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1. $a^{10}$可写成()。
A.$a^{5}· a^{5}$
B.$a^{5}· a^{2}$
C.$a^{5}+a^{5}$
D.$(a^{5})^{5}$
A.$a^{5}· a^{5}$
B.$a^{5}· a^{2}$
C.$a^{5}+a^{5}$
D.$(a^{5})^{5}$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m· a^n = a^{m + n}$。
对于选项A，$a^{5}· a^{5}=a^{5 + 5}=a^{10}$。
对于选项B，$a^{5}· a^{2}=a^{5+2}=a^{7}\neq a^{10}$。
对于选项C，$a^{5}+a^{5}=2a^{5}\neq a^{10}$。
对于选项D，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，所以$(a^{5})^{5}=a^{5×5}=a^{25}\neq a^{10}$。
对于选项A，$a^{5}· a^{5}=a^{5 + 5}=a^{10}$。
对于选项B，$a^{5}· a^{2}=a^{5+2}=a^{7}\neq a^{10}$。
对于选项C，$a^{5}+a^{5}=2a^{5}\neq a^{10}$。
对于选项D，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，所以$(a^{5})^{5}=a^{5×5}=a^{25}\neq a^{10}$。
2. 下列各数中，最小的是()。
A.$-\frac{1}{2025}$
B.$|-2025|$
C.$\frac{1}{2025}$
D.$2025^{0}$
A.$-\frac{1}{2025}$
B.$|-2025|$
C.$\frac{1}{2025}$
D.$2025^{0}$
答案
A
解析
首先计算各个选项的数值：
A. $-\frac{1}{2025}$ 是一个负数，其值约为 -0.000494。
B. $|-2025|$ 是2025的绝对值，其值为2025。
C. $\frac{1}{2025}$ 是一个正数，其值约为 0.000494。
D. $2025^{0}$ 是2025的0次方，任何非零数的0次方都是1。
接下来，对这些数进行比较：
由于负数小于正数和0，所以 $-\frac{1}{2025}$ 是最小的。
在正数中，1和$\frac{1}{2025}$（约0.000494）以及2025比较，显然$\frac{1}{2025}$小于1，1小于2025，但都不影响$-\frac{1}{2025}$是最小的。
因此，最小的数是 $-\frac{1}{2025}$。
A. $-\frac{1}{2025}$ 是一个负数，其值约为 -0.000494。
B. $|-2025|$ 是2025的绝对值，其值为2025。
C. $\frac{1}{2025}$ 是一个正数，其值约为 0.000494。
D. $2025^{0}$ 是2025的0次方，任何非零数的0次方都是1。
接下来，对这些数进行比较：
由于负数小于正数和0，所以 $-\frac{1}{2025}$ 是最小的。
在正数中，1和$\frac{1}{2025}$（约0.000494）以及2025比较，显然$\frac{1}{2025}$小于1，1小于2025，但都不影响$-\frac{1}{2025}$是最小的。
因此，最小的数是 $-\frac{1}{2025}$。
3. 下列计算中，正确的是()。
A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(-a^{3}b)^{2}=-a^{6}b^{2}$
C.$a^{6}÷ a^{3}=a^{2}$
D.$(a^{2})^{3}=a^{6}$
A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(-a^{3}b)^{2}=-a^{6}b^{2}$
C.$a^{6}÷ a^{3}=a^{2}$
D.$(a^{2})^{3}=a^{6}$
答案
D
解析
A. 根据同底数幂的乘法法则，有 $a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$。
所以，$a^{2} · a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，与选项A中的 $a^{6}$ 不符，故A错误。
B. 根据积的乘方法则，有 $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$。
所以，$(-a^{3}b)^{2} = (-1)^{2} · (a^{3})^{2} · b^{2} = a^{6}b^{2}$，与选项B中的 $-a^{6}b^{2}$ 不符，故B错误。
C. 根据同底数幂的除法法则，有 $a^{m} {÷} a^{n} = a^{m-n}$。
所以，$a^{6} {÷} a^{3} = a^{6-3} = a^{3}$，与选项C中的 $a^{2}$ 不符，故C错误。
D. 根据幂的乘方法则，有 $(a^{m})^{n} = a^{m × n}$。
所以，$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项D中的 $a^{6}$ 相符，故D正确。
所以，$a^{2} · a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，与选项A中的 $a^{6}$ 不符，故A错误。
B. 根据积的乘方法则，有 $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$。
所以，$(-a^{3}b)^{2} = (-1)^{2} · (a^{3})^{2} · b^{2} = a^{6}b^{2}$，与选项B中的 $-a^{6}b^{2}$ 不符，故B错误。
C. 根据同底数幂的除法法则，有 $a^{m} {÷} a^{n} = a^{m-n}$。
所以，$a^{6} {÷} a^{3} = a^{6-3} = a^{3}$，与选项C中的 $a^{2}$ 不符，故C错误。
D. 根据幂的乘方法则，有 $(a^{m})^{n} = a^{m × n}$。
所以，$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项D中的 $a^{6}$ 相符，故D正确。
4. 计算$4a· 3a^{2}b÷ (2ab)$，结果是()。
A.$6a$
B.$6ab$
C.$6a^{2}$
D.$6a^{2}b^{2}$
A.$6a$
B.$6ab$
C.$6a^{2}$
D.$6a^{2}b^{2}$
答案
C
解析
首先，计算单项式的乘法：$4a · 3a^{2}b = 12a^{3}b$。
接着，进行除法运算：$12a^{3}b ÷ (2ab) = \frac{12a^{3}b}{2ab} = 6a^{2}$。
接着，进行除法运算：$12a^{3}b ÷ (2ab) = \frac{12a^{3}b}{2ab} = 6a^{2}$。
5. 若$x^{a}=2$，$x^{b}=3$，则$x^{3a - b}$的值等于()。
A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{8}{3}$
D.$6$
A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{8}{3}$
D.$6$
答案
C
解析
由题意，根据幂的乘方的性质，有$x^{3a}=(x^{a})^{3}=2^{3}=8$，
再根据同底数幂的除法性质，有$x^{3a - b}=\frac{x^{3a}}{x^{b}}=\frac{8}{3}$。
再根据同底数幂的除法性质，有$x^{3a - b}=\frac{x^{3a}}{x^{b}}=\frac{8}{3}$。
6. 若$(x^{2}+ax + 5)· (-2x)-6x^{2}$的结果中不含有$x^{2}$项，则$a$的值为()。
A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$0$
D.$3$
A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$0$
D.$3$
答案
A
解析
首先，将表达式 $(x^{2}+ax + 5) · (-2x) - 6x^{2}$ 展开：
$(x^{2}+ax + 5) · (-2x) = -2x^{3} - 2ax^{2} - 10x$
因此，整体表达式为：
$-2x^{3} - 2ax^{2} - 10x - 6x^{2} = -2x^{3} - (2a+6)x^{2} - 10x$
题目要求结果中不含有 $x^{2}$ 项，即 $x^{2}$ 项的系数为 0：
$-(2a + 6) = 0$
解方程：
$2a + 6 = 0$
$2a = -6$
$a = -3$
$(x^{2}+ax + 5) · (-2x) = -2x^{3} - 2ax^{2} - 10x$
因此，整体表达式为：
$-2x^{3} - 2ax^{2} - 10x - 6x^{2} = -2x^{3} - (2a+6)x^{2} - 10x$
题目要求结果中不含有 $x^{2}$ 项，即 $x^{2}$ 项的系数为 0：
$-(2a + 6) = 0$
解方程：
$2a + 6 = 0$
$2a = -6$
$a = -3$
7. 小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘$(x - 2y)$错抄成除以$(x - 2y)$，结果得到$(3x - y)$，则正确的结果是()。
A.$3x^{2}-7xy + 2y^{2}$
B.$3x^{2}+7xy + 2y^{2}$
C.$3x^{3}-13x^{2}y + 16xy^{2}-4y^{3}$
D.$3x^{3}-13x^{2}y + 16xy^{2}+4y^{3}$
A.$3x^{2}-7xy + 2y^{2}$
B.$3x^{2}+7xy + 2y^{2}$
C.$3x^{3}-13x^{2}y + 16xy^{2}-4y^{3}$
D.$3x^{3}-13x^{2}y + 16xy^{2}+4y^{3}$
答案
C
解析
设原多项式为$P(x, y)$，根据题意，小明将乘$(x - 2y)$错抄成除以$(x - 2y)$，即：
$P(x, y) ÷ (x - 2y) = 3x - y$，
由此，可以得到原多项式$P(x, y)$为：
$P(x, y) = (3x - y) × (x - 2y)$，
展开得：
$P(x, y) = 3x^2 - 6xy - xy + 2y^2 = 3x^2 - 7xy + 2y^2$，
这是原多项式，但题目要求的是与$(x - 2y)$相乘的结果，即：
$(3x^2 - 7xy + 2y^2) × (x - 2y)$
$= 3x^3 - 6x^2y - 7x^2y + 14xy^2 + 2xy^2 - 4y^3$
$= 3x^3 - 13x^2y + 16xy^2 - 4y^3$
与选项对比，得到答案。
$P(x, y) ÷ (x - 2y) = 3x - y$，
由此，可以得到原多项式$P(x, y)$为：
$P(x, y) = (3x - y) × (x - 2y)$，
展开得：
$P(x, y) = 3x^2 - 6xy - xy + 2y^2 = 3x^2 - 7xy + 2y^2$，
这是原多项式，但题目要求的是与$(x - 2y)$相乘的结果，即：
$(3x^2 - 7xy + 2y^2) × (x - 2y)$
$= 3x^3 - 6x^2y - 7x^2y + 14xy^2 + 2xy^2 - 4y^3$
$= 3x^3 - 13x^2y + 16xy^2 - 4y^3$
与选项对比，得到答案。
8. 化简求值：$(2x - 3y)(3x + 4y)-(6x^{2}y - 2xy^{2}+3y^{3})÷ y$，其中$x = -9$，$y = -1$。正确的结果是()。
A.$-9$
B.$-6$
C.$-36$
D.$-42$
A.$-9$
B.$-6$
C.$-36$
D.$-42$
答案
B
解析
$\begin{aligned}&(2x - 3y)(3x + 4y)-(6x^{2}y - 2xy^{2}+3y^{3})÷ y\\=&(6x^2 + 8xy - 9xy - 12y^2)-(6x^2 - 2xy + 3y^2)\\=&(6x^2 - xy - 12y^2)-(6x^2 - 2xy + 3y^2)\\=&6x^2 - xy - 12y^2 - 6x^2 + 2xy - 3y^2\\=&xy - 15y^2\end{aligned}$
当$x=-9$，$y=-1$时，
$\begin{aligned}&(-9)×(-1)-15×(-1)^2\\=&9 - 15×1\\=&9 - 15\\=&-6\end{aligned}$
当$x=-9$，$y=-1$时，
$\begin{aligned}&(-9)×(-1)-15×(-1)^2\\=&9 - 15×1\\=&9 - 15\\=&-6\end{aligned}$
9. 若$(x - 2)^{0}=1$成立，则$x$的取值范围是。
答案
$x \neq 2$
解析
根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于1，所以底数不能为0。即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。
10. 计算：$m^{3}n· (-3mn^{2})=$。
答案
$-3m^{4}n^{3}$（或填入下划线形式的具体答案内容，根据题目要求这里以表达式呈现）
解析
根据单项式与单项式相乘的法则，首先将系数相乘，然后将同底数的幂分别相乘。
系数相乘：$1 × (-3) = -3$，
$m$的幂相乘：$m^{3} · m = m^{3+1} = m^{4}$，
$n$的幂相乘：$n · n^{2} = n^{1+2} = n^{3}$，
所以，$m^{3}n · (-3mn^{2}) = -3m^{4}n^{3}$。
系数相乘：$1 × (-3) = -3$，
$m$的幂相乘：$m^{3} · m = m^{3+1} = m^{4}$，
$n$的幂相乘：$n · n^{2} = n^{1+2} = n^{3}$，
所以，$m^{3}n · (-3mn^{2}) = -3m^{4}n^{3}$。
11. 已知$x - 3y + 2 = 0$，则$2^{x + y}· 4^{y - x}=$。
答案
4（或该选项对应的字母，如题目未给出选项则直接填数字4）
解析
由已知条件 $x - 3y + 2 = 0$，可得 $x - 3y = -2$。
将 $4^{y - x}$ 表示为 $2^{2(y - x)}$，原式可化简为：
$2^{x + y} · 4^{y - x} = 2^{x + y} · 2^{2(y - x)} = 2^{x + y + 2y - 2x} = 2^{3y - x}$，
将 $x - 3y = -2$ 代入，得：
$3y - x = 2$，
所以，原式等于：
$2^{3y - x} = 2^2 = 4$。
将 $4^{y - x}$ 表示为 $2^{2(y - x)}$，原式可化简为：
$2^{x + y} · 4^{y - x} = 2^{x + y} · 2^{2(y - x)} = 2^{x + y + 2y - 2x} = 2^{3y - x}$，
将 $x - 3y = -2$ 代入，得：
$3y - x = 2$，
所以，原式等于：
$2^{3y - x} = 2^2 = 4$。
12. 小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为$-2x^{2}y$。若小米报的整式是$4x^{6}y^{4}-6x^{3}y^{2}$，则小花报的整式是。
答案
$-2x^{4}y^{3} + 3xy$
解析
被除式除以商等于除式，即小花报的整式为$(4x^{6}y^{4} - 6x^{3}y^{2}) ÷ (-2x^{2}y)$。
$\begin{aligned}&4x^{6}y^{4} ÷ (-2x^{2}y) = -2x^{4}y^{3}\\&-6x^{3}y^{2} ÷ (-2x^{2}y) = 3xy\\\end{aligned}$
合并得：$-2x^{4}y^{3} + 3xy$
$\begin{aligned}&4x^{6}y^{4} ÷ (-2x^{2}y) = -2x^{4}y^{3}\\&-6x^{3}y^{2} ÷ (-2x^{2}y) = 3xy\\\end{aligned}$
合并得：$-2x^{4}y^{3} + 3xy$
13. 计算：(1)$x^{2}· x^{4}-(2x^{3})^{2}$；(2)$3x^{2}y(-2xy^{3})$；(3)$2a^{2}(3a^{2}-5b)$；(4)$a^{3}· a^{5}+(a^{2})^{4}-3a^{8}$。
答案
(1)
$x^{2}· x^{4}-(2x^{3})^{2}$
$=x^{2 + 4}-4x^{6}$
$=x^{6}-4x^{6}$
$=-3x^{6}$
(2)
$3x^{2}y(-2xy^{3})$
$=[3×(-2)]·(x^{2}· x)·(y· y^{3})$
$=-6x^{3}y^{4}$
(3)
$2a^{2}(3a^{2}-5b)$
$=2a^{2}×3a^{2}-2a^{2}×5b$
$=6a^{4}-10a^{2}b$
(4)
$a^{3}· a^{5}+(a^{2})^{4}-3a^{8}$
$=a^{3 + 5}+a^{8}-3a^{8}$
$=a^{8}+a^{8}-3a^{8}$
$=-a^{8}$
$x^{2}· x^{4}-(2x^{3})^{2}$
$=x^{2 + 4}-4x^{6}$
$=x^{6}-4x^{6}$
$=-3x^{6}$
(2)
$3x^{2}y(-2xy^{3})$
$=[3×(-2)]·(x^{2}· x)·(y· y^{3})$
$=-6x^{3}y^{4}$
(3)
$2a^{2}(3a^{2}-5b)$
$=2a^{2}×3a^{2}-2a^{2}×5b$
$=6a^{4}-10a^{2}b$
(4)
$a^{3}· a^{5}+(a^{2})^{4}-3a^{8}$
$=a^{3 + 5}+a^{8}-3a^{8}$
$=a^{8}+a^{8}-3a^{8}$
$=-a^{8}$
14. 计算$(x - 1)(2x + 1)-(x - 5)(x + 2)$。
答案
①首先展开$(x - 1)(2x + 1)$：
$x · 2x = 2x^{2}$，
$x · 1 = x$，
$-1 · 2x = -2x$，
$-1 · 1 = -1$，
所以，$(x - 1)(2x + 1) = 2x^{2} + x - 2x - 1 = 2x^{2} - x - 1$。
②然后展开$(x - 5)(x + 2)$：
$x · x = x^{2}$，
$x · 2 = 2x$，
$-5 · x = -5x$，
$-5 · 2 = -10$，
所以，$(x - 5)(x + 2) = x^{2} + 2x - 5x - 10 = x^{2} - 3x - 10$。
③原式$= (2x^{2} - x - 1) - (x^{2} - 3x - 10)$
$= 2x^{2} - x - 1 - x^{2} + 3x + 10$
$= x^{2} + 2x + 9$
综上所述，原式的结果为$x^{2} + 2x + 9$。
$x · 2x = 2x^{2}$，
$x · 1 = x$，
$-1 · 2x = -2x$，
$-1 · 1 = -1$，
所以，$(x - 1)(2x + 1) = 2x^{2} + x - 2x - 1 = 2x^{2} - x - 1$。
②然后展开$(x - 5)(x + 2)$：
$x · x = x^{2}$，
$x · 2 = 2x$，
$-5 · x = -5x$，
$-5 · 2 = -10$，
所以，$(x - 5)(x + 2) = x^{2} + 2x - 5x - 10 = x^{2} - 3x - 10$。
③原式$= (2x^{2} - x - 1) - (x^{2} - 3x - 10)$
$= 2x^{2} - x - 1 - x^{2} + 3x + 10$
$= x^{2} + 2x + 9$
综上所述，原式的结果为$x^{2} + 2x + 9$。
