15. (1)化简$m^{3}· m^{2}+(2m^{4})^{2}÷ m^{3}$；(2)先化简，再求值：$[x(x + 2y)-(x + y)(x - y)]÷ (\frac{1}{2}y)$，其中$x = -\frac{1}{2}$，$y = 1$。

(1)
$m^{3}· m^{2}+(2m^{4})^{2}÷ m^{3}$
$=m^{3 + 2}+4m^{8}÷ m^{3}$
$=m^{5}+4m^{8 - 3}$
$=m^{5}+4m^{5}$
$=5m^{5}$
(2)
$[x(x + 2y)-(x + y)(x - y)]÷(\frac{1}{2}y)$
$=(x^{2}+2xy-(x^{2}-y^{2}))÷(\frac{1}{2}y)$
$=(x^{2}+2xy - x^{2}+y^{2})÷(\frac{1}{2}y)$
$=(2xy + y^{2})÷(\frac{1}{2}y)$
$=2xy÷\frac{1}{2}y+y^{2}÷\frac{1}{2}y$
$=4x + 2y$
当$x = -\frac{1}{2}$，$y = 1$时，
$4×(-\frac{1}{2})+2×1$
$=-2 + 2$
$=0$
综上，(1)的结果为$5m^{5}$；(2)化简结果为$4x + 2y$，值为$0$。

16. 已知$32^{m}=4× 2^{2n - 1}$，$3^{n}=9^{m}$，求$m$，$n$的值。

答题卡：
对于方程 $32^{m} = 4 × 2^{2n - 1}$：
$\because 32^{m} = 2^{5m}$，$4 × 2^{2n - 1} = 2^{2} × 2^{2n - 1} = 2^{2n + 1}$，
又 $32^{m} = 4 × 2^{2n - 1}$，
$\therefore 2^{5m} = 2^{2n + 1}$，
$\therefore 5m = 2n + 1$ （式1）。
对于方程 $3^{n} = 9^{m}$：
$\because 9^{m} = 3^{2m}$，
又 $3^{n} = 9^{m}$，
$\therefore 3^{n} = 3^{2m}$，
$\therefore n = 2m$ （式2）。
将式2代入式1得：
$5m = 2(2m) + 1$，
$5m = 4m + 1$，
$m = 1$。
将 $m = 1$ 代入式2得：
$n = 2$。
结论：
$m = 1$，$n = 2$。

17. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造。已知该地块是长为$(a + 4b)m$，宽为$(a + 3b)m$的长方形地块，如图。学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为$a m$，并计划将阴影部分改造为种植区。
(1)用含有$a$，$b$的式子分别表示出小路的面积$S_{1}$和种植区的总面积$S_{2}$（请将结果化为最简）；
(2)若$a = 2$，$b = 4$，求出此时种植区的总面积$S_{2}$。

(1)
小路面积$ S_1 $：平行四边形面积=底×高，底为$ a \, m $，高为长方形宽$ (a + 3b) \, m $，则$ S_1 = a(a + 3b) = a^2 + 3ab $。
种植区面积$ S_2 $：长方形面积为$ (a + 4b)(a + 3b) $，展开得$ a^2 + 7ab + 12b^2 $。故$ S_2 = (a^2 + 7ab + 12b^2) - (a^2 + 3ab) = 4ab + 12b^2 $。
(2)
当$ a = 2 $，$ b = 4 $时，$ S_2 = 4×2×4 + 12×4^2 = 32 + 192 = 224 $。
答案：(1) $ S_1 = a^2 + 3ab $，$ S_2 = 4ab + 12b^2 $；(2) $ 224 $。

(1)
小路面积$ S_1 $：平行四边形面积=底×高，底为$ a \, m $，高为长方形宽$ (a + 3b) \, m $，则$ S_1 = a(a + 3b) = a^2 + 3ab $。
种植区面积$ S_2 $：长方形面积为$ (a + 4b)(a + 3b) $，展开得$ a^2 + 7ab + 12b^2 $。故$ S_2 = (a^2 + 7ab + 12b^2) - (a^2 + 3ab) = 4ab + 12b^2 $。
(2)
当$ a = 2 $，$ b = 4 $时，$ S_2 = 4×2×4 + 12×4^2 = 32 + 192 = 224 $。