\frac{4×5×4}{5×3×3}$
$=\frac{16}{9}$
(2) 原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})$
$= -(\frac{5}{4} × 8) × (\frac{5}{4} × \frac{4}{3})$
$= -10 × \frac{5}{3}$
$= -\frac{50}{3}$
(1) 原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})$
$=\frac{4×5×4}{5×3×3}$
$=\frac{16}{9}$
(2) 原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})$
$= -(\frac{5}{4} × 8) × (\frac{5}{4} × \frac{4}{3})$
$= -10 × \frac{5}{3}$
$= -\frac{50}{3}$
解析
【分析】
这两道题是有理数乘除混合运算题，解题可按以下思路进行：第一步，根据“除以一个非0的数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算统一转化为乘法运算，遇到小数可先化为分数方便计算；第二步，先确定最终结果的符号：负因数的个数为偶数时，结果为正，负因数个数为奇数时，结果为负；第三步，计算所有因数绝对值的乘积，计算时可灵活运用乘法交换律、结合律，优先将能约分的数分组计算，简化运算过程，减少出错。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})$
负因数共2个，结果为正，计算绝对值的乘积并约分：
$=\frac{4×5×4}{5×3×3}$
$=\frac{16}{9}$
(2) 先将小数$-1.25$化为分数$-\frac{5}{4}$，再将除法转化为乘法：
原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})$
负因数共3个，结果为负，利用乘法结合律分组简便计算：
$= -(\frac{5}{4} × 8) × (\frac{5}{4} × \frac{4}{3})$
分别计算每组乘积：
$= -10 × \frac{5}{3}$
$= -\frac{50}{3}$
【答案】
(1) $\frac{16}{9}$；(2) $-\frac{50}{3}$
【知识点】
有理数乘除混合运算、倒数的应用、乘法运算律
【点评】
本题是有理数运算的基础典型题，解题核心是先统一运算形式、先确定符号再计算数值，合理运用运算律可有效提升计算效率和正确率，需要注意避免符号判断错误、约分错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
这两道题是有理数乘除混合运算题，解题可按以下思路进行：第一步，根据“除以一个非0的数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算统一转化为乘法运算，遇到小数可先化为分数方便计算；第二步，先确定最终结果的符号：负因数的个数为偶数时，结果为正，负因数个数为奇数时，结果为负；第三步，计算所有因数绝对值的乘积，计算时可灵活运用乘法交换律、结合律，优先将能约分的数分组计算，简化运算过程，减少出错。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{4}{5} × (-\frac{5}{3}) × (-\frac{4}{3})$
负因数共2个，结果为正，计算绝对值的乘积并约分：
$=\frac{4×5×4}{5×3×3}$
$=\frac{16}{9}$
(2) 先将小数$-1.25$化为分数$-\frac{5}{4}$，再将除法转化为乘法：
原式$=(-\frac{5}{4}) × \frac{5}{4} × (-8) × (-\frac{4}{3})$
负因数共3个，结果为负，利用乘法结合律分组简便计算：
$= -(\frac{5}{4} × 8) × (\frac{5}{4} × \frac{4}{3})$
分别计算每组乘积：
$= -10 × \frac{5}{3}$
$= -\frac{50}{3}$
【答案】
(1) $\frac{16}{9}$；(2) $-\frac{50}{3}$
【知识点】
有理数乘除混合运算、倒数的应用、乘法运算律
【点评】
本题是有理数运算的基础典型题，解题核心是先统一运算形式、先确定符号再计算数值，合理运用运算律可有效提升计算效率和正确率，需要注意避免符号判断错误、约分错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
例5 计算：(1) $(-3)-(+7)+2÷(-\dfrac{2}{3})$；
(2) $1\dfrac{3}{5}×(1.75-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷0.25$。
解 (1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})=-3-7-3=-13$。
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{46}{15}$。
—解题要点
进行有理数的除法运算时，若能整除，则直接相除；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”来进行计算。
—解题要点
先把分数的分数线看作除号，再根据除法法则进行化简。
—解题要点
先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。熟练掌握运算法则以及准确计算是解题的关键。
(2) $1\dfrac{3}{5}×(1.75-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷0.25$。
解 (1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})=-3-7-3=-13$。
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{46}{15}$。
—解题要点
进行有理数的除法运算时，若能整除，则直接相除；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”来进行计算。
—解题要点
先把分数的分数线看作除号，再根据除法法则进行化简。
—解题要点
先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。熟练掌握运算法则以及准确计算是解题的关键。
答案
解：
(1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})$
$=-3-7-3$
$=-13$
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4$
$=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}$
$=\dfrac{6}{15}+\dfrac{40}{15}$
$=\dfrac{46}{15}$
(1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})$
$=-3-7-3$
$=-13$
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4$
$=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}$
$=\dfrac{6}{15}+\dfrac{40}{15}$
$=\dfrac{46}{15}$
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算，解题需遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
1. 解第(1)题时，先把减法转化为省略加号的和的形式，再按照有理数除法法则，将除法转化为乘法运算，先计算乘法部分，最后按从左到右的顺序计算加减即可。
2. 解第(2)题时，先把带分数、小数统一转化为分数形式，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后对异分母分数通分后计算加减即可。
【解析】
(1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})$
$=-3-7-3$
$=-13$
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4$
$=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}$
$=\dfrac{6}{15}+\dfrac{40}{15}$
$=\dfrac{46}{15}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{46}{15}}$
【知识点】
有理数混合运算；有理数除法法则；异分母分数加减
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和基础运算的熟练度，计算时要注意符号判断、数的形式统一和通分的准确性，养成检查习惯可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数混合运算，解题需遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
1. 解第(1)题时，先把减法转化为省略加号的和的形式，再按照有理数除法法则，将除法转化为乘法运算，先计算乘法部分，最后按从左到右的顺序计算加减即可。
2. 解第(2)题时，先把带分数、小数统一转化为分数形式，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后对异分母分数通分后计算加减即可。
【解析】
(1) 原式$=-3-7+2×(-\dfrac{3}{2})$
$=-3-7-3$
$=-13$
(2) 原式$=\dfrac{8}{5}×(\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{2})+\dfrac{2}{3}÷\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{8}{5}×\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}×4$
$=\dfrac{2}{5}+\dfrac{8}{3}$
$=\dfrac{6}{15}+\dfrac{40}{15}$
$=\dfrac{46}{15}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{46}{15}}$
【知识点】
有理数混合运算；有理数除法法则；异分母分数加减
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和基础运算的熟练度，计算时要注意符号判断、数的形式统一和通分的准确性，养成检查习惯可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
