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1. 下列各式从左到右的变形，分解因式正确的是().
A.$ (a + 3)^{2} = a^{2} + 6a + 9 $
B.$ a^{2} - 4a + 4 = a(a - 4) + 4 $
C.$ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
D.$ a^{2} - 2a - 1 = (a - 1)^{2} $
A.$ (a + 3)^{2} = a^{2} + 6a + 9 $
B.$ a^{2} - 4a + 4 = a(a - 4) + 4 $
C.$ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
D.$ a^{2} - 2a - 1 = (a - 1)^{2} $
答案
C
解析
分解因式是把一个多项式化为几个整式的积的形式。A是整式乘法，不是分解因式；B右边不是整式积的形式；C是平方差公式，正确；D右边展开为$a^2 - 2a + 1$，与左边不相等。
2. 下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是().
A.$ 5xy $和$ xy^{5} $
B.$ 5x - y $和$ x + 5y $
C.$ 5x - 5y $和$ 6x - 6y $
D.$ 5x $和$ 15y $
A.$ 5xy $和$ xy^{5} $
B.$ 5x - y $和$ x + 5y $
C.$ 5x - 5y $和$ 6x - 6y $
D.$ 5x $和$ 15y $
答案
B
解析
A选项，5xy和xy⁵的公因式为xy；B选项，5x - y和x + 5y没有公因式；C选项，5x - 5y=5(x - y)，6x - 6y=6(x - y)，公因式为(x - y)；D选项，5x和15y的公因式为5。
3. 把多项式$ 2(a - 2) + 6x(2 - a) $分解因式，结果是().
A.$ (a - 2)(2 + 6x) $
B.$ (a - 2)(2 - 6x) $
C.$ 2(a - 2)(1 + 3x) $
D.$ 2(a - 2)(1 - 3x) $
A.$ (a - 2)(2 + 6x) $
B.$ (a - 2)(2 - 6x) $
C.$ 2(a - 2)(1 + 3x) $
D.$ 2(a - 2)(1 - 3x) $
答案
D
解析
原式为 $2(a - 2) + 6x(2 - a)$，
将第二项中的 $ (2 - a) $ 转化为 $ -(a - 2) $，得到：
$2(a - 2) - 6x(a - 2)$，
提取公因式 $ (a - 2) $，得到：
$(a - 2)(2 - 6x)$，
将 $ (2 - 6x) $ 中的公因数2提取出来，得到：
$(a - 2) × 2(1 - 3x)=2(a - 2)(1 - 3x)$。
将第二项中的 $ (2 - a) $ 转化为 $ -(a - 2) $，得到：
$2(a - 2) - 6x(a - 2)$，
提取公因式 $ (a - 2) $，得到：
$(a - 2)(2 - 6x)$，
将 $ (2 - 6x) $ 中的公因数2提取出来，得到：
$(a - 2) × 2(1 - 3x)=2(a - 2)(1 - 3x)$。
4. 如果$ 4x^{2} - 2mx + 9 $是一个完全平方式，那么$ m $的值是().
A.36
B.$ \pm 6 $
C.$ \pm 12 $
D.6
A.36
B.$ \pm 6 $
C.$ \pm 12 $
D.6
答案
B
解析
因为$4x^{2}-2mx + 9=(2x)^{2}-2mx + 3^{2}$是完全平方式，所以$-2mx=\pm2×2x×3$，即$-2m = \pm12$，解得$m=\pm6$。
5. 分解因式$ 4xy^{2} - 24xy + 36x $，结果正确的是().
A.$ x(2y + 6)^{2} $
B.$ 2x(y - 3)^{2} $
C.$ 4x(y - 6)^{2} $
D.$ 4x(y - 3)^{2} $
A.$ x(2y + 6)^{2} $
B.$ 2x(y - 3)^{2} $
C.$ 4x(y - 6)^{2} $
D.$ 4x(y - 3)^{2} $
答案
D
解析
原式 $4xy^{2} - 24xy + 36x$ 首先提取公因式 $4x$，得到：
$4x(y^{2} - 6y + 9)$，
观察括号内的三项式 $y^{2} - 6y + 9$，这是一个完全平方三项式，它可以表示为 $(y - 3)^{2}$。
因此，原式可以进一步分解为：
$4x(y - 3)^{2}$。
$4x(y^{2} - 6y + 9)$，
观察括号内的三项式 $y^{2} - 6y + 9$，这是一个完全平方三项式，它可以表示为 $(y - 3)^{2}$。
因此，原式可以进一步分解为：
$4x(y - 3)^{2}$。
6. 已知$ a + b = 6 $，$ a - b = 2 $，则$ 3a^{2} - 3b^{2} $等于().
A.36
B.24
C.18
D.12
A.36
B.24
C.18
D.12
答案
A
解析
因为$a + b = 6$，$a - b = 2$，所以$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) = 3(a + b)(a - b) = 3×6×2 = 36$。
7. 已知$ a $，$ b $，$ c $是$ \triangle ABC $的三边长，则代数式$ (a - c)^{2} - b^{2} $的值().
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
答案
B
解析
原式可应用平方差公式进行因式分解，即：$(a - c)^{2} - b^{2}=(a - c + b)(a - c - b)$，
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知：
$a+b-c$为正数，$a-c-b=a-(b+c)$为负数，
令$M=a - c + b$，$N=a - c - b$即这两个数异号，
异号相乘为负数，即原式一定是负数。
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知：
$a+b-c$为正数，$a-c-b=a-(b+c)$为负数，
令$M=a - c + b$，$N=a - c - b$即这两个数异号，
异号相乘为负数，即原式一定是负数。
8. 已知$ n $为正整数，某学习小组在用代入法求代数式$ n^{3} - n $的值时，出现四个答案，请问以下答案可能正确的是().
A.1 713
B.1 714
C.1 715
D.1 716
A.1 713
B.1 714
C.1 715
D.1 716
答案
D
解析
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$，连续三个正整数的乘积必为6的倍数（2和3的倍数）。1713：1+7+1+3=12是3的倍数，1713是奇数不是2的倍数，非6的倍数；1714：1714是2的倍数，1+7+1+4=13非3的倍数，非6的倍数；1715：1715是5的倍数，奇数非2的倍数，非6的倍数；1716：1+7+1+6=15是3的倍数，1716是偶数是2的倍数，是6的倍数。
9. 分解因式：$ m^{2}n - 4mn^{2} + 4n^{2} = $
答案
【解析】：原式提取公因式n得$n(m^{2}-4mn + 4n)$，无法继续分解，故结果为$n(m^{2}-4mn + 4n)$
【答案】：$n(m^{2}-4mn + 4n)$
【答案】：$n(m^{2}-4mn + 4n)$
10. 分解因式：$ a^{2}(x - y) + (y - x) = $
答案
$(x - y)(a + 1)(a - 1)$
解析
原式$a^{2}(x - y) + (y - x)$中，可将$(y - x)$变形为$-(x - y)$，则原式变为$a^{2}(x - y)-(x - y)$。
提取公因式$(x - y)$可得：$(x - y)(a^{2}-1)$。
再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$a^{2}-1$继续分解，$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$。
所以原式分解结果为$(x - y)(a + 1)(a - 1)$。
提取公因式$(x - y)$可得：$(x - y)(a^{2}-1)$。
再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$a^{2}-1$继续分解，$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$。
所以原式分解结果为$(x - y)(a + 1)(a - 1)$。
11. 若$ a^{2} + ab = 16 + m $，$ b^{2} + ab = 9 - m $，则$ a + b $的值为.
答案
±5
解析
将两式相加得：$a^{2} + ab + b^{2} + ab = 16 + m + 9 - m$，化简得$a^{2} + 2ab + b^{2} = 25$，即$(a + b)^{2} = 25$，所以$a + b = ±5$。
12. 已知$ m^{2} + n^{2} = 25 $，$ mn = 12 $，则$ mn^{3} + m^{3}n $的值为.
答案
300
解析
$\begin{aligned}mn^{3} + m^{3}n &= mn(n^{2} + m^{2})\\&= mn(m^{2} + n^{2})\\\because m^{2} + n^{2} = 25, mn = 12\\\therefore 原式 &= 12×25\\&= 300\end{aligned}$
