8. (原创题)下列计算中,正确的是().

A.$(a + b)(a + b) = a^{2} + b^{2}$
B.$(x + 2y)(x - 2y) = x^{2} - 2y^{2}$
C.$(-3x - 4)(3x - 4) = 9x^{2} - 16$
D.$(2a - b)(2a + b) = 4a^{2} - b^{2}$

D

A. 对于$(a + b)(a + b)$，根据完全平方公式，应为$a^{2} + 2ab + b^{2}$，与$a^{2} + b^{2}$不等，故A错误；
B. 对于$(x + 2y)(x - 2y)$，根据平方差公式，应为$x^{2} - (2y)^{2} = x^{2} - 4y^{2}$，与$x^{2} - 2y^{2}$不等，故B错误；
C. 对于$(-3x - 4)(3x - 4)$，根据平方差公式变形为$(-4 - 3x)(-4 + 3x) = (-4)^{2} - (3x)^{2} = 16 - 9x^{2}$，与$9x^{2} - 16$不等，故C错误；
D. 对于$(2a - b)(2a + b)$，根据平方差公式，应为$(2a)^{2} - b^{2} = 4a^{2} - b^{2}$，与题目中给出的$4a^{2} - b^{2}$相等，故D正确。

9. 计算:$(m^{2} + 1)(m + 1)(m - 1) - (m^{4} + 1)$的值是().

A.$-2m^{2}$
B.0
C.-2
D.-1

C

$(m^{2}+1)(m+1)(m-1)-(m^{4}+1)$
$=(m^{2}+1)(m^{2}-1)-(m^{4}+1)$（平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，这里$(m+1)(m-1)=m^2 - 1$）
$=(m^{4}-1)-(m^{4}+1)$（平方差公式：$(m^{2}+1)(m^{2}-1)=m^4 - 1$）
$=m^{4}-1 - m^{4}-1$
$=-2$

10. 计算$(x^{2} + \frac{1}{4})(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2})$,结果为.

$x^{4} - \frac{1}{16}$

首先，根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
计算$(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2})$：
$(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) = x^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 - \frac{1}{4}$
接着，将上述结果与$(x^2 + \frac{1}{4})$相乘：
$(x^2 + \frac{1}{4})(x^2 - \frac{1}{4}) = x^4 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = x^4 - \frac{1}{16}$

11. (1)先化简,再求值:
$(3a + 1)(3a - 1) - (2a - 3)(3a + 2)$,其中$a = \frac{1}{3}$;
(2)已知$2a^{2} + 3a - 6 = 0$,求代数式$3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)$的值.

(1)
首先，利用平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$和多项式乘法法则展开式子：
$(3a + 1)(3a - 1)-(2a - 3)(3a + 2)$
$=(3a)^{2}-1^{2}-(6a^{2}+4a - 9a - 6)$
$=9a^{2}-1-(6a^{2}-5a - 6)$
$=9a^{2}-1 - 6a^{2}+5a + 6$
$=3a^{2}+5a + 5$
当$a = \frac{1}{3}$时，代入上式得：
$3×(\frac{1}{3})^{2}+5×\frac{1}{3}+5$
$=3×\frac{1}{9}+\frac{5}{3}+5$
$=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+5$
$=2 + 5$
$=7$
(2)
先对$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)$进行化简：
利用单项式乘多项式法则$x(y+z)=xy+xz$和平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$展开式子：
$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)=6a^{2}+3a-(4a^{2}-1)$
$=6a^{2}+3a - 4a^{2}+1$
$=2a^{2}+3a + 1$
因为$2a^{2}+3a - 6 = 0$，所以$2a^{2}+3a=6$。
将$2a^{2}+3a = 6$代入$2a^{2}+3a + 1$得：$6 + 1=7$
综上，(1)的值为7；(2)的值为7。

12. 观察下列等式:
①$3^{2} - 1^{2} = 8$;②$5^{2} - 3^{2} = 16$;③$7^{2} - 5^{2} = 24$;④$9^{2} - 7^{2} = 32$;$···$.
(1)写出第$n$个等式($n$是正整数);
(2)说明你所写的等式的正确性.

(1) 第$n$个等式为：
$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$
(2)验证：
左边 = $(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2}$
= $(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1)$
= $8n$
= 右边。
因此，等式$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$是正确的。

13. (运算能力)小明遇到下面一个问题:
计算$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$.
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以运用平方差公式解答问题,具体解法如下:
$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$
$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$
$=(2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$
$=(2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$
$=(2^{8} - 1)(2^{8} + 1)$
$=2^{16} - 1$.
请你根据小明解答问题的方法,试着解答以下问题:
(1)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1) =$;
(2)$(3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1) =$;
(3)$(7 + 1)(7^{2} + 1)(7^{4} + 1)(7^{8} + 1)(7^{16} + 1) =$.

$2^{32}-1$；$\frac{3^{32}-1}{2}$；$\frac{7^{32}-1}{6}$

(1)原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)$
$=(2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)$
$=(2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)$
$=(2^{8} - 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)$
$=(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)$
$=2^{32} - 1$
(2)原式$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{2} - 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{4} - 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{8} - 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16} - 1)(3^{16} + 1)$
$=\frac{1}{2}(3^{32} - 1)$
$=\frac{3^{32} - 1}{2}$
(3)原式$=\frac{1}{6}(7 - 1)(7 + 1)(7^{2} + 1)(7^{4} + 1)(7^{8} + 1)(7^{16} + 1)$
$=\frac{1}{6}(7^{2} - 1)(7^{2} + 1)(7^{4} + 1)(7^{8} + 1)(7^{16} + 1)$
$=\frac{1}{6}(7^{4} - 1)(7^{4} + 1)(7^{8} + 1)(7^{16} + 1)$
$=\frac{1}{6}(7^{8} - 1)(7^{8} + 1)(7^{16} + 1)$
$=\frac{1}{6}(7^{16} - 1)(7^{16} + 1)$
$=\frac{1}{6}(7^{32} - 1)$
$=\frac{7^{32} - 1}{6}$