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平方差公式
(1)语言叙述:两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的;
(2)公式:$(a + b)(a - b) =$.
(1)语言叙述:两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的;
(2)公式:$(a + b)(a - b) =$.
答案
(1) 和，差，平方差
(2) $a^{2} - b^{2}$
(2) $a^{2} - b^{2}$
解析
(1) 根据平方差公式的语言描述，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(2) 根据平方差公式的代数表达式，$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$。
(2) 根据平方差公式的代数表达式，$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$。
【例1】如图,图(1)中阴影部分的面积是,图(2)中阴影部分的面积是,由此你得到的等式是$(a + b)(a - b) =$.
答案
图(1)中阴影部分的面积：
$S_1 = a^2 - b^2$，
图(2)中阴影部分的面积：
$S_2 = (a + b)(a - b)$，
由此得到的等式是：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，
故答案为：$a^2 - b^2$；$(a + b)(a - b)$；$a^2 - b^2$。
$S_1 = a^2 - b^2$，
图(2)中阴影部分的面积：
$S_2 = (a + b)(a - b)$，
由此得到的等式是：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，
故答案为：$a^2 - b^2$；$(a + b)(a - b)$；$a^2 - b^2$。
【例2】用平方差公式计算:
(1)$(x + 3)(x - 3) =$;
(2)$69×71 =$;
(3)$(-2x - 3)(-2x + 3) =$.
(1)$(x + 3)(x - 3) =$;
(2)$69×71 =$;
(3)$(-2x - 3)(-2x + 3) =$.
答案
(1)
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，在$(x + 3)(x - 3)$中，$a = x$，$b = 3$，则
$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
(2)
解：将$69×71$变形为$(70 - 1)(70 + 1)$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 70$，$b = 1$，则
$69×71=(70 - 1)(70 + 1)=70^{2}-1^{2}=4900 - 1=4899$
(3)
解：在$(-2x - 3)(-2x + 3)$中，把$-2x$看作$a$，$3$看作$b$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，则
$(-2x - 3)(-2x + 3)=(-2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9$
故答案依次为：$x^{2}-9$；$4899$；$4x^{2}-9$。
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，在$(x + 3)(x - 3)$中，$a = x$，$b = 3$，则
$(x + 3)(x - 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
(2)
解：将$69×71$变形为$(70 - 1)(70 + 1)$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 70$，$b = 1$，则
$69×71=(70 - 1)(70 + 1)=70^{2}-1^{2}=4900 - 1=4899$
(3)
解：在$(-2x - 3)(-2x + 3)$中，把$-2x$看作$a$，$3$看作$b$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，则
$(-2x - 3)(-2x + 3)=(-2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9$
故答案依次为：$x^{2}-9$；$4899$；$4x^{2}-9$。
【变式】用乘法公式计算:
(1)$124×122 - 123^{2}$;
(2)$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})$.
(1)$124×122 - 123^{2}$;
(2)$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})$.
答案
(1)
$124 × 122 - 123^{2}$
$=(123 + 1)(123 - 1) - 123^{2}$
$=123^{2}-1 - 123^{2}$
$=-1$
(2)
$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})$
$=(x^{2}-4y^{2})(x^{2} + 4y^{2})$
$=x^{4}-16y^{4}$
$124 × 122 - 123^{2}$
$=(123 + 1)(123 - 1) - 123^{2}$
$=123^{2}-1 - 123^{2}$
$=-1$
(2)
$(x - 2y)(x + 2y)(x^{2} + 4y^{2})$
$=(x^{2}-4y^{2})(x^{2} + 4y^{2})$
$=x^{4}-16y^{4}$
1. 若$(x + 3)(x - 3) = x^{2} - k$成立,则$k$的值为().
A.3
B.6
C.9
D.-9
A.3
B.6
C.9
D.-9
答案
C
解析
根据平方差公式，$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$，因此$x^2 - k = x^2 - 9$，可得$k = 9$。
2. 下列各式中,计算结果为$81 - x^{2}$的是().
A.$(x + 9)(x - 9)$
B.$(x + 9)(-x - 9)$
C.$(-x - 9)(-x - 9)$
D.$(-x - 9)(x - 9)$
A.$(x + 9)(x - 9)$
B.$(x + 9)(-x - 9)$
C.$(-x - 9)(-x - 9)$
D.$(-x - 9)(x - 9)$
答案
D
解析
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，令 $81 - x^2 = 9^2 - x^2$，则 $a = 9$，$b = x$。
因此，$81 - x^2 = (9 + x)(9 - x)$ 或等价形式。
对选项逐一分析：
A. $(x + 9)(x - 9) = x^2 - 81$，不符合；
B. $(x + 9)(-x - 9) = -(x + 9)^2$，不符合；
C. $(-x - 9)(-x - 9) = (x + 9)^2$，不符合；
D. $(-x - 9)(x - 9) = (-9 - x)(x - 9) = 81 - x^2$，符合。
因此，$81 - x^2 = (9 + x)(9 - x)$ 或等价形式。
对选项逐一分析：
A. $(x + 9)(x - 9) = x^2 - 81$，不符合；
B. $(x + 9)(-x - 9) = -(x + 9)^2$，不符合；
C. $(-x - 9)(-x - 9) = (x + 9)^2$，不符合；
D. $(-x - 9)(x - 9) = (-9 - x)(x - 9) = 81 - x^2$，符合。
3. 计算:$(-b - \frac{1}{2})(b - \frac{1}{2}) =$.
答案
$\frac{1}{4}-b^{2}$
解析
本题可将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$进行计算。
对$(-\boldsymbol{b}-\frac{1}{2})(\boldsymbol{b}-\frac{1}{2})$变形可得$(\frac{1}{2}-\boldsymbol{b})(\frac{1}{2}+\boldsymbol{b})$，此时$a = \frac{1}{2}$，$b=\boldsymbol{b}$，根据平方差公式可得：
$(\frac{1}{2}-\boldsymbol{b})(\frac{1}{2}+\boldsymbol{b})=(\frac{1}{2})^2 - \boldsymbol{b}^2=\frac{1}{4}-\boldsymbol{b}^2$
对$(-\boldsymbol{b}-\frac{1}{2})(\boldsymbol{b}-\frac{1}{2})$变形可得$(\frac{1}{2}-\boldsymbol{b})(\frac{1}{2}+\boldsymbol{b})$，此时$a = \frac{1}{2}$，$b=\boldsymbol{b}$，根据平方差公式可得：
$(\frac{1}{2}-\boldsymbol{b})(\frac{1}{2}+\boldsymbol{b})=(\frac{1}{2})^2 - \boldsymbol{b}^2=\frac{1}{4}-\boldsymbol{b}^2$
4. 若$m^{2} = 9,n^{2} = 3$,则$(m + n)(m - n) =$.
答案
6
解析
$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，因为$m^{2}=9$，$n^{2}=3$，所以原式$=9 - 3=6$
5. 在横线上填上适当的数,使等式成立.
$(-1 - 2y)(1 +\_\_\_\_\_) = 4y^{2} - 1$.
$(-1 - 2y)(1 +\_\_\_\_\_) = 4y^{2} - 1$.
答案
$-2y$
解析
因为$4y^{2}-1=(2y)^{2}-1^{2}=(2y - 1)(2y + 1)$，而$(-1 - 2y)=-(1 + 2y)$，所以$-(1 + 2y)(1 + $_________$)=(2y - 1)(2y + 1)=-(1 - 2y)(1 + 2y)$，故$1 + $_________$=1 - 2y$，所以横线上应填$-2y$。
6. 计算:
(1)$(2 + 3a)(3a - 2)$;
(2)$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}$.
(1)$(2 + 3a)(3a - 2)$;
(2)$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}$.
答案
(1)
$(2 + 3a)(3a - 2)$
$=(3a + 2)(3a - 2)$
$=(3a)^{2}-2^{2}$
$=9a^{2}-4$
(2)
$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}$
$=(100 + \frac{1}{4})(100 - \frac{1}{4})$
$=100^{2}-(\frac{1}{4})^{2}$
$=10000 - \frac{1}{16}$
$=9999\frac{15}{16}$
$(2 + 3a)(3a - 2)$
$=(3a + 2)(3a - 2)$
$=(3a)^{2}-2^{2}$
$=9a^{2}-4$
(2)
$100\frac{1}{4}×99\frac{3}{4}$
$=(100 + \frac{1}{4})(100 - \frac{1}{4})$
$=100^{2}-(\frac{1}{4})^{2}$
$=10000 - \frac{1}{16}$
$=9999\frac{15}{16}$
