1. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式,如图可表示的代数恒等式是().


A.$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
B.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
C.$2a(a + b) = 2a^{2} + 2ab$
D.$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$

D

左图大正方形边长为a，空白小正方形边长为b，阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。右图将阴影部分拼成一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，面积为$(a + b)(a - b)$。两图阴影面积相等，故$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

2. 如图(1),从边长为$a$的正方形纸片中剪去一个边长为$b$的小正方形,再沿着线段$AB$剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)的等腰梯形.
(1)设图(1)中阴影部分的面积为$S_{1}$,图(2)中阴影部分的面积为$S_{2}$,请直接用含$a$,$b$的代数式表示$S_{1}$,$S_{2}$;
(2)请写出上述过程所表示的乘法公式.

(1) $ S_{1}=a^{2}-b^{2} $；
$ S_{2}=\frac{1}{2}(2b + 2a)(a - b)=(a + b)(a - b) $。
(2) $ (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} $。

3. (2024 玉溪期末)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是().

A.$(m - n)(-m + n)$
B.$(m + n)(-m + n)$
C.$(m - n)(m - n)$
D.$(-m - n)(-m - n)$

B

平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，其特点是两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(m - n)(-m + n)=-(m - n)(m - n)$，两项均互为相反数，不符合。
选项B：$(m + n)(-m + n)=(n + m)(n - m)$，$n$完全相同，$m$与$-m$互为相反数，符合。
选项C：$(m - n)(m - n)=(m - n)^2$，两项完全相同，是完全平方公式，不符合。
选项D：$(-m - n)(-m - n)=(-m - n)^2$，两项完全相同，是完全平方公式，不符合。

4. (易错题)计算$(a + 2b)(a - 2b)$,结果是().

A.$a^{2} - 2b^{2}$
B.$a^{2} + 4b^{2}$
C.$a^{2} - 4b^{2}$
D.$4b^{2} - a^{2}$

C

根据平方差公式，$(x+y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，在$(a + 2b)(a - 2b)$中，$x = a$，$y = 2b$，则$(a + 2b)(a - 2b)=a^{2}-(2b)^{2}=a^{2}-4b^{2}$。

5. 计算:$x^{2} - (x + 2)(x - 2)$的结果是.

4（由于题目要求填写在特定格式的框中，且为非选择题形式，故直接给出数值答案）
填写方式为：（此部分为说明答案填写方式，实际返回时只需“4”）

首先，根据平方差公式，有：
$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4$，
接着，将这个结果代入原式 $x^{2} - (x + 2)(x - 2)$，得到：
$x^{2} - (x^2 - 4) = x^{2} - x^2 + 4 = 4$。

6. 计算:(1)$(\frac{1}{2}a + 1)(\frac{1}{2}a - 1)$;
(2)$(-x + 4)(-x - 4)$;
(3)$(3n - 2m)(-3n - 2m)$.

(1)
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，在$(\frac{1}{2}a + 1)(\frac{1}{2}a - 1)$中，$a=\frac{1}{2}a$，$b = 1$，则：
$(\frac{1}{2}a + 1)(\frac{1}{2}a - 1)=(\frac{1}{2}a)^{2}-1^{2}=\frac{1}{4}a^{2}-1$
(2)
在$(-x + 4)(-x - 4)$中，$a=-x$，$b = 4$，根据平方差公式可得：
$(-x + 4)(-x - 4)=(-x)^{2}-4^{2}=x^{2}-16$
(3)
在$(3n - 2m)(-3n - 2m)$中，可变形为$(-2m+3n)(-2m - 3n)$，此时$a=-2m$，$b = 3n$，根据平方差公式可得：
$(3n - 2m)(-3n - 2m)=(-2m)^{2}-(3n)^{2}=4m^{2}-9n^{2}$
综上，答案依次为：(1)$\frac{1}{4}a^{2}-1$；(2)$x^{2}-16$；(3)$4m^{2}-9n^{2}$。

7. 计算:
(1)$(x + 3)(2x - 1) - 3(x + 1)(x - 1)$;
(2)$998×1002$.

(1)$-x^{2}+5x$；
(2)$999996$。

(1)
首先，根据多项式乘多项式法则计算$(x + 3)(2x - 1)$：
$(x + 3)(2x - 1)=2x^{2}-x + 6x-3=2x^{2}+5x - 3$
然后，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$计算$3(x + 1)(x - 1)$：
$3(x + 1)(x - 1)=3(x^{2}-1)=3x^{2}-3$
最后，计算$(x + 3)(2x - 1)-3(x + 1)(x - 1)$：
$2x^{2}+5x - 3-(3x^{2}-3)=2x^{2}+5x - 3 - 3x^{2}+3=-x^{2}+5x$
(2)
将$998$转化为$(1000 - 2)$，$1002$转化为$(1000+2)$，然后根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$计算：
$998×1002=(1000 - 2)(1000+2)=1000^{2}-2^{2}=1000000 - 4 = 999996$